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北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学理科


北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2016.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共

8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项.
x ? ? ? 0? ,则 M ? N ? 1.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ? x | ? x ?1 ? A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ? x | x ? 0?

D. ?x | ?1 ? x ? 0?

2.复数 z ? i(1 ? i) ( i 是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为 A. (1,1) B. ( ?1, ?1) C. (1, ?1) D. ( ?1,1)

开始 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 m =1, i=1

m=m (2-i)+1

i= i +1

m=0? 是 输出 i



结束

第 3 题图
·1·

4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上 的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统 计, 统计结果如下面的频率分布直方图所示. 若 该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h ~ 120km/h,试估计 2000 辆车中,在这段时间内 以正常速度通过该处的汽车约有 A. 30 辆 C. 170 辆 B. 300 辆 D. 1700 辆 0.010 0.005 0.035 0.030 0.020

频率 组距

80

90

100 110 120 130 车速(km/h)

第 4 题图 5. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? a ? x ? cos x 在 R 上单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

6. 已知点 Q (2 2 ,0) 及抛物线 x ? 4 y 上一动点 P( x, y ) ,则 y ? PQ 的最小值是 A.

1 2

B.1

C. 2

D. 3

7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是 A.27 C.32 B.30 D.36 4 正视图 3 侧视图 3

俯视图 第 7 题图 8. 设函数 f ( x ) 的定义域 D , 如果存在正实数 m , 使得对任意 x ? D , 都有 f ( x ? m) ? f ( x) , 则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数” .已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? a (a?R ) .若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数” ,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? 5 C. a ? 10 D. a ? 20

·2·

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

? 9.函数 y ? 2sin(2 x ? ) ?1 的最小正周期是 6

,最小值是



?x ? y ≤ 2, ? 10.若 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ≥ 1 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ? y ≤ 1, ?



11.在各项均为正数的等比数列 {an }中,若 a2 = 2 ,则 a1 + 2a3 的最小值是



12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与 老师相邻,则不同站法种数为 .

13.已知 A, B 为圆 C : ( x ? m) 2 ? ( y ? n) 2 ? 9 ( m, n ? R )上两个不同的点( C 为圆心) ,且满足

??? ? ??? ? | CA ? CB |? 2 5 ,则 AB ?



14.已知点 O 在 ?ABC 的内部,且有 xOA ? yOB ? zOC ? 0 ,记 ?AOB, ?BOC, ?AOC 的面积分别 为 S?AOB,S?BOC,S?AOC . 若 x ? y ? z ?1, 则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? 则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? . ; 若x?2 , y ?3 , z? 4 ,

??? ?

??? ?

??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 某中学高一年级共 8 个班,现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组,其中高一(1)班选取 3 名同学,其它各班各选取 1 名同学.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到社区老年中心参加“尊 老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的 3 名同学来自不同班级的概率; (Ⅱ)设 X 为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

16. (本小题满分 13 分)
·3·

如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, ?CAD ? (Ⅰ)求 sin ?C 的值; (Ⅱ)若 BD ? 5, 求 ?ABD 的面积.

2 ? 7 . , AC ? , cos ?ADB ? ? 10 4 2
A

B

D

C

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?DAB ? 60? .点 E 是棱 PC 的中点, 平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (Ⅰ)求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? PD ? AD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD , 求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值.

P F D A E C B

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上为增函数,求 a 的取值范 围; (Ⅱ)当 a ? ?e 时, (ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ? 0 ; (ⅱ)试判断方程 f ( x) ?

ln x 3 ? 是否有实数解,并说明理由. x 2

19.(本小题满分 14 分)
·4·

已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 与椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 4 相交于 A , B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB ; (Ⅲ)求 ?OAB 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知有穷数列: a1 , a2 , a3 ,?, ak (k ? N* , k ? 3) 的各项均为正数,且满足条件: ① a1 ? ak ;② an ?

2 1 ? 2an?1 ? (n ? 1, 2,3,?, k ? 1) . an an?1

(Ⅰ)若 k ? 3, a1 ? 2 ,求出这个数列; (Ⅱ)若 k ? 4 ,求 a1 的所有取值的集合; (Ⅲ)若 k 是偶数,求 a1 的最大值(用 k 表示) .

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·5·

数学答案(理工类)
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C

2016.1

7 A

8 B

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12 13 14
1:1:1 4:2:3

π , ?1

4

4 2

12

4

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A,则

P( A) ?

1 2 3 C3 ? C7 ? C30 ? C7 49 ? . 3 C10 60

所以选出的 3 名同学来自班级的概率为

49 . 60

???????????5 分

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3,则
0 3 C3 ? C7 7 P( X ? 0) ? ? ; 3 C10 24 1 C32 ? C7 7 ? ; 3 C10 40 1 2 C3 ? C7 21 ; P( X ? 1) ? ? 3 C10 40 3 0 C3 ? C7 1 . ? 3 C10 120

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以随机变量 X 的分布列是 X P 随机变量 X 的数学期望 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

1 120

E( X ) ? 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 24 40 40 120 10

??????????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos ?ADB ? ? 又因为 ?CAD ?

2 7 2 ,所以 sin ?ADB ? . 10 10

? ? ,所以 ?C ? ?ADB ? . 4 4
·6·

? ? ? 所以 sin ?C ? sin(?ADB ? ) ? sin ?ADB ? cos ? cos ?ADB ? sin 4 4 4
? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

?????????7 分

? AC ? sin ?C 2 5 AD AC ? ?2 2 . ? (Ⅱ)在 ?ACD 中,由 ,得 AD ? sin ?ADC 7 2 sin ?C sin ?ADC 10
所以 S?ABD ?

7 4

1 1 7 2 AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? 5 ? ?7. 2 2 10

????13 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是菱形,所以 AB ∥ CD . 又因为 AB ? 面 PCD , CD ? 面 PCD ,所以 AB ∥面 PCD . 又因为 A, B, E, F 四点共面,且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF , 所以 AB ∥ EF . ?????????5 分 (Ⅱ)取 AD 中点 G ,连接 PG, GB . 因为 PA ? PD ,所以 PG ? AD . 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 PG ? 平面 ABCD .所以 PG ? GB . 在菱形 ABCD 中,因为 AB ? AD ,
z

P F G A
x

E D C B
y

?DAB ? 60? , G 是 AD 中点,
所以 AD ? GB .

如图,建立空间直角坐标系 G ? xyz .设 PA ? PD ? AD ? 2a , 则 G(0,0,0), A(a,0,0) ,

B(0, 3a,0), C(?2a, 3a,0), D(?a,0,0), P(0,0, 3a) .
又 因 为 AB ∥ EF , 点 E 是 棱 PC 中 点 , 所 以 点 F 是 棱 PD 中 点 . 所 以 E (?a,

3a 3a , ), 2 2

??? ? ??? ? a a 3a 3a 3a 3a F (? , 0, ) .所以 AF ? (? , 0, ) , EF ? ( , ? , 0) . 2 2 2 2 2 2
·7·

??? ? ? z ? 3 x, ? ? ?n ? AF ? 0, 设平面 AFE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有 ? ??? 所以 ? ? 3 x. ? ?y ? ? n ? EF ? 0. 3 ?
令 x ? 3 ,则平面 AFE 的一个法向量为 n ? (3, 3,3 3) . 因为 BG ? 平面 PAD ,所以 GB ? (0, 3a,0) 是平面 PAF 的一个法向量.

??? ?

??? ? ??? ? n ? GB 3a 13 因为 cos < n, GB >? , ? ??? ? ? 39 ? 3a 13 n ? GB
所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 18. (本小题满分 14 分)

13 . ????????13 分 13

1 解:函数 f ( x) 定义域 x ? (0,??) , f ?( x) ? a ? . x
(Ⅰ)因为 f ( x) 在区间 [1, 2] 上为增函数,所以 f ?( x) ? 0 在 x ? [1, 2] 上恒成立, 即 f ?( x) ? a ? 则a ? ? .

1 1 ? 0 , a ? ? 在 x ? [1, 2] 上恒成立, x x
?????????????????????4 分

1 2

(Ⅱ)当 a ? ?e 时, f ( x) ? ?e x ? ln x , f ?( x) ?

?ex ? 1 . x

1 (ⅰ)令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . e 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (0, ) ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递增. e e 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ( , ??) ,所以函数 f ( x) 在 ( , ??) 单调递减. e e 1 1 1 所以, f ( x)max ? f ( ) ? ?e ? ? ln ? ?2 . e e e
所以 f ( x) ? 2 ? 0 成立. ???????????????????9 分

(ⅱ)由(ⅰ)知, f ( x)max ? ?2 , 所以 | f ( x) |? 2 . 设 g ( x) ?

1 ? ln x ln x 3 . ? , x ? (0, ??). 所以 g ?( x) ? x 2 x2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? (0,e) ,所以函数 g ( x) 在 (0,e) 单调递增,
·8·

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? (e, ??) ,所以函数 g ( x) 在 (e, ??) 单调递减; 所以, g ( x)max ? g (e) ?

ln e 3 1 3 ? ? ? ? 2 , 即 g ( x) ? 2 . e 2 e 2 ln x 3 ? . x 2
???????????14 分

所以 | f ( x) |? g ( x) ,即 | f ( x) |? 所以,方程 | f ( x) |? 19. (本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)由题意可知 a ? 4 , b ?
2

ln x 3 ? 没有实数解. x 2

4 8 2 2 2 ,所以 c ? a ? b ? . 3 3
??????????3 分

所以 e ?

c 6 6 .所以椭圆 C 的离心率为 . ? a 3 3

(Ⅱ)若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 .

x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 在 4 4
不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ?1 ? 0 .所以 OA ? OB . 同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 若切线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m ,依题意

??? ? ??? ?

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

由?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 4 ? 0 .显然 ? ? 0 . 2 2 ?x ? 3y ? 4
6km 3m2 ? 4 x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . 所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

??? ? ??? ?

3m2 ? 4 6km ? (k ? 1) 2 ? km 2 ? m2 3k ? 1 3k ? 1
2

?

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 3k 2 ? 1 4m 2 ? 4k 2 ? 4 3k 2 ? 1
·9·

?

?

4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ?0. 3k 2 ? 1

所以 OA ? OB . 综上所述,总有 OA ? OB 成立. ??????????????????9 分 (Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高, 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 . 则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k 2 ? (

6km 2 3m2 ? 4 ) ? 4 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?

2 1? k 2 ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 3k 2 ? 1

2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 ? ? 12k ? 3m ? 4 ? ? 12k 2 ? 3(k 2 ? 1) ? 4 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ?
2

2 1? k 2 ? 9k 2 ? 1 . 2 3k ? 1

4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 所以 AB ? ? ? 4(1 ? 4 ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k ? 6k 2 ? 1
k2 16 4 16 3 ? 4 ? 16 ? 4 ? 4? ? 4 ? ? (当且仅当 k ? ? 时, 等号成 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 3 9k 2 ? 2 ? 6 k
立) .所以 AB ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3

综上所述,当且仅当 k ? ? 20. (本小题满分 13 分)

3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 .???????14 分 3 3

解: (Ⅰ)因为 k ? 3, a1 ? 2 ,由①知 a3 ? 2 ; 由②知, 2a2 ?

1 1 2 ? a1 ? ? 3 ,整理得, 2a22 ? 3a2 ? 1 ? 0 .解得, a2 ? 1 或 a2 ? . 2 a2 a1
·10·

当 a2 ? 1 时,不满足 a2 ?

2 1 ,舍去; ? 2a3 ? a2 a3
???????????????????3 分

所以,这个数列为 2, , 2 . (Ⅱ)若 k ? 4 ,由①知 a4 ? a1 . 因为 an ?

1 2

2 1 1 ? 2an?1 ? (n ? 1, 2,3) ,所以 (an ? 2an ?1 )(1 ? )?0 . an an?1 an an ?1
1 1 an 或 an?1 ? (n ? 1, 2,3) . 2 an

所以 an ?1 ?

如果由 a1 计算 a4 没有用到或者恰用了 2 次 an ?1 ?

1 ,显然不满足条件; an 1 ,共有下面 4 种情况: an

所以由 a1 计算 a4 只能恰好 1 次或者 3 次用到 an ?1 ?

(1)若 a2 ?

1 1 1 1 1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 ,则 a4 ? ? a1 ,解得 a1 ? ; 2 2 2 a1 4a1 1 1 1 1 a1 , a3 ? , a4 ? a3 ,则 a4 ? ? a1 ,解得 a1 ? 1 ; 2 2 a2 a1 1 1 1 4 a1 , a3 ? a2 , a4 ? ,则 a4 ? ? a1 ,解得 a1 ? 2 ; 2 2 a3 a1

(2)若 a2 ?

(3)若 a2 ?

(4)若 a2 ?

1 1 1 1 , a3 ? , a4 ? ,则 a4 ? ? a1 ,解得 a1 ? 1 ; a1 a2 a3 a1
1 2

综上, a1 的所有取值的集合为 { ,1, 2} . ??????????????????8 分
* (Ⅲ)依题意,设 k ? 2m, m ? N , m ? 2 .由(II)知, an ?1 ?

1 1 an 或 an?1 ? (n ? 1, 2,3,? 2m ? 1) . 2 an

假设从 a1 到 a2 m 恰用了 i 次递推关系 an ?1 ? 则有 a2 m ? ( ) ? a1
t

1 1 ,用了 2m ? 1 ? i 次递推关系 an ?1 ? an , 2 an

1 2

( ?1) i

, 其中 t ? 2m ?1 ? i, t ? Z .

·11·

t 当 i 是偶数时, t ? 0 , a2 m ? ( ) ? a1 ? a1 无正数解,不满足条件;

1 2

当 i 是奇数时,由 a2 m ? ( ) ? a1
t

1 2

?1

1 ? a1 , t ? 2m ? 1 ? i ? 2m ? 2 得 a12 ? ( )t ? 22 m ? 2 , 2

所以 a1 ? 2m?1 . 又当 i ? 1 时,若 a2 ?

1 1 1 1 , a1 , a3 ? a2 ,?, a2 m?1 ? a2 m?2 , a2 m ? 2 2 2 a2 m?1
2m?2

有 a2 m ?1 ? ( )

1 2

? a1 , a2 m ?
m ?1

22 m ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2m?1 . a1
k ?1 2

所以, a1 的最大值是 2

.即 a1 ? 2

.?????????????13 分

·12·


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