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高中数学知识点总结五:概率统计


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创想教育个性化辅导讲义
教师姓名: 教学计划编号 学生姓名 课程内容形式
□新授课 □习题课

; 授课日期:





日; 星期

;上课时间:

班型:□1 对 1 辅导 □精品小班 科目

课时数:□2h □3h 年级
□知识串讲课 □学习方法课

□阶段性考试

□讲评试卷

第一步:本讲知识要点及考点分析
本讲知识点标题 难度分级 考纲要求 考频分级 常考题型及高考占分

填写说明

难度分级:容易、较易、一般、较难、困难 考频分级:必考、常考、高频、中频、低频

考纲要求:了解、理解、掌握、灵活运用、综合运用 常考题型与高考占分:近五年高考试题分析得出

第二步:本讲专题知识梳理(教育理念:没有不好的学生,只有不会教的老师! )

概率
考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独 立重复试验.

考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式 计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率.

知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能性都相等,那么, 每一个基本事件的概率都是
1 m ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P (A) ? . n n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中 有 一 个 发 生 ) 的 概 率 , 等 于 事 件 A 、 B 分 别 发 生 的 概 率 和 , 即 P(A+B)=P(A)+P(B) , 推 广 : P (A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? ? ? P (An ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任取一张抽到“红 ............... 桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是 对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生. 互斥 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 .
对立 ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立 事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A· B)=P(A)· P(B). 由此, 当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事 件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一张设 A:“抽到老 K”;B:“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看

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上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件, 但 P(A)? 4 ? 1 , P(B) ? 26 ? 1 , P(A)? P(B) ? 1 .又事件 AB 表示“既
52 13 52 2 26

抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A? B) ? 2 ? 1 ,因此有 P (A)? P (B) ? P (A? B) .
52 26

推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P (A1 ?A 2 ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? P (An ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发 生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次 试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
k n ?k 次的概率: P n (k) ?C k . n P (1 ? P)

4. 对任何两个事件都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

概率与统计
考试内容: 抽 样 方 法 . 总 体 分 布 的 估 计 . 总 体 期 望 值 和 方 差 的 估 计 考 试 要 求 (1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样 ( 2 ) 会 用 样 本 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 (3)会用样本估计总体期望值和方差. . : . .

知识要点
一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试 验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散 型随机变量.若 ξ 是一个随机变量, a, b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量.一般地, 若 ξ 是随机变量,f ( x) 是连续函数或单调函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列.
?
x1

x2
p2



xi



P … … 有性质① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p 1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
k n ?k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] np q

p1

pi

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n· p) ,其中 n,
k n ?k p 为参数,并记 Ck ? b(k;n ? p) . np q

⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两 中小学 1 对 1 个性化课外辅导专家(www.yiduiyifudao.cc)

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种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结 果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发生记为
A k ,事 A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概率乘法分式:
k ?1 P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ? P(A k ?1 )P(Ak ) ?q p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量 ξ 的概率分布列.

?

1 q

2 qp

3
q p
2

… …

k
q
k ?1


p

P



我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q k ?1 p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3? 5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件,则其中的次品 数 ξ 是一离散型随机变量,分布列为 P (ξ ? k) ?
k k CM ?C Nn??M n CN

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M 件次品中

r ? 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…, 取 k 件,从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m

n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b) ,则次品数 ξ 的分布列为 P (ξ ? k) ?
n ?k Ck a ?C b

C a ?n b

k ? 0,1,? , n. .

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布.若放回式抽取, 则其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有 (a ? b) n 个可能结果,等可能:
k n ?k (η ? k) 含 C k 个结果,故 P (η ? k) ? na b
k n ?k Ck na b

(a ? b)

n

?C k n(

a a k a n ?k ) .[我 ) (1 ? ) , k ? 0,1,2,? , n ,即 ? ~ B(n ? a?b a?b a?b

们先为 k 个次品选定位置,共 C k n 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以 证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无 放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ? x1 xi x2 … P
p1
p2

… …



pi

则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离 散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b ①当 a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时, E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数的和. ③当 b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ξ 0 1 ⑶两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为: (p + q = 1) P q p ⑷ 二 项 分 布 : E? ?

? k ? k!(n ? k )! p

n!

k

?q n ? k ? np 其 分 布 列 为 ? ~

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B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)

⑸几何分布: E? ?

1 p

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 : 当 已 知 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时 , 则 称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为

ξ 的方差. 显然 D? ? 0 ,故 ?? ? D? . ?? 为 ξ 的根方差或标准差.

随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动, 集中与离散的程度. D ? 越小, 稳定性越 ....... 高,波动越小 . ...... . 4.方差的性质. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ⑵单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ⑶两点分布: D? ? pq 其分布列为: (p + q = 1) ⑷二项分布: D? ? npq ⑸几何分布: D? ?
q p2

ξ P

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ⑵设 ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? ⑶期望与方差的转化: D? ? E? 2?(E? ) 2 ⑷ E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? ) (因为 E? 为一常数) ? E? ? E? ? 0 . 三、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的概率等于它与 x 轴.直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f ( x) 叫做 ξ 的密度函数,由于“ x ? (??,??) ” 是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.


y y=f(x)

x a b
( x?? )2 2? 2

2. ⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量 ξ 的概率密度为: f ( x) ?

1 2? ?

e

?

. ( x ? R, ? , ? 为常数,且

,称 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f ( x) 的表达式可简记为 N (?,? 2) ,它的密度 ? ? 0) 曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x ? ? 对称. ③当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形 曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴为渐 近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定,? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;? 越小,曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) ?
1 2? e
? x2 2

(?? ? x ? ??) ,则称 ξ 服从标准正态分布.

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即 ? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的计算则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) . 注意:当标准正态分布的 ?( x) 的 X 取 0 时,有 ? ( x) ? 0.5 当 ?( x) 的 X 取大于 0 的数时,有 ? ( x) ? 0.5 .比如
?( 0.5 ? ?

?

) ? 0.0793? 0.5 则

0.5 ? ?

?

必然小于 0,如图.



y S

⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? 2) 则 ξ 的分布函数通 常用 F ( x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (
x ?μ ). σ
x a 标准正态分布曲线

4.⑴“3 ? ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服 从 正 态 分 布 N (?,? 2) .② 确 定 一 次 试 验 中 的 取 值 a 是 否 落 入 范 围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③ 做 出 判 断 : 如 果
a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.

S阴=0.5 Sa=0.5+S

⑵“3 ? ”原则的应用:若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%, 此为小概率事件, 如果此事件发生了, 就说明此种产品不合格 (即 ξ 不服从正态分布).

第三步:例题精讲(必考题型、常考题型、典型题型)

(全国卷)19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次 轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6, 各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望。

(新课标卷)18.(本小题满分 12 分)

某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干只玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,乳沟 当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (I)看花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝, )的函数解析式。

(II)花点记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

(i) (ii)

若花店一天购进 16 枝玫瑰花,x 表示当天的利润(单位:元),求 x 的分布列,数学期望 及方差; 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?

(天津卷)16(本小题满分 13 分) 中小学 1 对 1 个性化课外辅导专家(www.yiduiyifudao.cc)

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现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个 人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数 大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布 列与数学期望. (四川卷)17(本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一 瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ . (重庆卷)17(本小题满分 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签 的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,……6) ,求: (I)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (II)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ? 的分布列与期望。 (山东卷)20(本小题满分 12 分) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C , D 四个问题,规则如下: ① 每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A, B, C , D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一 题减 2 分; ② 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或 等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局, 当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束 ,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答 题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A, B, C , D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A, B, C , D 回答正确的概率依次为 (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学的 E? . (陕西)19 (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查,测得身高情况的统计图 如下:
[来源:Z+xx+k.Com]

1 6

3 1 1 1 , , , ,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4 2 3 4

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( ( (

)估计该小男生的人数; )估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; )从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 170~180cm 之间的概率。

设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 170~180cm 之间 (浙江)19(本题满分 l4 分)如图.一个小球从 M 处投入,通过管道自 每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,c.则 分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%.70%.90%.记 随变量 ? 为获得 (k=I,2,3) 等奖的折扣率.求随变量 ? 的分布列及期望 上而下落 A 或 B 或 C 已知小球从

E? ;
(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动.记随机变量? 为获 得 1 等奖或 2 等奖的人次。求 P(? ? 2) .

答案:

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