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【全程复习方略】2014年北师版数学文(陕西用)课时作业:第五章 第四节数列的求和]

时间:2015-04-07


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课时提升作业(三十二)
一、选择题 1.(2013·咸阳模拟)已知等比数列{an}公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成等差数列,则 q3 等于( (A)(C)- 或 1 (B)1 (D)-

1 或 ) )

2.在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于( (A)24 (B)48 (C)66 (D)132 )

3.已知数列{an}的通项公式是 an=2n-3( )n,则其前 20 项和为( (A)380- (1- ) (C)420- (1- ) (B)400- (1- ) (D)440- (1- )

4.(2013·阜阳模拟)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 所过定点的横、纵 坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项,若 bn= n 项和为 Tn,则 T10= ( (A) (B) (C) (D) ) ,数列{bn}的前

5.(2013·汉中模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比 数列,则 (A) =( (B) ) (C) (D)

6.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b为 ( (A)3 (B)0 (C)-1 (D)1 =0,S2m-1=38, 则 )

7. 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 已 知 am-1+am+1m=( (A)38 ) (B)20 (C)10 (D)9

8.( 能力挑战题 ) 数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2n-1, 则 + + + … + 等于 ( ) (B) (2n-1)2 (D) (4n-1)

(A)(2n-1)2 (C)4n-1 二、填空题

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=20-a6,则 S8 等于 10.数列{1+2n-1}的前 n 项和为 .

.

11.(2013 · 宝 鸡 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ,a1=1,a2=2, 当 整 数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则 S5= .

12.(能力挑战题)在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n ∈N+),且 a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前 100 项的和 S100= 三、解答题 13.已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式. .

(2)求和: Sn= + +…+ .

14.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21, a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn. 15.(能力挑战题)已知数列{an}的通项公式是 an=n· 2n-1,bn= {bn}的前 n 项和. ,求数列

答案解析
1.【解析】选 A.当 q=1 时,显然不可能;当 q≠1 时,根据已知得 2× = + ,

即 2q9=q6+q3,即 2q6-q3-1=0, 解得 q3=1(舍),或 q3=- . 2.【解析】选 D.设公差为 d,则 a1+8d= a1+ d+6,即 a1+5d=12,即 a6=12, 所以 S11=11a6=132. 3.【解析】选 C.由 an=2n-3( )n, 得 S20=2(1+2+…+20)-3( + +…+ ) =2× -3× =420- (1- ),故选 C.

4.【解析】选 B.将直线方程化为(x+y-4)+m(3x-y)=0,



解得

即直线过定点(1,3),

所以 a1=1,a2=3,公差 d=2, ∴an=2n-1, ∴bn= =( ), )

∴T10= ×( - + - +…+ = ×( - )= .

5.【解析】选 C.等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为 a1,a3,a9 恰好构成某等比数列,所以有 =a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得 d=a1, 所以该等差数列的通项为 an=nd.则 的值为 .

6.【思路点拨】根据数列的前 n 项和减去前 n-1 项的和得到数列的第 n 项的通项公式 ,即可得到此等比数列的首项与公比 ,根据首项和公比 , 利用等比数列的前 n 项和公式表示出前 n 项的和,与已知的 Sn=3n+b 对 比后,即可得到 b 的值. 【解析】选 C.因为 an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所 以此数列是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 则 Sn= =3n-1,

所以 b=-1. 7. 【解析】 选 C.因为{an}是等差数列,所以 am-1+am+1=2am,由 am-1+am+1- =0, 得 2am- =0,所以 am=2(am=0 舍),又 S2m-1=38,即 ×2=38,解得 m=10,故选 C. 8.【解析】选 D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又 a1=S1=1=20,适合上式,∴an=2n-1(n ∈N+), =38,即(2m-1)

∴{ + =

}是

=1,q=22 的 等 比 数 列 , 由 求 和 公 式 得

+

+

+…

= (4n-1).

9.【解析】因为 a3=20-a6, 所以 S8=4(a3+a6)=4×20=80. 答案:80 10.【解析】前 n 项和 Sn=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+ 答案:n+2n-1 11.【解析】由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1) 得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2, 即 an+1-an=2(n≥2),数列{an}从第二项起构成等差数列, 则 S5=1+2+4+6+8=21. 答案:21 12.【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去 前 式 得 an+3=an, 即 数 列 {an} 是 以 3 为 周 期 的 数 列 . 由 a7=2, 可 知 a1=a4=a7=…=a100=2,共 34 项,其和为 68;由 a9=3,可得 a3=a6=…=a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=…=a98=4,共 33 项,其和为 132.故 数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 13.【解析】(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9 得 2(log22+d)=log22+log28, 即 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. =n+2n-1.

(2)因为 所以 Sn= +

=

= , +…+

= + + +…+ = =1- .

14.【解析】(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. (2) = , + + , ① . ② -

Sn=1+ + +…+ 2Sn=2+3+ +…+

②-①,得 Sn=2+2+ + +…+ =2+2×(1+ + +…+ =2+2× =6).

【变式备选】已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N+),且 b1=3,求数列{ }的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则 解得 ∴an=2n+3.

(2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N+),

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2), 当 n=1 时,b1=3 也适合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N+). ∴ = =(), ) . =

Tn= (1- + - +…+ =()=

15.【解析】 = = 故 =( =4+ =

,k=1,2,3,…,n +…+ )+( . )+…+[ ]= -

【方法技巧】裂项相消法的应用技巧 裂 项 相 消 法的 基本 思 想 是 把数 列的 通 项 an 分 拆 成 an=bn+1-bn 或 者 an=bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题 中要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式,使之符合裂项相 消的条件 .在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某 个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项 ,只有这样才能实现 逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.

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