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新高一衔接班讲义(数学2)


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第六课 函数-函数的概念
一、函数概念解读 (1)设 A,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个

x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合

A 到集
合 B 的函数,记作

y ? f ( x) , x ? A

其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 y ? f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 的值 叫做函数值,函数值的集合 ? f ( x) | x ? A?( ? B)叫做函数 y=f(x)的值域. 注意 为了准确地理解函数的定义,应注意以下几点: (1) 函数定义中含有三要素 定义域 A、值域 B、对应关系 f 是函数定义中的三要素 (2)函数是建立在两个非空数集的基础上的 函数的定义域 A、值域 B 必须是两个非空集合,如 f ( x) ?

x ? 1 ? ? x ,其定义域

为空集,函数本身就无意义,那还谈什么值域、对应关系呢? 二、两个函数相同的条件 (1)对应关系相同、定义域不同搞得函数是两个不同的函数,如

y ? x 2 , x ? R与y ? x 2,x ? R? (2)定义域相同、值域不同的两个函数也是不同的函数,
如 y ? x, x ? R与y ?

x2 , x ? R

(3)定义域和值域分别相同,而对应关系不同的函数是两个不同的函数,如 y=x+1 与 y=2x (4)对应法则 f 、定义域 A、值域 ? f ( x) | x ? A? ,只有当这三要素完全相同时,两个函 数才能称为同一函数,但与自变量用什么字母表示无关。 例一 下列四组函数,那组表示同一函数? ① y?

x 2 与y ? ( x ) 2

②y?

x2 ?1 与y ? x ? 1 x ?1

三、f(x)与 f(a)的联系与区别 f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值(即函数值) ,在一般情况下,f(x)是一个变量(随 x 的变化 而变化) ,而 f(a)就是常量 例二已知 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 4, 求f (?3)和f ( n)
2

1 2

四、函数定义域的表示方式 不等式表示 区间表示

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a≤x≤b a≤x<b a<x≤b a<x<b a≤x a<x a≥x a>x X∈[a,b] X∈[a,b) X∈(a,b] X∈(a,b) X∈[a,+∞) x∈(a,+∞) X∈(-∞,a] X∈(-∞,a) 1.一次函数 f ( x) ? ax ? b ( a ? 0) :定义域 R, 值域 R; 2.反比例函 f ( x) ?

四、已学函数的定义域和值域

k (k ? 0) :定义域 ?x | x ? 0?, 值域 ?x | x ? 0?; x

2 3.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0) :定义域 R

值域:当 a ? 0 时, ? y | y ?

? ?

? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ? ;当 a ? 0 时, ? y | y ? ? 4a ? 4a ? ?

五、例题讲解
例 1 下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数? ⑴y?

? x? ;
2

⑵ y ? 3 x3 ;
2

⑶y?

x2

例 2 已知函数 f ( x) =3 x -5x+2,求 f(3), f(- 2 ), f(a+1).

例 3 求下列函数的定义域: ① f ( x) ?

1 ; x?2

② f ( x) ? 3x ? 2 ;

六、作业
1、求下列函数的定义域 ① f ( x) ?

x ?1 ?

1 . 2? x

② f ( x) ?

1 x?2 ; x
② y1 ?

2、下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

x ?1 x ?1

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)
③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2
2

f 2 ( x) ? 2 x ? 5

3、已知函数 f ( x) =-2 x -3x+2,求 f(3), f(- 2 ), f(a+1)

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第七课 函数的表示法
一、函数的三种表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析 表达式,简称解析式. ⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

二、分段函数
例一 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付 邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为 自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

注意:
(1)分段函数虽然解析式分成“若干段” ,但仍是一个函数,二不能说是几个函数; (2)写分段函数的解析式时,应严格分清“各段”的定义域,并且“各段”定义域之间不 能有重叠部分; (3)画分段函数的图像时,一定要注意是否包括区间端点 三、映射 (1)映射的定义:设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 B

注意:
①映射包括集合 A,B 以及从 A 到 B 的对应关系 f,三者缺一不可 ②映射具有方向性,从 A 到 B 的映射和从 B 到 A 的映射是两个不同的映射 ③映射中集合 A,B 可以是数集、点集,也可以是其他的集合 ④映射定义中“不公平原则” :对于 A 中的每一个元素,在 f 的作用下 B 中都有唯一的象与 之对应,这就是说 A 中每一个元素不轮空,都有“象” (2)映射与函数的区别与联系 ①联系: ⒈都有三要素; ⒉映射中, 对于集合 A 中的任意一个元素 a, 在集合 B 中的都有唯一确定的象和它对应; 在函数中,对定义域中的任意自变量 x,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应 ②区别:映射中个,集合 B 中的元素 b,在集合 A 中可以无原象; 函数中,对于值域中的每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应 例二 下列对应是否为从 A 到 B 的映射?能否构成函数? (1) A ? R, B ? R, f : x ? y ?

1 x ?1

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2 (2) A ? X X ? 0 ?, B ? R, f : x ? y, y ? x

?

四、练习
1、某种笔记本每个 5 元,买 x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y(元) ,试写出以 x 为自变 量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

2、 画出函数 y=|x|= ?

?x ?? x

x ? 0, x ? 0.

的图象.

3、作出分段函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图像 4、下列从 A 到 B 的对应中为映射的是( )
* A、 A ? B ? N , f : x ? x ? 1

B、 A ? R, B ? ? 1,2 ? ,f : x ? y ? ?

?1( x ? N ) ?2( x ? N )

C、 A ? B ? R, f : x ? y ? ? x

2 D、 A ? R, B ? x x ? 0, x ? R ?, f : x ? y ? x

?

五、作业
1、作函数 y=|x-2|(x+1)的图像 2、作出函数 y ?| x ? 2x ? 3 | 的函数图像
2

3、设“f:A→B”是从 A 到 B 的一个映射,其中

A? B ?? ( x, y) x, y ? R ?, f : ( x, y) ? (2x ? y,2 y ? x)
(1)求 A 中元素(-1,2)的象; (2)求 B 中元素(3,-3)的原象 4 、 设 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 x>0 , 对 任 意 的 x,y>0, 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y). 已 知 f(2)=a,f(5)=b,求 f(2000)的值。

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第八课 函数的单调性
一、函数的单调性
(1)函数的单调性 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数),则称函数 f(x)在区间 D 上单调递增(或单 调递减) ,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (2)函数增减性的定义 对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 , ⑴若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数. (3)单调性的图像 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. ①一般规律: 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值 的变化相对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则 为减函数

二、函数的最大、最小值
最大值 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 如果存在实数 M 满足: (1)对任意的 x∈A,都有 f(x)≤M; ( 2 ) 存 在 最小值 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 如果存在实数 N 满足: (1)对任意的 x∈A,都有 f(x)≥M;

x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? M , 称 ( 2 ) 存 在 x0 ? A, 使得f ( x0 ) ? N , 称 f ( x)在x0处 取最小值 N,记为 y min ? N

f ( x)在x0处 取最大值 M,记为 ymax ? M
三、二次函数性质的再研究

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二次函数 y= ax ? bx ? c (a≠0)
2

设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

三、讲解例题:
例 1 如图 6 是定义在闭区间[-5, 5]上的函数 y ? f ( x) 的图象, 根据图象说出 y ? f ( x) 的单 调区间,以及在每一单调区间上,函数 y ? f ( x) 是增函数还 是减函数. 例 2 证明函数 f ( x) ?

y

1 在(0,+ ? )上是减函数. x

-5

-2

O

1

3
图6

5 x

例 3.判断并证明函数 f ( x) ? x 3 的单调性 例 4.求函数 y ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) 的值域,并写出其单调
2 2 2

区间

王新敞
奎屯

新疆

四、练习:

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1、 证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数. 2、讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 3、判断函数 f ( x) ? ?3x ? 2 在 R 上是增函数还是减函数?并证明你的结论. 4、判断函数 f ( x) =

1 在(- ? ,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. x

5、 判断函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上的单调性,并说明理由.

五、课后作业:
1、已知 f ( x) ? 2 x ? 3 ,证明 g[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 2 在 R 上的单调性,并说明理由

5 1 5? 1 ? 2、 f ( x) = ? x ? ? ? 是以( , ? )为顶点、对称轴平行于 y 轴、开口向上的抛物线 2 4 2? 4 ?
(如图);它的单调区间是(- ? , 上是增函数.
y

2

5 5 5 5 ]与[ ,+ ? );证明它在(- ? , ]上是减函数,在[ ,+ ? ) 2 2 2 2

x 第 4( 1) 题

3、已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,试比较 f (a ? a ? 1)与f ( ) 的大小
2

3 4

4、设 x∈[-1,1],求 y ? x ? ax ? 3 在 x∈(0,2)的最大值和最小值
2

5、已知函数 y ? x ? ax ? 3 在 x∈[-1,1]上的最小值为-3,试求 a 的值
2

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第九课
1、函数奇偶性的定义及其性质
偶函数 定义

奇偶性
奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 则函数 f(x)叫做奇函数 关于原点对称 关于原点对称

如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 则函数 f(x)叫做偶函数 关于原点对称 关于 y 轴对称

定义域 图像

2、函数奇偶性的判定方法
(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤: ①考查函数的定义域是否关于原点对称; ②考查 f(-x)是否等于±f(x); ③做出结论。 (2)图像法:考查函数的图像是否关于 y 轴或原点对称

注意:
(1)偶函数的和、差、积仍为偶函数; (2)奇函数的和、差仍为奇函数; (3)奇数个奇函数的积

3、奇偶函数的单调性
(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性; (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性; (3)若 f(x)为奇函数,且 f(0)有意义,则 f(0)=0

四、范例讲解
1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? 3x ? 4 x
2

(2) f ( x) ? x ? 3x
4

2

2 、 已 知 f(x) 在 R 上 是 偶 函 数 , 在 区 间 ( - ∞ , 0 ) 上 递 增 , 且 有

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求 a 的取值范围
五、作业
1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x ? x
2 3

(2) f ( x) ?

x2 ?1 ? 1? x2

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2、设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1, x ? R (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值 3、设函数 f(x)对于任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时 f(x)<0,f(1)=-2 (1)证明 f(x)是奇函数; (2)试问在 x∈[-3,3]时,f(x)是否有最值?如果有,求出 最值;如果没有,说明理由

第十课
一、反函数的定义

反函数(1)

一般地,设函数 y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有 唯一的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函 数 x= ? (y) (y ? C)叫做函数 y ? f ( x)(x ? A) 的反函数,记作 x ? f
?1

( y) ,习惯上改写成

y ? f ?1 ( x)
探讨 1:所有函数都有反函数吗?为什么? 探讨 2:互为反函数定义域、值域的关系 探讨 3: y ? f
?1

( x) 的反函数是?

二、讲解例题:
例 1.求下列函数的反函数: ① y ? 3x ? 1( x ? R) ; ② y ? x ? 1( x ? R) ;
3

③y?

x ? 1( x ? 0) ;

④y?

2x ? 3 ( x ? R, 且x ? 1) . x ?1

例 2.求函数 y ? 3x ? 2 ( x ? R )的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的 图像
王新敞
奎屯 新疆

三、练习
1、求函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 , (?1<x<0)的反函数
王新敞
奎屯 新疆

2、 已知 f ( x) = x -2x(x≥2),求 f

2

?1

( x) .

四、作业

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1、已知函数 y ? f ( x) ,求它的反函数 y ? f (1) y ? ?2 x ? 3 (x∈R) (3) y ? x 4 (x≥0)
?1

( x)
(2) y ? ? (4) y ?

2 (x∈R,且 x≠0) x

x 5 (x∈R,且 x≠ ? ) 3 3x ? 5

第十一课

反函数(2)

一、探究函数与其对应的反函数的关系:
1.定义域、值域:原函数自变量等价于反函数函数值;原函数定义域等价于反函数值域, 原函数函数值等价于反函数自变量;原函数值域等价于反函数定义域。 2.单调性:原函数与反函数具有相同的单调性 3.奇偶性:奇函数反函数是奇函数,偶函数没有反函数。 4. 对称性: 原函数与反函数图像关于 y ? x 对称, 原函数与反函数交点一定在 y ? x 上。 二、讲解例题: 例 1.求函数 y ? x 例 2.求函数 y ?
2

( x ? 0) 的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.
y ? x2
?1

5x ? 8 的值域. 3x ? 2 1 例 3 已知 f ( x) = (x<-1),求 f 1? x2

(x ? 0)

1 (? ) ; 3

y?? x

(x ? 0)

例 4.已知函数 f ( x) =1+ 2 x ? 3 有反函数,且点(a,b)在函数 f ( x) 的图象上,又 在其反函数的图象上,求 a,b 的值. 三、课堂练习: 1、设函数 y= f ( x) 的反函数为 y= g ( x) ,求 y= f (? x) 的反函数.

2、 设函数 y= f ( x) = ?

? x( x ? 0)
2 ? x ( x ? 0)

,求它的反函数.

四、课后作业: ⒈求下列函数的反函数: ⑴y?

x ? 3( x ? ? 3) ;⑵y= x -6x+12(x≤3); ⑶y= ? x ? 2 (x≤-2) y= ?
2
2

? x 2 ? 1( x ? 0) ? x ? 1( x ? 0)

2、已知函数 y=ax+2 的反函数是 y=3x+b,求 a,b 的值. 3、 求函数 y=

1? x 1? x

(x≥0,x≠1)的反函数.

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4、 已知函数 y ?

ax ? b 3x ? 1 的反函数是 y ? (x∈R,x≠2),求 a,b,c 的值. x?c x?2

5、 若点 A(1,2)既在函数 f ( x) = ax ? b 的图象上,又在 f ( x) 的反函数的图象上,求 a,b 的值. 6、若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ( x ? 0) ,试求反函数 y ? f
?1

( x) .


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