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泄露天机 数学 理科(学生用卷)


泄露天机——2015 年高考押题 精粹 数学理科

本卷共 60 题,三种题型:选择题、填空题和解答题。选择题 36 小题,填空题 8 小题, 解答题 18 小题。

一、选择题(36 个小题)
1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 M ? ?3, 4,5? , N ? ?1, 2,5? , 则集合 ?1,

2? 可以表示 为( A. M )

N

B. (? UM)

N

C. M

(? U N)

D. (痧 UM)

( U N)

2. 集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?1,2,3?, C ? ?z | z ? xy, x ? A且y ? B? ,则集合 C 中的元素 个数为( A.3 ) B.4 C.11 D.12

3. 设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B =(
2

?

?



A. ?3?

B. ?2,3?

C. ??1,3?

D. ?0,1, 2?

4. 若 z (1 ? i) ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 | z | 等于(



A.1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

5. 若复数 A. ? 6

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i B. ? 2 C. 4 D. 6



6. 复数

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1
B.第二象限

) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

7. 已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( A.

?

? ?

?



?4

B. ?3

C. ?2

D. -1

8. 已 知 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 个 点 P , 满 足

P A? P B ? P ,则 C
C D P

| PD | 的值为( | AD |
A



B

A.

1 2

B.

1 3

C. 1

D. 2

9. ΔABC 中, ?BAC ? 120 ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上的一点(包括端点) ,则 的取值范围是( A. [1,2] ) B.[0,1] C.[0,2] D. [﹣5,2]

?

10.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x ? x ,则下列说法中正确的 是( ) B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题

2 11.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( 2 A. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0



2 B. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

12.命题 p :关于 x 的方程 x x ? 2x ? m ? 0(m ? R) 有三个实数根;命题 q : 0 ? m ? 1 ; 则命题 p 成立时命题 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

13.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(

A. 30
4 3 2 正视图 3 俯视图 侧视图 3

B. 12

C. 24

D. 4

3 2 3 4

14. 某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为 2 ,则该几何体的体积为 ( )

A.

3 8

B. 8 ? 2?

C. ?

4 3

D. 8 ?

2 ? 3

15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

) D.

4 3

B.

5 2

C.

7 3

5 3

?x ? 1 ? 16 . 已 知 a ? 0 , x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? y 的 最 小 值 为 1 , 则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
( A. )

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

?x ? 1 ? 17.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 ax ? y 的最小值是 2 ,则 a ? ( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4



? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 18. 已 知 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0, 构 成 平 面 区 域 ? ( 其 中 x , y 是 变 量 ) 。 若 目 标 函 数 ?y ? 0 ?
z ? ax ? 6 y(a ? 0) 的最小值为-6,则实数 a 的值为(
A. ) D.

3 2

B.6

C.3

1 2

19. 如图给出的是计算 ( )

1 1 1 1 ? ? ?L ? 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是 2 4 6 2014

A. i ? 2013

B. i ? 2015

C. i ? 2017

D. i ? 2019

开始

20.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( A. 14 B. 15 C. 16

) D. 17

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

21. 执行如图所示的程序框图 , 若输入 n 的值为 22 , 则输出的 s 的值 为( A. 232 ) B. 211 C. 210 D. 191

n ? n ?1

S ? ?3?
是 输出n 结束



22. 已知 x 、 y 取值如下表:

x

0 1.3

1

4

5 5.6

6 7.4

y

m

3m

? ? x ? 1, 画散点图分析可知:y 与 x 线性相关, 且求得回归方程为 y 则 m 的值 (精确到 0.1)
为( A.1.5 ) B.1.6 C.1.7 D.1.8

23. 如图是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为( A.85,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86 )

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

24. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些 同学的支出都在 ?10,50? (单 位:元) ,其中支出在 ?30,50? (单位:元)的同学有 67 人, 其频率分布直方图如图所示,则 n 的值为( )

A.100

B.120

C.130

D.390

? ?? ? sin ? cos 3 2 25. 若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
A.

?? 2 ?( ?? 2



1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

26. 在 ?ABC 中,若 sin? A ? B? ? 1? 2 cos ABC 的形状一定是 ? B ? C? sin ? A ? C?,则 ? ( ) B.不含 60 的等腰三角形
o

A.等边三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

27. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( 2 6
? 2? C. ? 0, ? ? 3? ? 3? D. ? 0, ? ? 2?

?



? 2 4? A. ? , ? ? 3 3?

?2 3 ? B. ? , ? ?3 4 ?

28. 函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

为了得到 f ? x ? 的图象, ? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? , 3?

只需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

? 的图象( 3?



? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

29. 在 ?ABC 中, A ? 600 , BC ? 10, D 是 AB 边上的一点, CD ? 2 , ?BCD 的面积

为 1 ,则 AC 的长为( A. 2 3

) B. 3 C.

3 3

D.

2 3 3

30. 已知函数 f ( x) ? a sin ? x cos ? x ? 3 cos2 ? x(a ? 0, ? ? 0) 的最小正周期为 值为 ?

? ,最小 2

3 ,将函数 f ( x ) 的图像向左平移 ? ( ? >0)个单位后,得到的函数图形的一条对 2

称轴为 x ? A.

?
8

,则 ? 的值不可能为( B.

) C.

5? 24

13? 24

17? 24

D.

23? 24

x2 y2 ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a 的值为( 31. 已知双曲线 2 ? a 1 ? a2
A.



1 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

3 3

32. 如图过拋物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A, B, C, 若|BC| =2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( )

3 x 2 9 2 C. y ? x 2
A. y ?
2

B

y 2 ? 9x
D. y ? 3 x []
2

33. 椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆 M 上任一点且 a 2 b2

2 2 2 2 PF1 PF2 最大值取值范围是 ? ? 2c , 3c ? ? ,其中 c ? a ? b ,则椭圆离心率 e 取值范围为

( A. ?



? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

B. ?

? 3 2? , ? ? 3 2 ?

C. ?

? 3 ? ,1? ? ? 3 ?

D. ? ,

?1 1 ? ? ?3 2 ?

34. 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

ln x x

,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为(



35. 已知函数 f ( x) ? ? 个数不可能 为( ... A. 5 个

? log5 (1 ? x) ??( x ? 2) ? 2
2

( x ? 1) ( x ? 1)

,则关于 x 的方程 f ( x ?

1 ? 2) ? a 的实根 x

) B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个

36. 设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) , 当 x ? x0 时, 若
h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内 恒 成 立 , 则 称 P 为 函 数 y ? h( x) 的 “ 类 对 称 点 ” ,则 x ? x0

f ( x) ? x 2 ? 6x ? 4 ln x 的“类对称点”的横坐标是(
A.1 B. 2 C.e

) D. 3

二、填空题(12 个小题)

37. 二项式 ?

? 1 ? ? x 2 ? 的展开式中的常数项是________. ? x ?

10

38. 有 4 名优秀学生 A , B , C , D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所学校至少去 一名,则不同的保送方案共有 种.

? 1 6 ?? 2 ? ) 展开式中含 x 项的系数是_____ 39.设 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ,则二项式 (a x ? ? 4 x ? ? 2

40. 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象下方的点构成的
2

区域.在 D 内随机取一点,则该点落在 E 中的概率为



41. 随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的 概率是 。

42. 一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当有两个数 字的和等于第三个数字时称为“有缘数” (如 213,134 等) ,若 a, b, c ??1 , 2, 3 , 4? ,且 a, b,c 互不相同,则这个三位数为”有缘数”的概率是_________。 43. A、B、C、D 是同一球面上的四个点,其中 ?ABC 是正三角形, AD ⊥平面 ABC ,

AD=4,AB=2 3 ,则该球的表面积为_________。

44. 底面是正多边形, 顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图, 半球内有一内 接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱锥的体积为

4 2 ,则该半球的体积为 3



45. 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 且 中 心 为 O , AB ? BO ? 1 ,

PA ? PB ? PC ? PD ? 2 ,则该四棱锥的外接球的体积为



46. 已知等差数列 {an } 前 n 项和为 S n , 且满足

S5 S2 则数列 {an } 的公差为 ? ? 3, 5 2
n



47. 已 知 Sn 为 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 且 满 足 a1 ? 1 , an an?1 ? 3 ???(n ? N? ) , 则

S2014 ?



48. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n ?1 ,若不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an 对 ?n ? N ? 恒成 立,则整数 ? 的最大值为 。

三、解答题(18 个小题)
49. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 已知 (I)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A

(II)若 cos B ?

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的 面积 S 。 4

50. 在△ABC 中, a,b,c 是其三个内角 A,B,C 的对边, 且 a ? b,sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)设 c ? 3 ,求△ABC 的面积 S 的最大值。

51. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 S n ,且满足 an ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

(Ⅰ) 求证: 数列 ?

?1? 1 1 1 3 (Ⅱ) 证明: 当 n ? 2 时,S1 ? S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . ? 是等差数列; 2 3 n 2 ? Sn ?

52. 第 117 届中国进出品商品交易会(简称 2015 年春季广交会)将于 2015 年 4 月 15 日在 广州举行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿 者,现将这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:cm) ,若身高在 175cm 以上(包括

175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” 。

(Ⅰ)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) 。 (Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试 写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

53. 某学校从参加 2015 年迎新百科知识竞赛的同学中, 选取 40 名同学, 将他们的成绩 (百 分制) ( 均 为 整 数 )分 成 6 组 后 ,得 到 部 分 频 率 分 布 直 方 图( 如 图 ) ,观 察 图 形 中 的信息,回答下列问题。 ( Ⅰ ) 求 分 数 在 [70 , 80 ) 内 的 频 率 , 并 补 全 这 个 频 率 分 布 直 方 图 ; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; ( Ⅲ )若 从 60 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 人 ,抽 到 的 学 生 成 绩 在 [40 , 70 )记 0 分 ,在 [70 , 100] 记 1 分 , 用 X 表 示 抽 取 结 束 后 的 总 记 分 , 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .

54. 某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造, 对所辖企业是否支持 改造进行问卷调查,结果如下表:

支持 中型企业 小型企业 合计 80 240 320

不支持 40 200 240

合计 120 440 560

(Ⅰ) 能 否 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.025 的 前 提 下 认 为 “ 是 否 支 持 节 能 降 耗 技 术 改造”与“企业规模”有关? ( Ⅱ ) 从 上 述 320 家 支 持 节 能 降 耗 改 造 的 中 小 企 业 中 按 分 层 抽 样 的 方 法 抽 出 12 家 ,然 后 从 这 12 家 中 选 出 9 家 进 行 奖 励 ,分 别 奖 励 中 、小 企 业 每 家 50 万 元 、10 万元。记 X 表示所发奖励的钱数,求 X 的分布列和数学期望:

K2 ?
附:

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

P( K 2 ? k0 )
k0

55.如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面

PM ? ? ( ? ??0,1? )。 PC (Ⅰ) 求证: BC ? PC ;(Ⅱ) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为
ABCD 是 ?ABC ? 60 ? 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且

2 5 。 5

56. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. 2

(I)证明:DC1⊥BC; (II)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

57. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其中正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三 角形,俯视图为直角梯形.

(I)求证: ?? ? 平面 C1?1? ; (II)设 ? 为直线 C1? 与平面 C??1 所成的角,求 sin ? 的值; (Ⅲ )设 ? 为 ?? 中点,在 ? C 边上求一点 ? ,使 ?? // 平面 C??1 ,求

?? 的值. ?C

58. 椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点( A、 B 不是左右顶点),且以 AB 为

直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

59. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点 F1 , F2 ,动点 P 在椭圆上,且使得 a 2 b2

?F1PF2 ? 90 的点 P 恰有两个,动点 P 到焦点 F1 的距离的最大值为 2 ? 2 。
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)如图,以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2 ,过直线 x ? ?2 2 上的动点 T 作圆 C2 的两条 切线,设切点分别为 A,B,若直线 AB 与椭圆 C1 交于不同的两点 C,D,求

AB 的取值范围。 CD

60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为 2。 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ) 如图所示, 直线 l1 与抛物线 ? 相交于 A , B 两点,C 为抛物线 ? 上异于 A , B 的一点, 且 AC ? x 轴,过 B 作 AC 的垂线,垂足为 M ,过 C 作直线 l 2 交直线 BM 于点 N ,设 l1 , l 2 的 斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1k 2 ? 1 。 ① 线段 MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证: A, B, C , N 四点共圆.

61. 已知 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

62. 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (I)求函数 f ( x) 的最小值; (II)若 f ( x) ≥0 对任意的 x ∈R 恒成立,求实数 a 的值; (III)在(II)的条件下,证明: 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 1n(n ? 1)(n ? N * ) n

63. 已知函数 (Ⅰ)当 a

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .

? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

①若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值;

②在①的条件下,若 e

?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围。

64. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

B.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最大值.

C.选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? k ? x ? 3 , k ? R

且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1?

(Ⅰ)求 k 的值;

(Ⅱ)若 a, b, c

是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1 。 ka 2kb 3kc 9 9 9

65. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交

AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M.
(I)求证:DC 是⊙O 的切线; (II)求证:AM·MB=DF·DA.

B.选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已 知直线 l 的参数方程为 ? ?
? 1 x ? 2? t ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? 2 ( t 为参数) ? ? y? 3t ? ? 2

? 8cos? .

(I)求 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | .

C.选修 4-5:不等式选讲

() x ?? x1 ?? xa . 已知函数 f

1,解不等式 f (x (I)若 a ?? ) ?3;
(II)如果 ? ,求 a 的取值范围. x ? R ,f () x ? 2

66. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题记分. 做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂 黑 A. 选修 4—1:几何证明选讲

如图,四边形 ABCD 内接于圆 求对角线 BD、AC 的长.



B.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

4 cos ? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立 sin 2 ?

? x?? ? ? 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) 2 t 2

(I)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线 l 的参数方程化为普通方程; (II)求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

C.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b∈ R ,a+b=1, x1 , x 2 ∈ R . (1)求
?
?

x1 x2 2 + + 的最小值; a b x1 x2

(2)求证: (ax1+bx2 ) (ax2+bx1 )≥x1x2 .

参考答案
一、选择题(36 个小题)
1.答案:B 解析:有元素 1,2 的是 ? U M , N ,分析选项则只有 B 符合。 2. 答案:C 解析: C ? {1, 2,3, 4,5,6,8,9,10,12,15} ,故选 C。 3. 答案:C 解析:集合 B ? x x ? 2 x ? 0 ? x x ? 2或x ? 0 , A ? B ? ??1,3? 。
2

?

? ?

?

4. 答案:C 解析:化简得 z ? 5. 答 案 : A 解析:

2 1 1 ? i ,则 | z | = ,故选 C。 2 2 2

a ? 3 i ( a? 3 i) (1 ? 2 i ) a? 6 ? ? ? 1 ? 2i (1 ? 2 i ) (1 ? i2 ) 5
a?6 3? 2 a ? 0, ? 0? , a?? 6 。 5 5

? 3 a 2 i,所以 5

6. 答案:D 解析:根据复数的运算可知 所以正确选项为 D。 7. 答 案 : B 解析: m ? n ? (2? ? 3,3), m ? n ? (?1, ?1) ,

i ? 2i ? 1? 2 1 i 2 1? ? ? ? i ,所以复数的坐标为 ? ,? ? , 2 ? 2i ? 1 ? 2i ? ? 1 5 5 ?5 5?

? m ? n? ? ? m ? n ? ,?? 2? ? 3? ? ? ?1? ? 3 ? 0,? ? ? ?3 。
8. 答 案 : C 解析:如图,四边形 PBAC 是平行四边形,D 为边 BC 的中点,所以 D 为边 PA 的中点,
| PD | | AD |

的值为 1。

9. 答 案 : D 解析:∵D 是边 BC 上的一点(包括端点) , ∴可设 AD ? ? AB ? (1 ? ? ) AC(0 ? ? ? 1)

?BAC ? 120 , AB ? 2 , AC ? 1 ,? AB AC ? 2 ?1? COS120 ? ?1
? ? AD BC ? ? ?? AB ? (1 ? ? ) AC ? ( AC ? AB) ? (2? ? 1) AB AC ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ? ?(2? ? 1) ? 4? ? 1 ? ? ? ?7? ? 2. 0 ? ? ?1 ? (?7? ? 2) ? ? ? ?5, 2 ? ?
2 2

? AD BC 的取值范围是 ? ? ? 5, 2 ? ?。
10. 答 案 : C 解析:命题 p 为真命题.对命题 q ,当 x ? 真命题.所以 C 正确。 11. 答 案 : C
2 解析:命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ” 是特称命题,则它的否定是全称命题,即

1 1 1 时, x ? ? x ? ,故为假命题,?q 为 4 2 4

?x ? R x 2 ? 2 x ? 1 ? 0。
12. 答案:B 解析:由方程 x x ? 2 x ? m ? 0 ? m ? x(2 ? x ) ? ?

? x(2 ? x), x ? 0 ,易知函数 f ( x ) 是 ? x(2 ? x), x ? 0

R 上的奇函数,由 f ( x) 的图像可知,函数 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上的最大值是 1,根据图
像的对称性知函数 f ( x ) 在 ? ??,0 ? 上的最小值为-1,又函数 f ( x ) 的图像与 x 轴有 3 个交点,那么原方程有 3 个实数根的充要条件是 ? ?1,1? ,而 ?0,1? ? ? ? ?1,1? ,所以选 择 B。 13. 答案:C 解析:由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,

如图 V ? 14. 答案:D

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 ,故选 C 。 2 3 2

解析:由三视图可知此几何体是:棱长为 2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何 体,其体积为 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? 8 ?
3 2

1 3

2? ,故选 D。 3

15. 答案:A 解析:该几何体是下面是一个三棱柱,上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。其 体积为 ? 16. 答案:B 解析:依题意可以画出不等式表示的图形,当过点 ?1, ?2a ? 时取最小值,即 2-2 a =1,

1 ?1 4 ?1 ? ? ?1? 2 ? ?1 ? ? ? ?1? 2 ? ?1 ? 。 3 ?2 3 ?2 ? ?

a=

1 2。

17. 答案:B 解析:由已知得线性可行域如图所示,则 z ? ax ? y 的最小值为 2 ,若 a ? ?2 ,则 (1, 0) 为 最小值最优解,∴ a ? 2 ,若 a ? ?2 ,则 (3, 4) 为最小值最优解,不合题意,故选 B。

18. 答案:C

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 解析:不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示,因为 a ? 0 ,故 ?y ? 0 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0, ? x ? ?2, a 解得 ? 即 ? ? 0 。可知 z ? ax ? 6 y 在 C 点处取得最小值,联立 ? 6 ? y ? 0, ?y ? 0

C (?2,0) ,故 ?6 ? ?2a ? 6 ? 0 ,解得 a ? 3 。

19. 答案:B 解析:由程序知道, i ? 2, 4,6,L 2014 都应该满足条件, i ? 2016不满足条件,故应该选 择 B。 20. 答案:C 解析:由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 ,因此将输出

n ? 16 . 故选 C。
21. 答案:B 解析:第一次运行时, S ? 1, i ? 2 ;第二次运行时, S ? 1 ? 1, i ? 3 ; 第三次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ;第四次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ; 第五次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ;…,以此类推,

? 20, i? 直到 S ? 1 ? 1? 2? 3? 4? … ? 19
S ? 1?
22. 答案:C

22 ,程序才刚好不满足 i ? n ,故输出

20 ? ?1 ? 20 ? ? 211 .故选 B。 2

? ? x ? 1 可得 y ? 4.2 , 7 . 解析: 将 x ? 3.2 代入回归方程为 y 则 4m ?6
即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7 . 故选 C。 23. 答案:A

, 解得 m ? 1.675 ,

解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为 84,84,86,84,87 ,平均数为

84 ? 84? 86? 84 ? 87 ? 85 ,众数为 84. 故选 A。 5
24. 答案:A

解析: 支出在 ?30,50? 的同学的频率为 1 ? (0.01 ? 0.023) ?10 ? 0.67 ,n ? 25. 答案:B 解析:由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? ,
3 5 4 5

67 ? 100 。 0.67

? ?? ? ? ? ? ? cos cos ? sin (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 。 因此 ? ? ? ?? ? ?? ? ? cos ? 2 2 ? 2 ? sin ? cos cos ? sin cos ? sin 2 2 2 2 2 2
sin

? ??

26. 答案:D 解析:∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,∴sin(A-B)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1,∴A+B=90°,∴△ABC 是直角三角形。 27. 答案:A 解析: 结合特殊值, 求解三角函数的递减区间, 并验证结果. 取? ? 其减区间为 [
4 4 ? ,f ( x) ? sin( x ? ) , 3 3 6

? 3k? ? 3k? 3k? ? 3k? ? , ? ? ] (k ? Z ) ,显然 ( , ? ) ? [ ? , ? ? ] (k ? Z ) ,排除 2 2 4 2 2 4 2
3 3 ? 4k? 2? 4k? 8? , f ( x) ? sin( x ? ) ,其减区间为 [ ? , ? ] (k ? Z ) ,显然 2 2 6 3 9 3 9

B, C ;取 ? ?

? 4k? 2? 4k? 8? ( ,? ) ? [ ? , ? ] (k ? Z ) ,排除 D .选 A 。 2 3 9 3 9
28. 答案:C 解析:因为函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

2? ? 的最小正周期为 ? ,所以 ? ? ? ? 2 ,则 3?

?? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 3? ?
? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ?2 ? x ? ? ? ? ,则用 x ? 换 x 即 4 3? 3 2? 4 ? 3? ? ? ? ?
可得到 f ? x ? 的图像,所以向左平移 29. 答案:D 解析:因为 S?BCD ? 1 ,可得

? 个单位长度,则选 C。 4

1 5 ? CD ? BC ? sin ?DCB ? 1 ,即 sin ?DCB ? ,所 2 5

以 cos ?DCB ?

2 5 .在 ?BCD 中,由余弦定理 5 CD 2 ? BC 2 ? BD 2 2 5 ,解得 BD ? 2 ,所以 cos ?DCB ? ? 2CD BC 5 10 BD 2 ? BC 2 ? CD 2 3 10 cos ?DBC ? ,所以 sin ?DBC ? , ? 10 2 BD BC 10 BC AC BC sin B 2 3 ? 在 ?ABC 中,由正弦定理可知 ,可得 AC ? 。 ? sin A sin B sin A 3

30. 答案:B 解析:f ( x) ? a sin ? x cos ? x ? 3 cos
?
2

? x ? sin 2? x ?

a 2

3 3 , 依题意, cos 2? x ? 2 2

a2 3 3 3 , 所 以 a 2 ? 3 ? 12 , 因 为 a ? 0 , 解 得 a ? 3 , 故 ? ? ?? 4 4 2 2
3 3 s i? n 2 x? 2 2 3 c ?o x s? 2 ? 2

f ( x)?

? 3 ( xs i n ?2

3 2

? x c? os 2?

1 2

3 2

? 3 ) ? x ? 3 s? in(2 6 2

)

,故

2? ? ? ,所以 2? ? 4 ,即 f ( x ) ? 3 sin(4x ? ? )? 3 。将函数 f ( x) 的图片向 2? 2 6 2

左平移 ? ( ? >0)个单位后得到 g ( x) ? 3 sin(4 x ? ? ? 4? ) ? 3 ,因为函数 g ( x) 的 6 2 一条对称轴为 x ? 观察可知,选 B。 31. 答案:B 解析:依题意 0 ? a ? 1 , c ? 1 ,? 32. 答案:D 解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,

?

8

。故 4

?
8

?

?
6

? 4? ?

?
2

? k? (k ? Z ) ,解得 ? ? ?

?
24

?

k? (k ? Z ) , 4

1 2 。 ? 2,? a ? a 2

设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6,从而得 a=1,∵BD∥FG,∴

3 1 2 ? ,求得 p= ,因此抛物线方程为 y2=3x。 2 p 3

33. 答案:B 解析:由椭圆定义知 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,

PF1 ? PF2 2 ) ? a 2 , ? PF1 PF2 的最大值为 a 2 2 2 2 2 2 2 而 PF1 PF2 最大值取值范围是 ? ? 2c , 3c ? ? ,所以 2c ? a ? 3c PF1 PF2 ? (
于是得到

1 c2 1 ? ? , 3 a2 2
? 3 2? , ? ,选 B。 ? 3 2 ?

故椭圆的离心率的取值范围是 ? 34. 答案:A

解 析 : 由 函 数 的 奇 偶 性 可 知 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 , 所 以 排 除 B,C, 再 令

1 1 1 e ? 1? x ? ? , f ? x? ? ? ? ? ? ? 2 ? e ? 0 ,说明当 x 为负值时,有小于零的函 1 e e ? e? ? e
2

ln ?

数值,所以排除 D。 35. 答案:A 解析:因为 f ( x) ? 1 时, x =1 或 x =3 或 x =

4 1 4 或 x =-4,则当 a=1 时 x ? ? 2 ? 或 1 5 x 5 1 1 1 或 3 或-4,又因为 x ? ? 2 ? 0或x ? ? 2 ? -4 ,则当 x ? ? 2=-4 时只有一个 x x x

x =-2 与之对应其它情况都有两个 x 值与之对应,所以此时所求方程有 7 个根,当 1
<a<2 时因为函数 f ( x) 与 y=a 有 4 个交点,每个交点对应两个 x ,则此时所求方程有 8 个解,当 a=2 时函数 f ( x) 与 y=a 有 3 个交点,每个交点对应两个 x ,则此时所求方

程有 6 个解,所以 B,C,D 都有可能,则选 A。 36. 答案:B 解析:由于 f ?( x) ? 2 x ?

4 4 ? 6 ,则在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f / ( x0 ) ? 2 x0 ? ? 6 . x x0

? ? 4 2 所以切线方程为 y ? g ( x) ? ? 2 x0 ? ? 6 ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 x 0 ? ?
? ? 4 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? x ? x0 2 ? 4 ln x0 ? 4 x0 ? ?

? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? ? 2 x0 ?
?
则 ? ( x0 ) ? 0 , ? ' ( x) ? 2 x ? 当 x0 ?

?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ? , x0 ?

4 4 2 2 2 ? 6 ? (2 x0 ? ? 6) ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ? ( x ? x0 )( x ? ) . x x0 x0 x x x0

? 2? ? ? 2 时 , ? ? x ? 在 ? x0 , 2 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? x0 , ? 时 , x
? x0 ?

?

0

?

? ( x) 2? ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? ? ? 0; ? x0 , ? 时,
? x0 ?

x ? x0

当 x0 ?

? ? ? 2 ? ? x ? 在 ? 2 , x0 ? 上单调递减, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 2 时, 所以当 x ? ? ? , x0 ? 时, x x ?
0

?

?

0

?

? ? x? ? ? ? 0; 从而有 x ? ? 2 , x0 ? 时, x ? x x 0 ? 0 ?
所以在 (0, 2)

( 2, ??) 上不存在“类对称点”. 当 x0 ? 2 时, ? ?( x) ?

2 x? 2 x

?

?

2



所以 ? ? x ? 在 (0, ??) 上是增函数,故 所以 x ?
f ??( x) ? 2 ?

? ( x)
x ? x0

? 0.

2 是一个类对称点的横坐标. (可以利用二阶导函数为 0,求出
2。

4 ? 0 ,则 x ? x2

二、填空题(12 个小题)
37. 答案:45

r 解析: Tr ?1 ? C10 (

10 ? r 5r ? ?5 1 10?r r r ) (? x 2 )r ? C10 x 2 (?1)r x 2r ? C10 (?1)r x 2 ,则 x

5r 2 ? 5 ? 0 ? r ? 2 ,故常数项为 C10 (?1)2 ? 45 。 2
38. 答案:36 解析:先从 4 名优秀学生 A , B , C , D 中选出 2 名保送到甲,乙,丙 3 所学校中的
1 某一所,有 C2 4C3 ? 18 种方案;然后将剩余的 2 名优秀学生保送到剩余的 2 所学校,

18 ? 2 ? 36 种。 有 A2 2 ? 2 种方案;故不同的保送方案共有
39. 答案:-192

?? ? 解析:由于 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ? ? 2? (cos x ? sin x)dx ? sin x ? cos x ? 2 ? ? 4? ? 2 2
则 (2 x ? 40. 答案:
1 x
1 5 )6 含 x 项的系数为 C6 2 (?1) ? ?192 。
2

?

?

1 3
2 2

x3 2 8 |0 2 ? 2? x dx 3 ? 1。 解析:由几何概型得,该点落在 E 中的概率为 P ? 0 ? 3 ? 4? 4 16 16 3 2
41. 答案: 1 ?

?
24

解析:分别以三角形的三个顶点为圆心,1 为半径作圆,则在三角形内部且在三圆外部
1 ? ? ? 12 ? 2 的区域即为与三角形三个顶点距离不小于 1 的部分,即 P ? 1 ? 。 ?1? 1 24 ?6? 4 2

42. 答案:

1 2

解析:由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个; 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个; 由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个; 由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个. 所以共有 6+6+6+6=24 个. 由 1,2,3 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”. 由 1,3,4 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”.

所以三位数为”有缘数”的概率 P ? 43. 答案:32 ?

12 1 ? 。 24 2

解析:由题意画出几何体的图形如图, 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, AD=4,AB=2 3 ,△ABC 是正三角形,所以 AE=2,AO=2 2 。 所求球的表面积为:4 ? (2 2 )2=32 ? 。

44. 答案:

4 2 ? 3

解析:设所给半球的半径为 R ,则棱锥的高 h?R ,底面正方形中有

2 4 2 3 ,则 R ? 2 2 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2R ,所以其体积 R 3 ? 3 3
2 4 2 于是所求半球的体积为 V ? ?R 3 ? ?。 3 3
45. 答案:

7 7 ? 6

解析:因为 BO ? 1 ,故 BD ? 2 ,故 PO ?

PB2 ? BO2 ? 3 ;同理, BC ? 3 ;将

四棱锥 P ? ABCD 补成一个长方体,可知该长方体的长宽高分别为 3,1, 3 ,故所求 外接球的半径 r ? 46. 答案:2 解析:∵ Sn ? na1 ? 又
n(n ? 1) S S S n ?1 5 ?1 2 ?1 3 d ,∴ n ? a1 ? d ,∴ 5 ? 2 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? d) ? d , 2 n 2 5 2 2 2 2

3 ?1? 3 7 4 7 7 3 ?。 ? ,其体积 V ? ? R ? 3 6 2 2

S5 S2 ? ? 3 ,∴ d ? 2 。 5 2

47. 答案:2×31007﹣2 解析:由 anan+1=3n,得 an?1an ? 3n?1 ? n ? 2? , ∴
a n ?1 ? 3( n ? 2) , an ?1

则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列, 又 a2 ?
3 ?3. a1

∴ S2014 ?

1? (1 ? 31007 ) 3 ? (1 ? 31007 ) ? ? 2 ? 31007 ? 2 。 1? 3 1? 3

48. 答案:4 解析:当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 22 得 a1 ? 4 , Sn ? 2an ? 2n ?1 ; 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ? 2n ,两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2n ,得 an ? 2an ?1 ? 2n , 所以 又
an an ?1 ? ? 1。 2n 2n ?1
n

a a1 ?a ? 所以数列 ? n 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, n 即 an ? (n ? ) 12 ? ? 2, ? n ?1 , n ? 1 2 2n ?2 ?



因为 an ? 0 ,所以不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an ,等价于 5 ? ? ?
2n ? 1 n ?1 bn ?1 2n ? 3 2n ? 1 记 bn ? n , n ? 2 时, 。 ? 2 ? 2n ? 3 4n ? 6 2 bn 2n

2n ? 3 。 2n

所以 n ? 3 时,
3 8

bn ?1 3 ? 1, (bn ) max ? b3 ? 。 bn 8

所以 5 ? ? ? , ? ? 5 ? ?

3 8

37 ,所以整数 ? 的最大值为 4。 8

三、解答题(18 个小题)
49. 解: (Ⅰ)由正弦定理,得

2c ? a 2sin C ? sin A ? b sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A 因此

sin C ?2 sin A

(Ⅱ)由
2

sin C ? 2 的 c ? 2a sin A
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B 及 cos B ? 得 4 ? a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 ,b ? 2 4

1 ,解得 a ? 1 ,因此 c ? 2 4

又 0 ? B ? ? 所以 sin B ?

15 1 15 ,因此 s ? ac sin B ? 4 2 4

50. 解: (Ⅰ)∵ sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B,

1 3 ? 2( sin 2 A ? cos 2 A) ? 2sin 2 B, 2 2
? 2sin(2 A ? ) ? 2sin 2 B,? sin(2 A ? ) ? sin 2 B 3 3
?2A ?

?

?

?

3

? 2 B ,或 2 A ?

?

3

? ? ? 2B ,

由 a ? b ,知 A ? B ,所以 2 A ? 即 A? B ?

?
3

? 2 B 不可能成立,所以 2 A ?

?
3

? ? ? 2B ,

?
3



所以 C ? ? ?

?
3

?

2? 3

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,C ?

2? 3 ,所以 sin C ? , 3 2

1 3 S ? a ? b ? sin C ? ab 2 4
cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 1 a 2 ? b2 ? 3 ?? ? ? ?ab ? a 2 ? b2 ? 3 ? 3 ? ab ? a 2 ? b2 ? 2ab ? ab ? 1 2ab 2 2ab

即△ABC 的面积 S 的最大值为

3 4

51. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ?

2 2Sn , 2Sn ? 1

Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1

1 1 ? ?2, S S n n ? 1 ,

? ? 从而 ? 1 ? 构成以1为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ?
(Ⅱ)由(1)可知,

1 1 1 . ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? S n ? 2n ? 1 Sn S1

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ). n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 3 1 3 ? )? ? ? n ? 1 n 2 2n 2 。

从而 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 ? ... ? n Sn ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1

52. 解: (1)根据茎叶图可得:

159 ? 169 ? 170 ? 175 ? 176 ? 182 ? 187 ? 191 ? 176.1(cm) 8 168 ? 169 ? 168.5(cm) 女志愿者身高的中位数为 2
男志愿者的平均身高为 (2)由茎叶图可知,“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人,而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志愿者的“高个子”有 3 人

? 的可能值为 0,1,2,3,
1 2 3 3 2 1 故 P(? ? 0) ? C5 ? 10 , P(? ? 1) ? C5 C3 ? 30 , P(? ? 2) ? C5C3 ? 15 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 , 3 3 3 3 C8 56 C8 56 C8 56 C8 56

即 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

10 56

30 56

15 56

1 56

所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

10 30 15 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 56 56 56 56 8

53. 解: (Ⅰ)设分数在 (70,80) 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如图所示.

(Ⅱ)平均分:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71
(Ⅲ)学生成绩在 ? 40,70? 的有 0.4 ? 60 ? 24 人, 在 ?70,100? 的有 0.6 ? 60 ? 36 人,并且 X 的可能取值是 0,1,2。
1 1 2 C24 C36 C24 46 144 , P( X ? 1) ? ; P( X ? 0) ? 2 ? ? 2 C60 295 C60 295 2 C36 105 21 P( X ? 2) ? 2 ? ? C60 295 59 。

所以 X 的分布列为

X
P

0

1

2

46 295

144 295

21 59

所以 EX ? 0 ?

46 144 21 354 ? 1? ? 2? ? 。 295 295 59 295

560(80×200-40×240)2 54. 解: (Ⅰ)K2= ≈5.657,因为 5.657>5.024, 120×440×320×240 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规 模”有关. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为 1:3, 按分层抽样得到的 12 家中,中小企业分别为 3 家和 9 家. 设 9 家获得奖励的企业中,中小企业分别为 m 家和 n 家,则(m,n)可能为 (0,9) , (1,8) , (2,7) , (3,6) .与之对应,

X 的可能取值为 90,130,170,210.

P(X=90)=

0C9 C3 1 9 = , 9 C12 220

P(X=130)=

1C9 8 C3 27 = , 9 C12 220

P(X=170)=

2C7 3C6 C3 108 C3 84 9 9 = , P(X=210)= = , 9 9 C12 220 C12 220

分布列如下:

X 90

13 0

17 0

21 0

P 错误! 错误! 错误! 错误!
期望 E(X)=90× 27 108 84 +130× +170× +210× =180。 220 220 220 220 1

55. 解: (Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,
A O B x C D y M

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,
z P

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC ,

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .
以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则

P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C

? 由 PM ? ? PC ? ? ? 所以 AM ? ? 3? ,1,
PC ? 3, 0, ? 3

?

?

?

?

3, 0, 0 ,

?

3, 0, ? 3 可得点 M 的坐标为 3 ? 3? , DM ?

?

?

?

?

3? , 0, 3 ? 3? ,

3? , ?1, 3 ? 3? ,

?

?

? 3? x ? y ? ?n ? AM ? 0 设平面 MAD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ,即 ? ? ? ? ?n ? DM ? 0 ? 3? x ? y ? ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? ,令 z ? ? ,得 n ? ? ? ?1,0, ? ? , ? ?y ? 0
显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ? 依题意 cos n, OC ? 去), 所以,当 ? ?

?

3, 0, 0 ,
3 ? ? ? 1? ? 2 5 1 ,解得 ? ? 或 ? ? ?1 (舍 3 5

?

n ? OC n OC

?

? 2 ? ? ? ? 1? ? 3
2

1 2 5 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 . 3 5

56. 解:(I)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.

由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 又 AC ?

1 AA1 ,可得 DC12+DC2=CC12, 2

所以 DC1⊥DC.而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD. BC ? 平面 BCD,故 DC1⊥BC. (II)由(I)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1, 则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互垂直. 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴的正方向, CA 为单位长,建立如图所示的空 间直角坐标系 C-xyz.由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2). 则A 1D ? (0,0, ?1) , BD ? (1, ?1,1) , DC1 ? (?1,0,1) , 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1B1BD 的法向量, 则?

z

? ? n ? BD ? 0 ? ?n ? A1D ? 0

,即 ?

?x ? y ? z ? 0 ,可取 n=(1,1,0). z?0 ?

同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,

y
x

? ? m ? BD ? 0 可取 m=(1,2,1). ? m ? DC ? 0 ? ? 1

cos ? n,m ??

nm 3 . ? n m 2

故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°

57. 解: (I)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴ BA, BC, BB1 两两垂直。 且 BC ? 4, BA ? 4, BB1 ? 8, AN ? 4 , 以 BA,BB1 ,BC 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图

z

y
x

则 N(4,4,0) ,B1(0, 8,0) ,C1(0,8,4) ,C(0,0,4) ∵ BN ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0

BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则?

? ?n2 ? CN ? 0

?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ?? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

?x ? y ? z ? 0 ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

(Ⅲ)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

?

BP 1 ? PC 3

58. 解: (I)由题: e ?

c 1 ? ① a 2

y

l

A

左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:

P x A2

d=

(2 + c) 2 + 1 2 =

10 ②

F1 O B

F2

由①②可解得 c = 1, a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. ∴所求椭圆 C 的方程为

x2
4

+

y2
3

=1 .

(II)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. ∴x1 + x2 = - 8km 4k 2 + 3 ,x1x2 = 4m 2-12 4k 2 + 3 ,且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + F1

y

l

A

P x

O

F2

A2

m.
∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ?A2B = 0. 所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 = (k 2 + 1)· 4m 2-12 8km -(km-2)· + m2 + 4 = 0 . 4k 2 + 3 4k 2 + 3 2 7 → → B

(x2-2) + (kx1 + m) (kx2

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴m = -

k 或 m = -2k 都满足 △ > 0.

若 m = -2k 时, 直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) , 恒过定点 A2(2,0), 不合题意舍去; 若 m= - 2 7

k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) .
7 7 7

2

2

2

59. 解:(I)由使得 ?F 1的 1PF 2 ? 90 的点 P 恰有两个可得 b ? c, a ? 2c ;动点 P 到焦点 F 距离的最大值为 2 ? 2 ,可得 a ? c ? 2 ? 2 ,即 a ? 2, c ? 2 ,所以椭圆 C1 的方程 是

x2 y 2 ? ?1 4 2
2 2

(II)圆 C2 的方程为 x ? y ? 4 ,设直线 x ? ?2 2 上动点 T 的坐标为 (2 2, t ) 设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AT 的方程为 x1 x ? y1 y ? 4 ,直线 BT 的方程为
? ? ?2 2 x1 ? ty1 ? 4 ,故直线 AB x2 x ? y2 y ? 4 ,又 T (2 2, t ) 在直线 AT 和 BT 上,即 ? ? 2 2 x ? ty ? 4 ? ? 2 2
的方程为 ?2 2x ? ty ? 4

由原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

4 8 ? t2

得, AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 4

t2 ? 4 t2 ? 8

??2 2 x ? ty ? 4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 得 (t 2 ? 16) y 2 ? 8 yt ?16 ? 0 ,设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) 。 ? ?1 ? ? 4 2
则 y3 ? y4 ?

8t ?16 t2 4(t 2 ? 8) , y y ? , 从而 CD ? 1 ? y ? y ? 3 4 1 2 t 2 ? 16 t 2 ? 16 8 (t 2 ? 16)

所以

AB t 2 ? 4(t 2 ? 16) ? ,设 t 2 ? 8 ? m(m ? 8) , 2 2 CD t ? 8(t ? 8)



1 1 AB m3 ? 12m2 ? 256 12 256 ? ? 1 ? ? 3 ,又设 ? y (0 ? y ? ) , 3 m 8 CD m m m

所以

AB ? 1 ? 12 y ? 256 y 3 ,设 f ( y) ? 1 ? 12 y ? 256 y3 , CD
' 2

所以由 f ( y) ? 12 ? 768 y ? 0 得: y ?

1 ? 1? 2 , 所以 f ( y) ? 1 ?12 y ? 256 y 在 ? 0, ? 上单 8 ? 8?

调递增即

AB ? 1, 2 ? ? CD

?

60. 解: (Ⅰ) p ? 2 (Ⅱ)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 C?x1 ,? y1 ?, M ?x1 , y 2 ? ,直线 l1 的方程为: y ? k1 x ? b 由?

? y ? k1 x ? b ? y ? 4x
2

消元整理可得: k12 x 2 ? ?2bk1 ? 4?x ? b 2 ? 0

所以

4 ? 2bk1 4 ? ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? y1 ? y 2 ? k ? ? 1 1 可求得: ? ? 2 ? y y ? 4b ?x x ? b 1 2 1 2 2 ? ? k1 k1 ? ?

直线 l 2 的方程为: y ? y1 ? k 2 ( x ? x1 ) 所以可求得 N ? ?

? y1 ? y 2 ? ? x1 , y2 ? ? ? k2 ?

所以 MN =

y1 ? y 2 4 = =4. k2 k1 k 2

? 2 ? bk1 2 ? 2 ? bk1 ? 2 1? AB 的中点 E? ? k2 , k ? ? ,则 AB 的中垂线方程为: y ? k ? ? k ? ?x ? k2 ? ? 1 1 ? 1? ? 1 1 ?
与 BC 的中垂线 x 轴交点为: o??
2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? ,0 ? ? ? 所以 ?ABC 的外接圆的方程为: k12 ? ?

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? ?y ?( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 ?x ? ? k1 k1 ? ?
由上可知 N ?x1 ? 4, y2 ?

? x1 ? 4 ?

2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 ? x ? ? x ? x ? 4 ? ?2 ? 0 2 1 2 k12 k12 k12

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? ? ? x1 ? 4 ? ? y2 ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 ? k1 k1 ? ?
所以 A, B, C , N 四点共圆.

2

61. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ? a ? 0? 的定义域为 ? ?1, ??? , 2
2

1? a ? ? ax ? x ? ? ax ? ?1 ? a ? x 1 a ? ?? ? f '( x ) ? ?ax ? 1 ? ?? x ?1 1? x x ?1
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ?

1? a 1 ? ?1 , a a

①当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x2 ,

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表

x
f ?( x )
f ( x)

(?1, 0)
?


0 0

1 (0, ? 1) a

1 ?1 a
0

1 ( ? 1, ?? ) a

?


?


f (0)

1 f ( ? 1) a

所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, 0) , (

1 ? 1, ?? ) ; a

②当 a ? 1 时, x1 ? x2 ? 0 , f '( x ) ? ? 故 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ??) ; ③当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 ,

x2 ?0, x ?1

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表

x
f ?( x )
f ( x)

1 (?1, ? 1) a

1 ?1 a
0

1 ( ? 1, 0) a

0 0

(0, ??)
?


?


?

1 f ( ? 1) 增 a 1 所以 f ( x ) 的单调递增减区间是 ( ?1, ? 1) , (0, ??) . a
综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的单调递增减区间是 (?1, 0) , ( 当 a ? 1 时, f ( x ) 的单调递增减区间是 ( ?1,

f (0)

1 ? 1, ?? ) ; a

1 ? 1) , (0, ??) ; a

当 a ? 1 时, f ( x ) 的单调递增减区间是 (?1, ??) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ① 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) 但 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 不合题意; ② 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减,

1 a

1 a

f ( x) ? f (0) ,可得 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 f (0) ? 0 ,符合题意.
? f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 0 时, a 的取值范围是 ?a a ? 1? 。
x x ? ? 62. 解:(I)由题意 a , 由f 得 x?lna. ? 0 ,f () x ? e ? a () x? e ?? a0

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
l n a 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .

(II) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(I),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1

l ( x ? 1) ? x , (III)由 (II) 得 e ? x ?1, 即n 当且仅当 x ? 0 时, 等号成立, 令x ?
x

1 (k ? N ? ) k

1 1 1 1? k ? ln(1 ? ) 即 ? ln( ), k k k k 1 所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (k ? 1,2,...,n) k 1 1 1 ? 累加得 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ) 2 3 n
则, 63. 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x) ln x ? x ? 2 定义域 ? 0, ?? ? ,
2 2

f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ? ln x ? ? x ? 2 ? ? 2 x ? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1
f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3 x ? y ? 4 ? 0
(Ⅱ)①令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0 ,则 x 2 ? 2 x ln x ? ax 2 ? 2 ? x ? 2 即a

?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x
1 ? ( x ? 2) ? ln x 1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? , 则 h?( x) ? ? 2 ? ? x x x x2 x2 2 ?x ? 2 ? , x x

令 h( x ) ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ?

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减函数


t ?1? ? h? ?1? ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,

所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

? h ? x ?max ? h(1) ? 1 ,所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1
(Ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x 2 ? 2 x ln x ? x 2 ? x ,若 e

?

?

?2

? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

g ( x) max ? m, g ?( x) ? ? x ? 1?? 3 ? 2 ln x ?
令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e
?2 ? 3 2
? 3 2

,又

e ?2 ? x ? e ,
? 3 2

? 函数 g ( x) 在 (e , e ) 上单调递增,在 (e ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
又 g( e
3 2 ? 3 2

)=-

3 ? 1 -3 e +2 e 2 ,g(e)=2e2-3e 2

∵g( e

?

)=-

3 3 3 ? ? ? 1 -3 e +2 e 2 <2 e 2 <2e<2e( e 2 )=g(e), 2

∴g( e

?

3 2

)<g(e),∴m≥2e2-3e

64. A.选修 4-1:几何证明选讲 解:(I)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,

? BD ? OC ,
? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又? AB 为圆 O 的直径,

? AD ? DB ,
? ?ADO ? ?ODB ? 90? ??DOC ? ?ODA ,? AD / / OC ,即得证,
(II)

AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC ,? Rt △ BAD∽

Rt △ COD ,

AD ? OC ? AB ? OD ? 8 。
B.选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0

(II)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? △ ABM 的面积 S ?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2
C.选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k 由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1? ,故 k ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 ? ? ?1 a 2b 3c

又 a, b, c 是正实数, 由均值不等式得

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b
当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 也即

1 2 3 a ? b ? c ?1 9 9 9

65. A.选修 4-1:几何证明选讲 解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD. ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线. (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ACB 中,

CM⊥AB,∴CM2=AM·MB.
又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM·MB=DF·DA B.选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) 由 ?n i s
2

?8 c o s ?

?

, 得 ? sin
2

2

2 即曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 8 x . ? ? 8? cos? ,

(Ⅱ)将直线 l 的方程代入 y 2 ? 8 x ,并整理得 3t 2 ? 16t ? 64 ? 0 , t1 ? t2 ?

16 , 3

t1t2 ? ?

64 . 3

所以 | AB |?| t1 ? t2 |?

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

32 . 3

C.选修 4-5:不等式选讲

() x???? x1 x 1 . 1时, f 解: (Ⅰ)当 a ?? ?? 1 x ? 1 ? 3 . 由 f (x ) ?3得 x
当 x ??1时,不等式可化为 1 ? x ? x ? 1 ? 3 即 ?2 x ? 3 ,其解集为 ( ?? , ? ].

3 2

1 ? x? 1 ??? x x13 ?,不可能成立,其解集为 ? ; 当? 时,不等式化为 1
? 1 ? x ? 1 ? 3 , 即 23 x ? 当 x ? 1 时,不等式化为 x ,其解集为 [ , ? ? ).
综上所述, f (x ) ?3的解集为 ( ? ?? , ]? [ ,? ? ) . (Ⅱ)

3 2

3 3 2 2 fx ( ) ? x ? 1 ? x ? aa ? ? 1 ,∴要 ? 成立, x ? R ,f () x ? 2

则 a ?1 ? 2,? , a ? ? 1 或 a ? 3 即 a 的取值范围是 ( 。 ? ? , ? 1 ] ? [ 3 , ? ? ) 66.A. 选修 4—1:几何证明选讲 解:如图,延长 DC,AB 交于点 E,

?BAD ? 60 ,??ECB ? 60 , ?ABC ? 90 , BC ? 3, CD ? 5, ??ECB ? 90 ,??E ? 30 , ? EC ? 2 BC ? 2 ? 3 ? 6, ? EB ? 3BC ? 3 3, ? ED ? DC ? EC ? 5 ? 6 ? 11
则 6 ?11 ? 3 3 ? (3 3 ? AB) ,解得 AB ?

13 3 3

13 3 14 3 ? AC ? 32 ? ( )? 3 3 ?EDB ? ?EAC , ?E ? ?E , ? EDB EAC ,? BD BE ? AC CE

E

AC BE ? BD ? ? CE

14 3 ?3 3 3 ?7 6

B.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(I) 由 ? ?

4 cos ? 得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? 即 y 2 ? 4 x ; 2 sin ?

? x?? ? ? 由? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,消去参数 t ,得 x ? y ? 1 ? 0 ; 2 t 2

曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x ;直线 l 的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ; (II) 设直线 l 交曲线 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

? x ? y ?1 ? 0 2 ,消去 y 得, x ? 6 x ? 1 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 6 , x1 x2 ? 1 ; ? 2 y ? 4 x ?
| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 36 ? 4 ? 8
所以,直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长为 8 . C.选修 4—5:不等式选讲 解: (1)

a, b ? R? , a ? b ? 1, x1, x2 ? R? ,
x1 x 2 2 ?3 a b x1 x2 2 ? 33 8 ? 6 a?b 2 ( ) 2

?

x1 x 2 2 ? ? ?3 a b x1 x2

3

3

当且仅当

x1 x2 2 ? ? 时有最小值 a b x1 x2

(2)证明:证法一:因为 a, b ? R? , x1 , x2 ? R? , 由柯西不等式可得:

(ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? (( ax1 )2 ? ( bx2 ) 2 )(( ax2 ) 2 ? ( bx1 ) 2 ) ? ( ax1 g ax2 ? bx2 g bx1 )2 ? (a x1 x2 ? b x1 x2 )2 ? x1 x2

当且仅当

ax1 ax2

?

bx2 bx1

,即 x 1 ? x2 时取得等号。

证法二:因为 a,b∈R+,a+b=1, x1 , x 2 ∈R+ 所以

(ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? a 2 x1 x2 ? abx2 2 ? abx12 ? b 2 x1 x2 ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab( x2 2 ? x12 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab(2 x1 x2 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ? 2ab) ? x1 x2 (a ? b) 2 ? x1 x2
当且仅当 x 1 ? x2 时,取得等号。


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