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4[1].1.1 圆的标准方程


§ 4.1 圆的方程

§4.4.1 圆的标准方程

求曲线方程的步骤
选系取动点,找等量,列方程,化简

圆的定义:
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b), 半径是r的圆的方程?

(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y

(2)、(x+1)2+y2=1
Y

-2 C(0、0) r=2

0

+2

X

-1 C(-1、0) r=1

0

X

练习 2、写出下列圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为3; (2)、圆心在(-3、4),半径为 5 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5

.

练习
3、圆心在(-1、2),与y轴相切
Y

c

C(-1、2) r=1

-1

0

X

(x+1)2+(y-2)2=1

练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
Y
2

Y=X
C(2,2)

-2 0
C(-2,-2)

2

X

-2

(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4

练习
5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y

C(8、3) P(5、1) X

0

(x-8)2+(y-3)2=13

练习
6、求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y

C(1、3)

0

X

3x-4y-6=0

? 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? 已知a=1,b=3 ? 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的 距离, ? 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 15 =3 2 2 = 5 3 + ( -4 ) ? 所以圆的方程为

(x-1)2+(y-3)2=9

练习
7、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB 为直径的圆的方程. Y
A(4、9)

B(6、3)
0 X

提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2

例2、已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程. y
思考

M ( x0 , y 0 )
O

1.圆的切线有哪些性质? 2.求切线方程的关键是什么? 3.切线的斜率一定存在吗?

x

4.除了课本解法,你还能想到哪些方法?
解:当M不在坐标上时,设切线的斜率为k,则k= -

1

kOM =

y0 x0

,

k =-

x0 . y0

kOM

.

y

经过点M 的切线方程是

x y - y0 = - y0 (x - x0 ), 0

M ( x0 , y0 )
2 0

所求的切线方程是 x0 x +

x0 x + y0 y = x + y . 2 2 2 = r , 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0
整理得
2 0

O

x

y0 y = r .
2

当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.

例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ,求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
分析:利用平面几何知识, 按求曲线方程的一般步骤求 解. 如图,在Rt△OMP中 由勾股定理: |OM|2+|MP|2=|OP|2 P(x,y)

M ( x0 , y0 )

O

x

x0x +y0 y = r2

例 2.已知圆的方程是 x + y 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
2

2

=r

2

,求经

y P(x,y)

分析:利用平面向量知识. 设P(x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则
OM MP OM MP= 0

M ( x0 , y0 )
O

x

x0x +y0 y = r2
当P与M重合时,P的坐标仍满足上面方程.

经过圆 x 2 + y 2 = r 2上一点M ( x0 , y0 ) 的切线的 方程是 x0x +y0 y = r2

x2+y2=r2 xx+yy=r2 x0x+y0y=r2 练习3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2, 6) 的切线方程。 2x + 6 y =10

例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 y 度(精确到0.01)

x 思考: 1.是否要建立直角坐标系?怎样建立? 2.圆心和半径能直接求出吗? 3.怎样求出圆的方程? 4.怎样求出支柱A2P2的长度?

解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b),
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得, b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

-10.5≈14.36-10.5=3.86(m

答:支柱A2P2的长度约为3.86m.

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
y 思考

利用圆的几 何性质,你能否 用直线方程求出 圆心坐标?进而 写出圆的方程?

x

C1

小结:
(1)、牢记: 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确:三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法:①待定系数法 ②数形结合法

r

d

用r 表示圆的半径,d 表示圆心到直线的距离,则 (1)直线和圆相交 d<r
(2)直线和圆相切 (3)直线和圆相离

d=r d>r

课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线 方程. 4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线,求 切线的长.

思考题:
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开:x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。

那么是否二元二次方程均可化为圆方程? 怎样的二元二次方程可化为圆的方程?


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