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第一章解三角形章末检测


11.在△ABC 中,若 A<B<C,b=10,且 a+c=2b,C=2A,则 a 与 c 的值分别为( 第一章 解三角形章末测试题(A)高二文 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,下列等式不成立的是( A.c= a2+b2-2abcosC ) A.8,10 B.1

0,10C.8,12 D.12,8 → =-1,则△ABC 的周长是( a2+c2-b2 a b B. = C.asinC=csinAD.cosB= sinA sinB 2abc ) A.3 B.6C.3 6 ) D.9 6 → → → → → →

)

→ →

12.已知平面上有四点 O,A,B,C,满足OA+OB+OC=0,OA· OB=OB· OC=OC· OA

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,A=30° ,C=105° ,b=8,则 a=________. 14.在△ABC 中,若∠A=120° ,AB=5,BC=7,则 AC=________.

2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75°B.60° C.45° D.30° 3.已知△ABC 中,c=6,a=4,B=120° ,则 b 等于( A.76 B.2 19C.27 D.2 7 ) )

15.在△ABC 中,已知 CB=8,CA=5,△ABC 的面积为 12,则 cos2C=________. 16.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° ,则甲楼高为______m,乙楼高为________m. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17.(10 分)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a,b,c,若 cosBcosC- 1 sinBsinC= . 2 (1)求 A;(2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

4.已知△ABC 中,a=4,b=4 3,A=30° ,则 B 等于( A.30° B.30° 或 150° C.60° D.60° 或 120°

5.已知三角形的三边长分别为 a,b, a2+ab+b2,则三角形的最大内角是( A.135°B.120° C.60° D.90°

6.△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c 设向量 p=(a+c,b),q=(b-a, c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( π π π A. B. C. 6 3 2 ) 2π D. 3 )

7.在△ABC 中,已知 a=2bcosC,那么△ABC 的内角 B、C 之间的关系是( A.B>C B.B=CC.B<C D.关系不确定 ) D.直角三角形 )

8.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则这个三角形是( A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 9.在△ABC 中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

π 1 18.(12 分)在△ABC 中,C-A= ,sinB= . 2 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.

D.等边三角形 )

10.△ABC 中,已知 sinB=1,b=3,则此三角形( A.无解 B.只有一解 C.有两解
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D.解的个数不确定

19.(12 分)

A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外两点间距离哪个相等,然后求 B,D 的距离(计 3 如图,在△ABC 中,AC=2,BC=1,cosC= . 4 (1)求 AB 的值;(2)求 sin(2A+C)的值. 算结果精确到 0.01 km, 2=1.414, 6≈2.449).

π 22.(12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3 (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cosB= ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

20.(12 分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 c=5,求 sinA 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 21.(12 分)如图,
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→ → → 2π 故∠AOB=∠BOC=∠COA= ,|OA|=|OB|=|OC|= 2. 3 在△AOB 中,由余弦定理,得 第一章解三角形章末检测 A 卷答案 1.答案 2 答案 3.答案 4 答案 D 解析 B 解析 B 解析 D 解析 a2+c2-b2 很明显 A,B,C 成立;由余弦定理,得 cosB= ,所以 D 不成立 2ac 1 3 由 S△ABC=3 3= ×3×4sinC,得 sinC= ,又角 C 为锐角,故 C=60° . 2 2 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB=76,所以 b=2 19. a b b 4 3 3 由正弦定理,得 = .所以 sinB= sinA= sin30° = .又 a<b,则 sinA sinB a 4 2 2π AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos =6. 3 ∴AB= 6,故△ABC 的周长是 3 6. 13 答案 14. 答案 4 2解析 3 解析 B=180° -30° -105° =45° ,由正弦定理,得 a= sinA sin30° b= ×8=4 2 sinB sin45° AB2+AC2-BC2 ,即 2×AB×AC

在△ ABC 中,由余弦定理,得 cosA = cos120° =

25+AC2-49 1 =- .解得 AC=-8(舍去)或 AC=3. 2 2×5×AC 15 答案 7 解析 25 7 . 25 40 3 3 1 1 3 由题意,得 S = CA×CBsinC ,则 12 = ×5×8sinC. 所以 sinC = . 则 2 2 5

A<B,所以 B=60° 或 120° . 5 答案 B 解析 a2+ab+b2 >a , a2+ab+b2 >b ,则长为 a2+ab+b2 的边所对的角最

a2+b2-?a2+b2+ab? 1 大.由余弦定理,得 cosα= =- ,所以三角形的最大内角是 120° . 2ab 2 6. 答案 B 解析 由 p∥q,得 (a+ c)(c- a)= b(b-a),则 b2+ a2- c2= ab.由余弦定理,得

cos2C=1-2sin2C= 16 答案 解析 20 3

a2+b2-c2 1 π cosC= = ,所以 C= . 2ab 2 3 7 答案 11 答案 B8 答案 B9 答案 C10 答案 D

如下图所示,甲楼高为 AB,乙楼高为 CD,AC=20 m.

C 解析 ∵C=2A,∴sinC=sin2A=2sinA· cosA.

100+c2-a2 由正弦定理,余弦定理可得 c=2a· , 2×10c 将 a=20-c 代入上式整理,得 c2-22c+120=0,解得∴c=10(舍去)或 c=12.∴a=8. 12 答案 → → → → ∴OB· CA=0.∴OB⊥CA.同理,OA⊥BC, OC⊥AB.∴△ABC 为等边三角形.
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C 解析 由已知得 O 是△ABC 的重心, → → → → → 则在△ABC 中,∠BAC=90° ,AC=20(m),所以 AB=ACtan60° =20 3(m),在△BCD 中, BC=40(m),∠BCD=90° -60° =30° ,∠CBD=90° -30° -30° =30° ,则∠BDC=180° -30° -30°

由OA· OB=OB· OC,得OB· (OA-OC)=0.

=120° .由正弦定理,得 17 思路分析 解析

sin∠CBD BC CD 40 3 = ,所以 CD= BC= . 3 sin∠BDC sin∠CBD sin∠BDC

∴AB= 2. 3 7 (2)由 cosC= 且 0<C<π,得 sinC= 1-cos2C= . 4 4 由正弦定理,得 AB BC BCsinC 14 = ,解得 sinA= = . sinC sinA AB 8

(1)转化为求 cosA;(2)求出 bc 的值即可.

1 (1)∵cosBcosC-sinBsinC= , 2

1 ∴cos(B+C)= . 2 1 1 ∵A+B+C=π,∴cos(π-A)= .∴cosA=- . 2 2 又∵0<A<π,∴A= 2π . 3

5 2 所以 cosA= . 8 由倍角公式,得 sin2A=2sinAcosA= 且 cos2A=1-2sin2A= 9 . 16 3 7 . 8 5 7 , 16

(2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc· cosA. 2π 则(2 3)2=(b+c)2-2bc-2bc· cos . 3 1 ∴12=16-2bc-2bc· (- ).∴bc=4. 2 1 1 3 ∴S△ABC= bc· sinA= ×4× = 3. 2 2 2 18. 解析 π π π (1)由 C-A= 和 A+B+C=π,得 2A= -B,0<A< . 2 2 4 故 sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC= 20 解析 (1)方法一 ∵A(3,4)、B(0,0),

4 ∴|AB|=5,sinB= . 5 当 c=5 时,|BC|=5,|AC|= ?5-3?2+?0-4?2=2 5. 根据正弦定理,得 |BC| |AC| |BC| 2 5 = ?sinA= sinB= . sinA sinB |AC| 5 方法二 ∵A(3,4)、B(0,0),∴|AB|=5.

1 3 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A= ,sinA= . 3 3 (2)由(1)得 cosA= 6 . 3

当 c=5 时,|BC|=5,|AC|= ?5-3?2+?0-4?2=2 5. 根据余弦定理,得 cosA= |AB|2+|AC|2-|BC|2 5 = . 2|AB||AC| 5 2 5 . 5

BC AC sinA 又由正弦定理,得 = ,BC= AC=3 2. sinA sinB sinB 1 1 所以 S△ABC= AC· BC· sinC= AC· BC· cosA=3 2. 2 2 19. 解析 (1)由余弦定理,得

sinA= 1-cos2A=

AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC 3 =4+1-2×2×1× =2. 4
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(2)已知△ABC 顶点坐标为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0), |AB|2+|AC|2-|BC|2 根据余弦定理,得 cosA= . 2|AB||AC| 若∠A 是钝角,则 cosA<0?|AB|2+|AC|2-|BC|2<0,即 52+[(c-3)2+42]-c2=50-6c<0,解

25 得 c> . 3 21 解析 在△ABC 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,

所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 在△ABC 中, 即 AB= AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC

ACsin60° 3 2+ 6 = , sin15° 20 3 2+ 6 ≈0.33 km. 20

因此,BD=

故 B、D 的距离约为 0.33 km 22 解析 π π 1-cos2x (1)f(x)=cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2

1 3 1 1 1 3 = cos2x- sin2x+ - cos2x= - sin2x. 2 2 2 2 2 2 π π 所以当 2x=- +2kπ,即 x=- +kπ(k∈Z)时, 2 4 f(x)取得最大值,f(x)最大值= 1+ 3 , 2

2π f(x)的最小正周期 T= =π, 2 1+ 3 故函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2 C 1 1 3 1 3 π (2)由 f( )=- ,即 - sinC=- ,解得 sinC= ,又 C 为锐角,所以 C= . 2 4 2 2 4 2 3 1 2 2 由 cosB= ,求得 sinB= . 3 3 由此 sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 2 2 1 1 3 2 2+ 3 = × + × = . 3 2 3 2 6
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