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河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学(文)[来源:学优高考网551936]


河南省实验中学 2014——2015 学年上期期中试卷
高二 文科数学 命题人:汪洋 审题人:李红霞
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.数列 1, ?3,5, ?7,9, ??的一个通项公式为( ) A. an ? (?1)n (1 ? 2n) C. an ? (?1) (

2n ? 1)
n

B. an ? 2n ? 1 D. an ? (?1)n (2n ? 1)

1 ? 1 的解集是( ) x A. ?x x ? 1? B. ?x x ? 0? C. x x ? 1或x ? 0
2.不等式

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?
( ) )

3.在等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项的和 S9 等于

A. 297 B. 144 C. 99 D. 66 b ? 24 ,A ? 45? , 4. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 a ? 18 , 则这样的三角形有 ( A.0 个 B.两个 C.一个 D.至多一个 5.原点和点 ?1,1? 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A. a ? 0或a ? 2 B. a ? 0或a ? 2
n

C. 0 ? a ? 2

D. 0 ? a ? 2

6.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, n ? 1,2,3, ?,那么数列 {an } ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

?x ? 0 ?y ? 0 ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? 4 x ? 3 y 的最大值是( ) ?2 x ? y ? 4 ? ?2 x ? 3 y ? 6
A.7 B.8 C.9 ) D、1 D.10 8.已知数列 ?an ? 满足 a n ?1 A、

1 1 ,若 a1 ? ,则 a 2014 ? ( ? 2 1 ? an
C、-1

1 2

B、2

9.若 a , b, c 为实数,则下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc 2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

b a ? a b S S 10.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项的和, a1 ? ?2014, 2007 ? 2005 ? 2 ,则 S 2014 的值为( ) 2007 2005
C.若 a ? b ? 0 ,则 D.若 a ? b ? 0 ,则 A、-2013
B C 11. 在 ?A

1 1 ? a b

B、-2014

C、2013

D、2014

sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? 中, 角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,

?
3

,则

a ?( b

)

A.

1 2

B.3

C.

1 或3 2

D.3 或

1 4

12. 命题 p : 函数 y ? lg( x ?

a ? 3) 在区间 ?2,??? 上是增函数;命题 q : y ? lg( x 2 ? ax ? 4) 函数的定义域为 x
) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

R .则 p 是 q 成立的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 1 ? 的最小值是 . a b 14.关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是
13.若 a ? 0 , b ? 0 ,且 ln(a ? b) ? 0 ,则

.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8,则 a ? b 的 ?x ? 0 , y ? 0 ?
最小值为________。 16.下列 4 个命题: ①“如果 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 互为相反数”的逆命题
2 ②“如果 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题

1 ”的充分不必要条件 2 ④“函数 f ( x) ? tan(x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ”
③在 ?ABC 中, “ A ? 30 ”是“ sin A ?
?

其中真命题的序号是_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 的内角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 bc ? 2 ,求边长 a 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 2 已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? b} . (1)求实数 a , b 的值; (2)解关于 x 的不等式: 19. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 实数 x 满足 ?2 ? 1 ?

1 c?b. 2

x?c ? 0 ( c 为常数). ax ? b
x ?1 ? 2 , 命题 q : 实数 x 满足 x2 ? 2 x ? (1 ? m2 ) ? 0 (m ? 0) ,若 ? q 是 3

? p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.
20. (本小题满分 12 分)

各项均不相等的等差数列 ?an ? 的前四项的和为 S4 ? 14 ,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)记 Tn 为数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和,求 Tn ? a n ? a n ?1 ?

21. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中, a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定∠C 的大小; (2)若 c= 3 ,求△ABC 周长的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? (1)求证: ?

an (n ? N * ) . an ? 3

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ? n n (2)数列 ?bn ? 满足 bn ? (3 ? 1) ? n ? a n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 2 n n * 若不等式 (?1) ? ? Tn ? n ?1 对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围. 2

河南省实验中学 2014——2015 学年上期期中答案
高二 文科数学
11.C 12.D

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 13. 4 14. m ? ?1, 或m ? 15. 4 16. ①② 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本小题满分 10 分) 解:

1 sin A cos C ? sin C ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ∴ sin C ? cos A sin C ,? sin C ? 0 2 1 ? ∴ cos A ? , Q A ? (0, ? ),? A ? 5分 2 3 2 2 2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ? 2 a ? 2 ? 边长 a 的最小值为 2 . 10 分
18. (本小题满分 12 分) 2 解: (1)由题知 1, b 为关于 x 的方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,

2 ? b? ? ? a 即? ∴ a ? 1, b ? 2 . ?1 ? b ? 3 ? a ? (2)不等式等价于 ( x ? c)(x ? 2) ? 0 , 所以:当 c ? 2 时解集为 ?x | x ? c或x ? 2?;

6分

当 c ? 2 时解集为 ?x | x ? 2, x ? R?; 当 c ? 2 时解集为 x | x ? 2或x ? c . 19. (本小题满分 12 分) 解:由 ?2 ? 1 ?

?

?

12 分

∴记 A ? x ? 2 ? x ? 10 ;………………………………………………2 分 由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0 (m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m , 记 B ? x 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) ∵ ? q 是 ? p 的充分不必要条件

?

x ?1 ? 2 ,得 ?2 ? x ? 10 , 3

?

?

?…………………………………….4 分

∴ p 是 q 的充分不必要条件,即 p ? q 且 q ? ? p ,∴ A ? B ;………6 分

? m?0 ? 要使 A ? B ,又 m ? 0 ,则只需 ?1 ? m ? ?2 ,………………………10 分 ?1 ? m ? 10 ?
∴ m ? 9 ,…………………………..11 分 故所求实数 m 的取值范围是 m ? 9 …………………………12 分 20. (本小题满分 12 分)

解:1)设数列 解得 由数列 所以 故 或

的公差为

,由已知得

2分

的各项均不相等,所以 ,解得 , . 4分 6分

3分

(2)因为 所以 21. (本小题满分 12 分)

9分 12 分

解: (1)已知 a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,由 3 a=2csinA, 得 3 sinA=2sinCsinA,又 sinA≠0,则 sinC=

3 ,∴∠C=60°或∠C=120°, 2

∵△ABC 为锐角三角形,∴∠C=120°舍去。∴∠C=60°…………………4 分 (2)∵c= 3 ,sinC= ∴由正弦定理得:

3 2

3 ? 2 ,………………5 分 3 2 2? 2? 即 a=2sinA,b=2sinB,又 A+B=π-C= ,即 B= -A, 3 3
∴a+b+c=2(sinA+sinB)+ 3

a b c ? ? ? sin A sinB sinC

2? -A)]+ 3 3 2? 2? =2(sinA+sin cosA-cos sinA)+ 3 3 3
=2[sinA+sin( =3sinA+ 3 cosA+ 3 =2 3 (sinAcos =2 3 sin(A+

? )+ 3 ,……………………8 分 6

? ? +cosAsin )+ 3 6 6

∵△ABC 是锐角三角形, ∴

? ? <∠A< ,……………………….10 分 6 2 ? 3 ∴ <sin(A+ )≤1, 6 2
则△ABC 周长的取值范围是(3+ 3 ,3 3 ].…………………12 分 22. (本小题满分 12 分)

? 1 1? 1 1 an ? ? 3? ? ? , (n ? N * ) 知, an ?1 2 an ? 3 ? an 2 ? 3 1 1 3 ? 1 1? 又 ? ? ,? ? ? ? 是以 为首项, 3 为公比的等比数列, a1 2 2 ? an 2 ? 2 1 1 3 3n 2 ????????5 分 ? ? = ? 3n ?1 ? ,? an ? n an 2 2 2 3 ?1 n (2) bn ? n ?1 , ??????????6 分 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2
解: (1)由 a1 ? 1, an ?1 ? 两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n ?1 ????????9 分 2 2 ? (?1) n ? ? 4 ? n ?1 2 2 若 n 为偶数,则? ? ? 4 ? n ?1 ,? ? ? 3 2 2 若 n 为奇数,则? ?? ? 4 ? n ?1 ,? ?? ? 2,? ? ? ?2 2 ? ?2 ? ? ? 3 ???????????12 分


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