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10-3不等式选讲 37张


专题十

选考内容

《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 · ( ) 数 学 新 课 标 版

专题十

选考内容

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1.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的 几何意义证明不等式; 2.会利用绝对值的几何意义求解不等式;

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3.了解柯西不等式的不同形式,理解它们的几何意
义.

( )

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专题十

选考内容

从内容上看,本讲为新课标选修部分新增内容,也是
选考内容,命题时,主要题型有:含绝对值不等式的解法; 利用含有绝对值的重要不等式证明不等式问题;用比较法、 综合法、分析法及放缩技巧证明简单的不等式,难度通常 为中等.
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从能力要求上看,主要考查学生的运算能力和分析能
力. 预计2012年高考中,本讲仍为选考内容,重点是含绝 对值的不等式的解法和证明,难度中档.

)

专题十

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专题十

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1.不等式的基本性质
(1)对于任意两个实数a,b有且只有以下三种情况之一 成立:a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,a=b?a-b=0. (2)不等式的基本性质 对称性:a>b?b<a.
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传递性:a>b,b>c?a>c.
加(减):a>b?a+c>b+c.

( )

乘(除):a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.
乘方:a>b>0?an>bn>0(n∈N*,n≥2). n n 开方:a>b>0? a> b>0(n∈N*,n≥2).

专题十

选考内容

2.基本不等式 a+b (1)如果 a,b 都是正数,那么 ≥ ab,当且仅当 a 2 a+b =b 时取等号.同时,我们称 为 a,b 的算术平均数, 2 称 ab为 a,b 的几何平均数,该定理又可叙述为:两个正 数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

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专题十

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(2)已知 x,y 都是正数,①如果积 xy 是定值 P,那么 当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P;②如果和 x+y 是定值 S2 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 . 4

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2.绝对值不等式
(1)设a,b为实数,则加法性质:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. (2)设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|. (3)若a>0,且|x|>a,则x>a或x<-a;若a>0,且|x|<a, 则-a<x<a.
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设a1 ,a2 ,b1 ,b2 均为实数,则(a+a)(b+b)≥(a1b1 +
a2b2)2(等号当且仅当a1b2=a2b1时成立).

( )

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专题十

选考内容

[例1]

(2011·辽宁理,24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.

(1)证明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.

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[解析]

(1)f(x)=|x-2|-|x-5|

x≤2, ?-3, ? =?2x-7, 2<x<5, ?3, x≥5. ? 当 2<x<5 时,-3<2x-7<3. 所以-3≤f(x)≤3.

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(2)由(1)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为 {x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5≤x≤6}. 综上,不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为 {x|5- 3≤x≤6}.
2

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[评析]

(1)分区间讨论去绝对值符号,是解决这类题

目的基本方法. (2)分区间时要注意区间端点值的取舍.

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(2010·陕西理,15)不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为 ________. [答案] {x|x≥1} [解析] x≥1. 解法一:|x+3|-|x-2|≥3的几何意义表示数轴

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上到-3点的距离比到2点的距离大于或等于3的点,可知

专题十

选考内容

?x≤-3 ? 解法二:原不等式可化为? ?-x-3+x-2≥3 ? ?-3<x<2 ? 或? ?x+3+x-2≥3 ? ?x≥2 ? 或? ?x+3-x+2≥3 ?



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∴x∈?或 1≤x<2 或 x≥2. ∴不等式的解集为{x|x≥1}.

( )

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[例 2]
2 2

(2010· 辽宁理,24)已知 a,b,c 均为正数,证
2

明:a +b +c

?1 1 1? +?a+b+c ?2≥6 ? ?

3,并确定 a,b,c 为何值

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时,等号成立.

( )

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选考内容

[分析] 根据基本不等式或均值不等式证明.
[解析] 证明:(证法一)
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因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得 2 a +b +c ≥3(abc) ① 3
2 2 2

1 1 1 1 a+b+c≥3(abc)-3
?1 1 1? 2 ? + + ?2≥9(abc)- ② 所以 a b c 3 ? ?

( )

故 a +b +c

2

2

2

?1 1 1? 2 2 ? + + ?2≥3(abc) +9(abc)- . +a b c 3 3 ? ?

专题十

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2 2 又 3(abc)3+9(abc)-3≥2 27=6 3③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅 2 2 当 3(abc) =9(abc)- 时,③式等号成立. 3 3 1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立.

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(证法 2) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac① 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac② 故 a +b +c
2 2 2

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?1 1 1? +?a+b+c ?2 ? ?

)

专题十

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1 1 1 ≥ab+bc+ac+3ab+3bc+3ac≥6 3.③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅 当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立.

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[评析]

本题考查基本不等式、均值不等式等基本知

识,同时考查了等号成立的条件及论证推理能力.

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b2 a2 已知 a>0,b>0,求证: a + b ≥a+b.

[解析]

? b2 ? ? a2 ? b2 a2 法一: + -(a+b)= ? a -a? + ? b -b? = a b ? ? ? ?

?b+a??b-a? ?a-b??a+b? + a b
?1 1? 1 ? =(a-b)(a+b)· -a?=ab(a-b)2(a+b), ?b ?

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b2 a2 b2 a2 ∵a>0,b>0,∴ a + b -(a+b)≥0,∴ a + b ≥a+b.

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b2 a2 + a3+b3 a2-ab+b2 2ab-ab a b 法二:由于 = = ≥ ab ab a+b ab?a+b? b2 a2 b2 a2 =1,且 a + b >0,a+b>0,所以有 a + b ≥a+b.

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[例3] 设函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围. [分析] (1)为解绝对值不等式.(2)为恒成立问题只需

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f(x)min≥2.

)

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[解析]

(1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|.

由 f(x)≥3 得|x-1|+|x+1|≥3. ①当 x≤-1 时, 不等式为 1-x-1-x≥3, 即-2x≥3.
?x≤-1, ? 不等式组? ?f?x?≥3 ?

3 的解集为(-∞,- ]. 2

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②当-1<x≤1 时,不等式化为 1-x+x+1≥3,此
?-1<x≤1 ? 不等式不成立,不等式组? ?f?x?≥3 ?

)

的解集为?.

专题十

选考内容

③当 x>1 时, 不等式化为 x-1+x+1≥3, 2x≥3. 即
?x>1, ? 不等式组? ?f?x?≥3 ?

3 的解集为[2,+∞).

3 3 综上得,f(x)≥3 的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). (2)若 a=1,则 f(x)=2|x-1|,不满足题设条件. ?-2x+a+1,x≤a, ? 若 a<1,则 f(x)=?1-a,a<x<1, ?2x-?a+1?,x≥1. ? f(x)的最小值为 1-a.

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?-2x+a+1,x≤1, ? 若 a>1,则 f(x)=?a-1,1<x<a, ?2x-?a+1?,x≥a. ? f(x)的最小值为 a-1. 所以?x∈R.f(x)≥2 的充要条件是|a-1|≥2, 从而 a 的 取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).

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[评析]

a≤f(x),当x∈R时恒成立,只需a≤f(x)min;a>

f(x),当x∈R时恒成立,只需a>f(x)max.

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1 若不等式|x+ |>|a-2|+1 对于一切非零实数 x 均成立, x 则实数 a 的取值范围为________.

[答案]

(1,3) 1 ∵|x+ x|≥2,

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[解析]

)

∴由原不等式恒成立得|a-2|+1<2, ∴|a-2|<1,∴1<a<3.

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[例4]

(2011·福州二检)已知实数x、y、z满足x2 +4y2

+9z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值. [分析] 利用柯西不等式求解.

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[解析]
2

由柯西不等式知:
2 2 2

12 12 1 1 [x +(2y) +(3z) ][1 +( 2 ) +( 3 ) ]≥(x+ 2 ×2y+ 3 ×3z)2(当且仅当 x=4y=9z 时取等号). 因为 x2+4y2+9z2=a(a>0), 49 7 a 7 a 2 所以36a≥(x+y+z) ,即- 6 ≤x+y+z≤ 6 .

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7 a 36 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 6 =1,a=49, 36 9 4 所以当 x=49, 49, 49时, y= z= x+y+z 取最大值 1, 36 所以 a 的值为49.

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[评析]

用柯西不等式证明或求值时要注意两点,一

是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致,若不 一致,需要将所给式子变形;二要注意等号成立的条件.

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求函数 y=5 x-1+ 10-2x的最大值.
[解析] 函数的定义域为[1,5],且 y>0. y=5× x-1+ 2× 5-x ≤ 52+? 2?2× ? x-1?2+? 5-x?2 = 27×4=6 3.当且仅当 2 x-1=5 5-x时 127 取等号,即 x= 时函数取最大值 6 3. 27

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