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2.3.1-2直线与平面垂直的判定

时间:2017-11-05


教学目标:1.进一步掌握线面 垂直的定义和判定定理; 2.掌握直线和平面所成的角的 概念,会求直线和平面所成的角.

复习引入 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α 的任意一条直线都垂直,我 们就说直线l与平面α 互相垂直,记作l⊥α . 2.直线与平面垂直的判定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, V 则该直线与此平面垂直。

A

C

B

引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?

如图,若一条直线PA和一个 平面α 相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。

斜线 P A

?

斜足

斜线

如图,过斜线上斜足以外的 斜足 一点向平面引垂线PO,过垂 足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影. 垂足 射影 平面的一条斜线和它在平面 垂线 上的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的 规定 角 : 一条直线垂直于平面,我们说它所成的 角是直角;一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它所成的角是00的角。 想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?


1. 直线与平面垂直

2.直线和平面所成的角

3.二面角的有关概念

例题示范,巩固新知

例1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。
D1 A1 C1 B1

O
D C B

阅读教科书P67上的解答过程

A

巩固练习 1.判断下列说法是否正确
(1)两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 一定是相交直线 ( ( ) ) ) (2)两条相交直线在同一平面内的射影 (3)两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线,要么是相交直线 ( (4)若斜线段长相等,则它们在平面内 的射影长也相等 ( )

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

线段B1O

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D
O

C B

A

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E

线段B1E
D1 B1 C1

D A B

C

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1

线段C1D
C1 B1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角 0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角

A1

D A B

C

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E

C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

30o

D A B

C

归纳小结
1.直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 3.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直于平面内任意一条直线
? ? ? ? 范围: 0 , 90 ? ?

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

6.(2010· 苏北三市联考)如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、G分别是A1A, D1C,AD的中点.求证: (1)MN∥平面ABCD; (2)MN⊥平面B1BG.

证明:(1)取CD的中点记为E, 连NE,AE. 由N,E分别为CD1与CD的中点可得 NE∥D1D且NE= D1D, D1D

又AM∥D1D且AM=

所以AM∥EN且AM=EN,即四边形AMNE为平行四边形,

所以MN∥AE,
又AE?面ABCD,所以MN∥面ABCD.

(2)由AG=DE,∠BAG=∠ADE=90°,DA=AB

可得△EDA与△GAB全等.
所以∠ABG=∠DAE, 又∠DAE+∠AED=90°,∠AED=∠BAF, 所以∠BAF+∠ABG=90°, 所以AE⊥BG,

又BB1⊥AE,所以AE⊥面B1BG,
又MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.

作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题


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