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2010广州二模数学理科试题与答案

时间:2013-05-07


2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位,若复数 ? a ?1? ? ? a ? 1? i 为实数,则实数 a 的值为 A. ?1 B. 0 C. 1 D.不确定

2. 已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (痧A) ? ( U B) 中有 n 个元素.若 A I B 非空, U 则 A I B 的元素个数为 A. mn B. m ? n C. m ? n D. n ? m 3. 已知向量 a ? ? sin x,cos x ? ,向量 b ? 1, 3 ,则 a ? b 的最大值为 A. 1 B.

?

?

3

C. 3

D. 9

4. 若 m, n 是互不相同的空间直线, A. 若 m // n, n ? ? ,则 m // ? C. 若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?

? 是平面, 则下列命题中正确的是
B. 若 m // n, n // ? ,则 m // ? D. 若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ?
x 3

开始

5. 在如图 1 所示的算法流程图, 若 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x , 则 h ? 2 ? 的值为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?” 或“:=”) A. 9 C. 6 B. 8 D. 4 是
输入 x

f ? x? ? g ? x?



h ? x? ? f ? x?
输出 h ? x ?

h ? x? ? g ? x?

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6. 已知点 P ? x, y ? 的坐标满足 ? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? 2. ?
O 为坐标原点, 则 PO 的最小值为

结束 A.

2 2

B.

3 2 2

图1

C. 5

D. 13

第 1 页 共 18 页

7. 已知函数 f ? x ? ? x sin x , 若 x1 , x2 ? ? ? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2

? ? ?? 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则下列不等式中正确的是 , ? 2 2? ?
C. x1 ? x2 ? 0 D. x12 ? x22

8. 一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻 t 的速度为 v ?t ? ? t 米/秒, 那么, 此人 A. 可在 7 秒内追上汽车 C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 14 米 B. 可在 9 秒内追上汽车 D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 7 米

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.若函数 f ? x ? ? cos ? ?x ? cos ?

?? ? ? ?x ? ? ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,则 ? 的值为 ?2 ?

.

10. 已知椭圆 C 的离心率 e ? 程为 .

3 , 且它的焦点与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 4 的焦点重合, 则椭圆 C 的方 2

11.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 ? 、? ,其分布列分别为:

?
P

0 0.4

1 0.3

2 0.2

3 0.1

?
P

0 0.3

1 0.5

2 0.2 .

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是 12.图 2 是一个有 n 层 ? n ? 2 ? 的六边形点阵.它的中心是一个点, 算作第一层, 第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点 ,?, 第 n 层每边有 n 个点, 则这个点阵的点数共有
n

个.

2? ? 13. 已知 ? x ? ? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56︰3, x? ?
则该展开式中 x 的系数为
2

.

图2

(二)选做题(14~ 15 题,考生只能从中选做一题)
第 2 页 共 18 页

14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t, (参数 t ?R), ? y ? 4 ? 2t.

圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? 2, (参数 ? ??0, 2? ? ), ? y ? 2sin ? .
.
B P D C

则直线 l 被圆 C 所截得的弦长为

15.(几何证明选讲选做题)如图 3, 半径为 5 的圆 O 的两条弦

A O

AD 和 BC 相交于点 P , OD ? BC , P 为 AD 的中点,

BC ? 6 , 则弦 AD 的长度为

.

图3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分 12 分) 已知 tan ?

1 ?? ? ? ? ? ? 2, tan ? ? . 2 ?4 ?
sin ?? ? ? ? ? 2 sin ? cos ? 2 sin ? sin ? ? cos ?? ? ? ?
的值.

(1) 求 tan ? 的值; (2) 求 17. (本小题满分 12 分)

如图 4, 在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30?, BC ?1, AD ? CD , 把△ DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示(点 D 记为点 P ), 点 P 在平面 ABC 上的正投影

E 落在线段 AB 上, 连接 PB .
(1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小; (2) 求二面角 P ? AC ? B 的大小的余弦值.
D
P

C
A C

E

A

B

B

图4
第 3 页 共 18 页

图5

18.(本小题满分 14 分) 一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离飞碟的距离 s (米) 成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 s (米)与飞行时间 t (秒)满足 s ? 15 ?t ? 1?? 0 ? t ? 4? , 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个 飞碟飞出 0.5 秒时进行第一次射击, 命中的概率为

4 , 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射 5

击后 0.5 秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计. (1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟 的概率; (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率; (3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个 飞碟的概率. 19.已知抛物线 C : x2 ? 2 py

? p ? 0? 的焦点为 F , A 、 B 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的

不同两点,抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线分别为 l1 、 l2 ,且 l1 ? l2 , l1 与 l2 相交于点 D . (1) 求点 D 的纵坐标; (2) 证明: A 、 B 、 F 三点共线; (3) 假设点 D 的坐标为 ? , ?1? ,问是否存在经过 A 、 B 两点且与 l1 、 l2 都相切的圆, 若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. 20.
3 2 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? ax ? b ( a,b ? R)的一个极值点为 x ? 1 .方程 ax ? x ? b ? 0 的
2

?3 ?2

? ?

两个实根为 ? , ?

?? ? ? ? ,

函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的.

(1) 求 a 的值和 b 的取值范围; (2) 若 x1 , x2 ??? , ? ? , 证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 . 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ,且对任意 n?N 都有 an ? bn ? 1 ,
*

21.

an?1 b ? n2. an 1 ? an

(1) 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 证明:

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . b2 b3 b 4 bn?1 b1 b2 b 3 bn
第 4 页 共 18 页

2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评 分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.1 10.

x2 y 2 ? ?1 8 2

11. 乙

12. 3n ? 3n ? 1
2

13. 180

14.

8 5 5

15. 2 5

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 解能力) (1)解法 1:∵ tan ? 考查化归与转化的数学思想方法和运算求

?? ? ?? ? ? 2 , ?4 ?

tan


?
4

? tan ?

tan ? 4 1 ? tan ? ? 2. ∴ 1 ? tan ? 1 解得 tan ? ? . 3 1 ? tan
解法 2:∵ tan ?

?

? 2.

?2 分

?4 分

?? ? ?? ? ? 2 , ?4 ?
第 5 页 共 18 页

∴ tan ? ? tan ??

?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 4? ?? 4

? ?? ? tan ? ? ? ? ? tan 4 ?4 ? ? ? ?? ? 1 ? tan ? ? ? ? tan 4 ?4 ?
? 2 ?1 1 ? 2 ?1 1 ? . 3

?2 分

?4 分

(2)解:

sin ?? ? ? ? ? 2 sin ? cos ?

2 sin ? sin ? ? cos ?? ? ? ?

?

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

?6 分

?

?

sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ?

?8 分

? tan ? ? ? ? ?
? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
?10 分

1 1 ? ? 2 3 1 1 1? ? 2 3 1 ? . 7

?12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查空间线面关系、 空间角等知识, 考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一: (1) 解:在图 4 中, ∵ ?ABC ? ?DAB ? 90 , ?CAB ? 30 , BC ? 1,
? ?

第 6 页 共 18 页

∴ AB ?

BC 1 ? ? 3, ? tan 30 3 3

AC ?

BC 1 ? ? 2 , ?DAC ? 60? . ? 1 sin 30 2

∵ AD ? CD , ∴△ DAC 为等边三角形. ∴ AD ? CD ? AC ? 2 . 在图 5 中, ∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的正投影, ∴ PE ? 平面 ABC . ∵ BC ? 平面 ABC , ∴ PE ? BC . ∵ ?CBA ? 90 , ∴ BC ? AB . ∵ PE ? AB ? E, PE ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB .(数学驿站 www.maths168.com)
P
?

?2 分
D

C

A

B

图4

∴ ?CPB 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角. 在 Rt△ CBP 中, BC ? 1, PC ? DC ? 2 , ∴ sin ?CPB ?
?

?4 分

BC 1 ? . PC 2
?

∵ 0 ? ?CPB ? 90 , ∴ ?CPB ? 30 . ∴直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30 . (2) 解:取 AC 的中点 F , 连接 PF , EF . ∵ PA ? PC , ∴ PF ? AC . ∵ PE ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ PE ? AC . ∵ PF ? PE ? P, PF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF ,
? ?

A

F

C

E B

?6 分

图5

第 7 页 共 18 页

∴ AC ? 平面 PEF . ∵ EF ? 平面 PEF , ∴ EF ? AC . ∴ ?PFE 为二面角 P ? AC ? B 的平面角. 在 Rt△ EFA 中, AF ?
? ∴ EF ? AF ? tan 30 ?

?8 分

1 AC ? 1, ?FAE ? 30? , 2

3 2 3 2 2 , AE ? EF ? AF ? . 3 3

在 Rt△ PFA 中, PF ?

PA2 ? AF 2 ? 22 ?12 ? 3 .

3 EF 1 在 Rt△ PEF 中, cos ?PFE ? ? 3 ? . PF 3 3
∴二面角 P ? AC ? B 的大小的余弦值为 方法二: 解:在图 4 中, ∵ ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 1, ∴ AB ?

1 . 3

?12 分

BC 1 ? ? 3, ? tan 30 3 3

AC ?

BC 1 ? ? 2 , ?DAC ? 60? . ? 1 sin 30 2

∵ AD ? CD , ∴△ DAC 为等边三角形. ∴ AD ? CD ? AC ? 2 . ?2 分
D

在图 5 中, (数学驿站 www.maths168.com) ∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的射影, ∴ PE ? 平面 ABC . ∵ BC ? 平面 ABC , ∴ PE ? BC . ∵ ?CBA ? 90 , ∴ BC ? AB .
?

C

A

B

图4

第 8 页 共 18 页

∵ PE ? AB ? E, PE ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB . 连接 EC , 在 Rt△ PEA 和 Rt△ PEC 中, PA ? PC ? 2, PE ? PE , ∴Rt△ PEA ? Rt△ PEC . ∴ EA ? EC . ∴ ?ECA ? ?EAC ? 30 .
A
?

?4 分
z P

y C

∴ ?CEB ? 60 .
E

?

在 Rt△ CBE 中, EB ?

BC 1 3 . ? ? ? tan 60 3 3

B x 图5

∴ AE ? AB ? EB ?

2 3 . 3

在 Rt△ PEA 中, PE ?

PA2 ? AE 2 ?

2 6 . 3

?6 分

以点 E 为原点, EB 所在直线为 x 轴,与 BC 平行的直线为 y 轴, EP 所在直线为 z 轴,建立空 间直角坐标系 E ? xyz ,则 E ? 0,0,0? , A ? ?

? 2 3 ? ? 3 ? ? 3 ? , 0, 0 ? , B ? , 0, 0 ? , C ? ,1, 0 ? , ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ?

? 2 6? P ? 0, 0, ?. ? 3 ? ? ? ? 2 6 ? ???? ? , AC ? ? 3 ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 BC ?PC (1)∵ cos BC , PC ? ??? ??? ? , ? ? 2 BC PC
∴ BC ? ? 0,1,0 ? , EP ? ? 0, 0,

??? ?

??? ?

?

??? ? 3 ? 2 6? 3,1, 0 , PC ? ? ? 3 ,1, ? 3 ? . ? ? ?

?

∴ BC , PC ? 30 . ∴ 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30 . (2) 设平面 PAC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,
?

??? ??? ? ?

?

?9 分

第 9 页 共 18 页

???? ?n?AC ? 0, ? 由 ? ???? ?n?PC ? 0. ?

? 3 x ? y ? 0, ? 得? 3 2 6 x? y? z ? 0. ? 3 ? 3

令 x ?1, 得 y ? ? 3 , z ? ?

2 . 2

∴n ? ? 1, ? 3, ?

? ? ?

2? ? 为平面 PAC 的一个法向量. 2 ? ?

2 6? ? 为平面 ABC 的一个法向量, 3 ? ? ??? ? ??? ? 1 n?EP ∴ cos n, EP ? ??? ? ? . ? 3 n EP
∵ EP ? ? 0, 0,

??? ?

? ? ?

∵二面角 P ? AC ? B 的平面角为锐角, ∴二面角 P ? AC ? B 的平面角的余弦值为 18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设 p ? ∴ p? 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理

1 . 3

?12 分

k ( k 为常数 ) ,由于 s ? 15 ?t ?1??0 ? t ? 4 ? , s
?2 分

k ? 0 ? t ? 4? . 15 ? t ? 1?
4 4 k , 则 ? ,解得 k ? 18 . 5 5 15 ? ? 0.5 ? 1?

当 t ? 0.5 时, p1 ?

∴p?

18 6 ? ? 0 ? t ? 4? . 15 ? t ? 1? 5 ? t ? 1?
6 3 ? . 5? 2 5 3 . 5

?4 分

当 t ? 1 时, p2 ?

∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为

?6 分

(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A ,“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件 B ,则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件: A ? AB . ∵ P ? A? ? ?7 分

4 3 , P ? B? ? , 5 5

第 10 页 共 18 页

∴ P A ? AB ? P ? A ? ? P A P ? B ?

?

?

? ?

?

4 ? 4 ? 3 23 . ? ?1 ? ? ? ? 5 ? 5 ? 5 25
23 . 25
?10 分

∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为

(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为 ? , 则 ? ? B ? 3, ∴至少命中两个飞碟的概率为 P ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 3?
2 ? C 3 p2 ?1 ? p ? + C 3 p 3 3

? ?

23 ? ?. 25 ?
?12 分

2 ? 23 ? ? 23 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? 25 ?

2

3

?
19. (本小题满分 14 分)

15341 . 15625

?14 分

(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? , ∵ l1 、 l2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y '

x ? x1

?

x1 ,直线 l2 的斜率 k2 ? y ' p

x ? x2

?

x2 . p

∵ l1 ? l2 ,(数学驿站 www.maths168.com) ∴ k1k2 ? ?1, 得 x1 x2 ? ? p2 . ① ?2 分

∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点, ∴ y1 ?

x12 x2 , y2 ? 2 . 2p 2p x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? . 2p p 2p p

∴ 直线 l1 的方程为 y ?

第 11 页 共 18 页

? x2 x y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? 2p p ? 由? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? 2p p ?
∴点 D 的纵坐标为 ?

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 解得 ? ?y ? ? p . ? ? 2
?4 分

p . 2

(2) 证法 1:∵ F 为抛物线 C 的焦点, ∴ F ? 0,

? ?

p? ?. 2?

∴ 直线 AF 的斜率为 k AF

2 p x1 ? p y1 ? 2 2 2 ? 2 p 2 ? x1 ? p , ? x1 ? 0 x1 2 px1

直线 BF 的斜率为 kBF

2 x2 p p ? y2 ? 2 2 2 ? 2 p 2 ? x2 ? p . ? x2 ? 0 x2 2 px2

∵ k AF ? kBF ?

2 x12 ? p 2 x2 ? p 2 ? 2 px1 2 px2
2 x2 ? x12 ? p 2 ? ? x1 ? x2 ? p 2 ?

?6 分

?

2 px1 x2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? p 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 px1 x2 ? p2 ? x1 ? x2 ? ? p 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 px1 x2
? 0.
∴ k AF ? kBF . ∴ A 、 B 、 F 三点共线. 证法 2:∵ F 为抛物线 C 的焦点, ∴ F ? 0, ?8 分

? ?

p? ?. 2?

∴ AF ? ? ? x1 ,

??? ? ? ?

p 2 ? x12 ? p x12 ? ? ? ? ? ? x1 , ? ?, 2 2p ? ? 2p ? ? ?. ?

2 ??? ? ? p 2 ? x2 p x2 ? ? BF ? ? ? x2 , ? 2 ? ? ? ? x2 , 2 2p ? ? 2p ?

第 12 页 共 18 页

p 2 ? x12 p2 ? x2 ? x x ? x2 x 2p ∵ ? 2 12 ? 1 2 12 ? 1 , 2 p 2 ? x2 p ? x2 ? x1 x2 ? x2 x2 2p
∴ AF // BF . ∴ A 、 B 、 F 三点共线. 证法 3:设线段 AB 的中点为 E , 则 E 的坐标为 ? 抛物线 C 的准线为 l : y ? ?

?6 分

??? ??? ? ?

?8 分

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?. 2 ? ? 2
y

p . 2

作 AA ? l , BB1 ? l , 垂足分别为 A1 , B1 . 1
E

B

p? ? x ? x2 ∵ 由(1)知点 D 的坐标为 ? 1 ,? ?, 2? ? 2
∴ DE ? l . ∴ DE 是直角梯形 AA B1B 的中位线. 1 ∴ DE ?

F
A

O D

x

A1

B1

l

1 ? AA1 ? BB1 ? . 2

?6 分

根据抛物线的定义得: AA ? AF , BB1 ? BF , 1 ∴ DE ?

1 ? AA1 ? BB1 ? ? 1 ? AF ? BF ? . 2 2

∵ AD ? DB , E 为线段 AB 的中点,

1 AB . 2 1 1 ∴ AB ? ? AF ? BF ? ,即 AB ? AF ? BF . 2 2
∴ DE ? ∴ A 、 B 、 F 三点共线. (3)解: 不存在. 证明如下: 假设存在符合题意的圆,设该圆的圆心为 M , 依题意得 MA ? AD, MB ? BD ,且 MA ? MB , 由 l1 ? l2 ,得 AD ? BD . ∴ 四边形 MADB 是正方形. ?8 分

第 13 页 共 18 页

∴ AD ? BD . ∵点 D 的坐标为 ? , ?1? , ∴?

?10 分

?3 ?2

? ?

p ? ?1 ,得 p ? 2 . 2

x2 x ? 3 ?3 ? ? D ? , ?1? 的坐标代入直线 l1 , 得 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? x1 ? 把点 4 2 ?2 ?2 ? ?
解得 x1 ? 4 或 x1 ? ?1 , ∴点 A 的坐标为 ? 4, 4 ? 或 ? ?1, ? . 同理可求得点 B 的坐标为 ? 4, 4 ? 或 ? ?1, ? . 由于 A 、 B 是抛物线 C 上的不同两点,不妨令 A ? ?1, ? , B ? 4,4? .

? ?

1? 4?

? ?

1? 4?

? ?

1? 4?

∴ AD ? ? ?1 ?

? ?

3? ?1 ? 125 , ? ? ? ? 1? ? 2? ?4 ? 16

2

2

3? 125 2 ? BD ? ? 4 ? ? ? ? 4 ? 1? ? . ?13 分 2? 4 ?

2

∴ AD ? BD , 这与 AD ? BD 矛盾. ∴经过 A 、 B 两点且与 l1 、 l2 都相切的圆不存在. 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学 思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b ,
3 2

?14 分

∴f

'

? x? ? 3x2 ? 2x ? a .
3 2

∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b 的一个极值点为 x ? 1 , ∴ f ?1? ? 3?1 ? 2 ?1 ? a ? 0 .
' 2

∴ a ? ?1 . ∴f
'

?2 分

? x? ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ?3x ? 1?? x ? 1? ,

第 14 页 共 18 页

当 x ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 ?

1 3

1 ? x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ; 3

∴函数 f ? x ? 在 ? ??, ? ? 上单调递增, 在 ? ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增. 3? ? ? 3 ? ∵方程 ax ? x ? b ? 0 的两个实根为 ? , ? , 即 x ? x ? b ? 0 的两根为 ? , ?
2 2

?

1?

? 1 ?

?? ? ? ? ,

∴? ?

1 ? 1 ? 4b 1 ? 1 ? 4b . ,? ? 2 2
?4 分

∴ ? ? ? ? 1, ?? ? ?b , ? ? ? ? ? 1 ? 4b . ∵ 函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的, ∴区间 ?? , ? ? 只能是区间 ? ??, ? ? , ? ? ,1? , ?1, ?? ? 之一的子区间. 3 3 由于 ? ? ? ? 1, ? ? ? ,故 ?? , ? ? ? ? ? ,1? . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? ? 1,与 ? ? ? ? 1 矛盾. ∴ ?? , ? ? ? ?0,1? . ∴方程 x ? x ? b ? 0 的两根 ? , ? 都在区间 ?0,1? 上.
2

? ?

1? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 3 ?

?6 分

令 g ? x ? ? x ? x ? b , g ? x ? 的对称轴为 x ?
2

1 ? ? 0,1? , 2

? g ? 0 ? ? ?b ? 0, 1 ? 则 ? g ?1? ? ?b ? 0, 解得 ? ? b ? 0 . 4 ? ? ? 1 ? 4b ? 0. ?
∴实数 b 的取值范围为 ? ?

? 1 ? , 0? . ? 4 ?

?8 分

说明:6 分至 8 分的得分点也可以用下面的方法.
∵? ?

1 ? 1 ? 4b 1 1 ? 1 ? 4b 1 ? ,? ? ? 且函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的, 2 2 2 2 1 ? ,1 . ? 3 ? ?



?? , ? ? ? ?? ?

第 15 页 共 18 页

?1 ? 1 ? 4b 1 ?? , ? 1 ? 2 3 ? ?? ? ? 3 , ?1 ? 1 ? 4b ? ? ? 1, 由 ? ? ? 1, 即? 2 ? ? ? ? 1 ? 4b ? 0. ?1 ? 4b ? 0. ? ? ? ? ?
解得 ?

?6 分

1 ?b?0. 4

∴实数 b 的取值范围为 ? ?

? 1 ? , 0? . ? 4 ?

?8 分

(2)证明:由(1)可知函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上单调递减, ∴函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上的最大值为 f ∵ x1 , x2 ??? , ? ? , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?? ? ? f ? ? ?

?? ? ,

最小值为 f

?? ? .

? ?? 3 ? ? 2 ? ? ? b ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? b ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?
2 ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1? ? ?

? ? 1 ? 4b ? ? b ? 1? ? 1 ? 4b ? ?1 ? b ? .
1 2 ? t ? 1? , 1 ? 4b ? ?1 ? b ? ? 1 ? 5t ? t 3 ? . 4 4 1 1 3 ' 2 设 h ? t ? ? ? 5t ? t ? , 则 h ? t ? ? ? 5 ? 3t ? . 4 4 1 ∵? ? b ? 0 , 4
令 t ? 1 ? 4b , 则 b ? ∴0 ? t ?1. ?10 分

1 ? 5 ? 3t 2 ? ? 0 . 4 1 3 ∴函数 h ? t ? ? ? 5t ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增. 4
∴ h ?t ? ?
'

?12 分

∴ h ?t ? ? h ?1? ? 1 .
第 16 页 共 18 页



f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 .

?14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思 想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意 n?N 都有 an ? bn ? 1 ,
*

an?1 b ? n2, an 1 ? an



an?1 b 1 ? an 1 . ? n2? ? 2 an 1 ? an 1 ? an 1 ? an 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ?1. an?1 an an ?1 an
?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. a1 ? an ?
且 a1 ? b1 ? 1, ?2 分



∴数列 ?

∵ a1 ? b1 , ∴ a1 ? b1 ? ∴

1 . 2
?4 分

1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 . an
1 , n ?1
1 , n ?1

∴ an ?

bn ? 1 ? an ?
bn ?

n . n ?1


?6 分

(2)证明: ∵ an ?

n , n ?1

an 1 ? . bn n

∴所证不等式

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , b2 b3 b 4 bn?1 b1 b2 b 3 bn

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2 3 4 n ?1 2 3 n 1 1 1 ① 先证右边不等式: ln ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2 3 n 1 x ' ?1 ? ? 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , 则 f ? x ? ? . 1? x 1? x
即 当 x ? 0 时, f
'

? x? ? 0 ,

所以函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递减. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 即 ln ?1 ? x ? ? x .
第 17 页 共 18 页

?8 分

分别取 x ? 1,

1 1 1 , ,? , . 2 3 n

得 ln ?1 ? 1? ? ln ?1 ? 即 ln ??1 ? 1?? 1 ? ?

? ?

1? 1 1 1 ? 1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2? 2 3 n ? 3? ? n?

? ?

? ?

1? ? 1? 1 1 1 ? 1 ?? ?? ?? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? 2? ? 3? 2 3 n ? n ??

也即 ln ? 2 ?

? ?

3 4 n ?1? 1 1 1 ? ??? ? ? 1? ? ??? . 2 3 n ? 2 3 n
?10 分

1 1 1 ? ??? . 2 3 n 1 1 1 1 ? ? ??? ? ln ?1 ? n ? . ② 再证左边不等式: 2 3 4 n ?1
即 ln ?1 ? n ? ? 1 ? 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 当 x ? 0 时, f

x 1 1 x , 则 f ' ? x? ? . ? ? 2 2 1? x 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?

'

? x? ? 0 ,

所以函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 分别取 x ? 1, 即 ln ?1 ? x ? ?

x . 1? x

?12 分

1 1 1 , ,? , . 2 3 n

得 ln ?1 ? 1? ? ln ?1 ? 即 ln ??1 ? 1?? 1 ? ?

? ?

1? 1 ? 1? ? 1? 1 1 . ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 1? n ? 3? ? n? 2 3

? ?

? ?

1 1? ? 1? ? 1 ?? 1 1 ?? ?? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? n . ? 2? ? 3? ? n ??
即 ln ?1 ? n ? ?

也即 ln ? 2 ?

? ?

3 4 n ?1? 1 1 1 . ? ??? ? ? ? ??? 2 3 n ? 2 3 1? n

1 1 1 ? ??? . 2 3 1? n
?14 分



a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . b2 b3 b 4 bn?1 b1 b2 b 3 bn

第 18 页 共 18 页


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