nbhkdz.com冰点文库

2第二章 函数、导数及其应用 - 副本


第二章 函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 f:A→B 名称 记法 设 A,B 是两个___________ 如果按照某个对应关系 f, 对于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都 存在________的数 f(x)与之对应 称 f:A→B 为从

集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 设 A,B 是两个 如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有________的元素 y 与之对应 称对应 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 对应 f:A→B 是一个映射 映射

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的________;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:________、________和________. (3)相等函数:如果两个函数的________和________完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成. [试一试] 1.(2013· 江西高考)函数 y= x ln(1-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
2 ? ?x +1,x≤1, ? 2.若函数 f(x)= 则 f(f(10))=( ? ?lg x,x>1,

)

A.lg 101 C.1

B.2 D.0

1

求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于( ) A.-2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 2.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________. 3.

函数与映射的概念 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x
2

考点一

B.y= x-1与 y=

x-1

x-1 x D.y=lg x-2 与 y=lg 100

[类题通法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 考点二 函数的定义域问题

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分 . 归纳起来常见的命题角度有: ?1?求给定函数解析式的定义域; ?2?已知 f?x?的定义域,求 f?g?x??的定义域; ?3?已知定义域确定参数问题.? 角度一 求给定函数解析式的定义域 1.(1)(2013· 山东高考)函数 f(x)= A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 1-2x+ 1 的定义域为( ) x+3 B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

2

角度二 已知 f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域 2.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

角度三 已知定义域确定参数问题 3 . (2014· 合肥模拟 )若函数 f(x) = ________. 2x +2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为
2

[类题通法] 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. 求函数的解析式 1 1 ? 2 [典例] (1)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式; 2 ? (2)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). 考点三

[类题通法] 求函数解析式常用的方法 (1)待定系数法;(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法;(4)解方程组法. [针对训练] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式.

2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式.

3

分段函数 ?lg x,x>0, ? [典例] (1)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值为( ? ?x+3,x≤0. A.-3 B.-1 或 3 C.1 D.-3 或 1 3 2 x , x <0 , ? ? ?π??=________. (2)(2013· 福建高考)已知函数 f(x)=? 则 f? f π ? ?4?? ? ?-tan x,0≤x<2,

考点四

)

[类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [针对训练] - ?2 x,x∈?-∞,1?, 设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范围是______. ?x ,x∈[1,+∞?,

[课堂练通考点] 1.下列函数中,与函数 y= 1 A.y= sin x 1 3 x 定义域相同的函数为( )

ln x B.y= x sin x C.y=xex D.y= x ? ?log2x,x>0, 1?? 2.(2014· 成都调研)已知函数 f(x)=? x 则 f? f? ) 4??的值是( ? ? ?3 ,x≤0, ? 1 A.9 B. 9 1 C.-9 D.- 9 3.(2014· 安徽“江南十校”联考)函数 y=(x+1)0+ln(-x)的定义域为________.

4.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________.
4

?x-1,x>0, ? 5.(2013· 上海徐汇一模)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ?2-x,x<0. ? (1)求 f(g(2))与 g(f(2)); (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式.

第二节

函数的单调性与最值

1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?________; (2)f(x)在区间 D 上是减函数?________. 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I, 都有 f(x)≤M; ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; 条件 ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值

1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减. 单调区间只 能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号 “∪”联结,也不能用“或”联结. 2. 两函数 f(x), g(x)在 x∈(a, b)上都是增(减)函数, 则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x),
5

1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x? [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 1 1 ?x C.y=? D.y=x+ ?2? x 2 2.函数 f(x)=x -2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________.

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判 断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) 1 - A.y= B.y=e x x C.y=-x2+1 D. y=lg|x|

1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1

求函数的单调区间 1.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________.
6

考点一

[类题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即: (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法. 考点二 函数单调性的判断

-2x [典例] 判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1

[类题通法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确.

[课堂练通考点] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) 2 A.f(x)=3-x B.f(x)=x -3x 1 C.f(x)=- D.f(x)=-|x| x+1 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( ) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n); ?1??<f(1),则实数 x 的取值范围是________. 若 f? ??x?? 1?x 4.函数 f(x)=? ?3? -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.

第三节

函数的奇偶性及周期性
7

1.函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图像特点 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 偶函数 关于 y 轴对称 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 奇函数 关于原点对称 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数 2.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 ________,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能 说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而 否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的. [试一试] 1.(2013· 广东高考)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函 数的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 1 A.- B. 3 3 1 1 C. D.- 2 2

1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:

(2)图像法:

8

2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x? [练一练] 3? 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________.

考点一 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3-2x+ 2x-3; - (2)f(x)=3x-3 x; 4-x2 (3)f(x)= ; |x+3|-3

函数奇偶性的判断

[类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质,具体如下: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 考点二 函数奇偶性的应用

1 [典例] (1)(2013· 山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ ,则 f(- x 1)=( ) A.-2 B .0 C.1 D.2 (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围.

9

本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”, 试 想 m 的范围改变吗?若改变,求 m 的取值范围.

[类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式: 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造 关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性. [针对训练] - 1.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.

2.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是________.

函数的周期性及其应用 [典例] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012

考点三

[类题通法] 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质, 在解决具体问题时, 要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.
10

[课堂练通考点] 5? 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( ) 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2 2.(2014· 大连测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性 也相同的是( ) 1 A.y=- B.y=log2|x| x C.y=1-x2 D.y=x3-1 3.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________.

5.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

第四节

函数的图像

1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →________; a<0,左移|a|个单位 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →________. b<0,下移|b|个单位 (2)伸缩变换:
? y=f(x) ???????? 1 ? ________; ? ?1,缩短为原来的 ?
1 0?? ?1,伸长为原来的 倍

a>0,右移a个单位

b>0,上移b个单位

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →________. 0<A<1,缩为原来的A倍 (3)对称变换:
11

A>1,伸为原来的A倍

y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=________; y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=________; y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=________ (4)翻折变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|); 将y轴右边的图像翻折到左边去 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去 1.在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则, 写出每一次的变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错. 2.明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称的不同,前者也是 自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. [试一试] (2014· 自贡调研)函数 y=log2(|x|+1)的图像大致是( )
留下x轴上方图 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 关于原点对称 关于y轴对称

关于x轴对称

1.数形结合思想 借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用 函数的图像,还可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 2.分类讨论思想 画函数图像时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图像. [练一练] 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________.

考点一 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|; + (2)y=2x 2; (3)y=x2-2|x|-1.

作函数的图像

[类题通法] 画函数图像的一般方法 (1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数
12

的特征直接作出; (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利 用图像变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注 意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 识图与辨图 [典例] (1)(2013· 福建高考)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是( 考点二 )

(2)(2012· 湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图像如图所 示,则 y=-f(2-x)的图像为( )

[类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解 决问题. [针对训练] 1.(2014· 潍坊高三期末)函数 y=xsin x 在[-π,π]上的图像是( )

2.如图,函数 f(x)的图像是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为 1 (0,0),(1,2),(3,1),则 f?f?3??的值等于________. ? ?

[课堂练通考点]
13

1.函数 y=x|x|的图像经描点确定后的形状大致是(

)

2. (2013· 北京高考)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度, 所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( ) + - A.ex 1 B.ex 1 -x+1 -x-1 C.e D.e 3.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4. 已知函数 f(x) 的图像如图所示,则函数 g(x) = log ________.
2

f(x) 的定义域是

5.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________.

第五节

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 y=x y=x2 性质 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=________ (2)顶点式:f(x)=________ R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, (0,+∞)增

y=x3

1

y=x 2

y=x

-1

R R 奇 增 (1,1)

{x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减

; ;
14

(3)零点式:f(x)=________ 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 定义域
2

. a<0

x∈R

值域

单调性 奇偶性 图像特 点

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? b ? 在? ?-∞,-2a?上递减, b ? 在? ?-2a,+∞?上递增
b ①对称轴:x=- ; 2a 4ac-b2? b ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

?-∞,4ac-b ? 4a ? ? b ? 在? ?-∞,-2a?上递增, b ? 在? ?-2a,+∞?上递减

2

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数

1.研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 2 不是幂函数. [试一试] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( ) 2 2 A.f(x)=x -1 B.f(x)=5x C.f(x)=-x2 D.f(x)=x2 2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1? 1? A.? B.? ?0,20? ?-∞,-20? 1 1 ? ? C.? D.? ?20,+∞? ?-20,0?
1

)

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x), 如果定义域内有不同两点 x1, x2 且 f(x1)=f(x2), 那么函数 y=f(x) x1+x2 的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 ?a>0, ? (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.
? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? 3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候 常常要结合图形寻找思路. 15

(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴 与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等. [练一练] 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小 值为________.

幂函数的图像与性质 1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是(

考点一

)

[类题通法] 1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过 原点,在第一象限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线 下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比 较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 求二次函数的解析式 [典例] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数的解析式. 考点二

[类题通法] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式.

考点三

二次函数的图像与性质
16

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系, 当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: ?1?轴定区间定求最值; ?2?轴动区间定求最值; ?3?轴定区间动求最值.? 角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],当 a=-2 时,求 f(x)的最值.

角度二 轴动区间定求最值 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

角度三 轴定区间动求最值 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a).

[类题通法] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法: (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间的端点或二次函数图像的顶 点处取得最值. 当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.

[课堂练通考点] 1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是(
17

)

A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x
1 3

1 3

2

1 2

-1

3 2

2 3

1 2 1 2

-1

-1

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x

1 2

-1

2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调函数,则 k 的取值范 围是( ) A.(-∞,40] B.[160,+∞) C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.? 3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为________.

4.若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),则 a,c 满足的条件是________.

5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 函数?

-5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增

第六节

指数与指数函数

1.根式的性质 n (1)( a)n=________ n (2)当 n 为奇数时 an=________; ? ?a ?a≥0?, n 当 n 为偶数时 an=? ?-a ?a<0?. ? 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念:
18

①正分数指数幂:a =________(a>0,m,n∈N*,且 n>1). ②负分数指数幂:a
? m n

m n



1 a
m n



1 n

(a>0,m,n∈N*,且 n>1).

am ③0 的正分数指数幂等于________,0 的负分数指数幂________. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=________a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=________(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 y=ax 图像 定义域 值域 性质 R (0,+∞) 过定点(0,1) 当 x>0 时, y>1; x<0 时, 0<y<1 当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数

1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号 和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟 a 的取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. [试一试] 1.化简[(-2)6] 2 -(-1)0 的结果为( A.-9 C.-10
1

) B.7 D.9

2.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________.

1.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(a2x+b· ax+c≤0)的指数方程或不等式, 常借助换元法解决. 2.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. [练一练] 1?x 1.函数 y= 1-? ?2? 的定义域为________. 2.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________.

19

考点一 求值与化简:
1

指数幂的化简与求值

3 ?21? ? 2 -(0.01)0.5; 2 ?0+2-2· (1)? ? 5? ? 4?
? 5 - - - (2) a 3 · b 2· (-3a 2 b 1)÷ (4a 3 · b 3) 2 ; 6
1

1

2

1

(3)

?a 3 · b ?1 ? 2 · a 2· b3
6

2

?

1

?

1

1

a· b5

[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答. 指数函数的图像及应用 [典例] (1)(2012· 四川高考)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是( 考点二 )

[类题通法] 指数函数图像的画法及应用 1 -1, ?. (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? a? ? (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对 称变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. [针对训练] 1?x 1.(2014· 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y=2x 与 y=? ) ?2? 的图像之间的关系是( A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称
20

C.关于原点对称

D.关于直线 y=x 对称

2.方程 2x=2-x 的解的个数是________.

.

[课堂练通考点] - 1.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图像经过点(2,1),则 f(x)的值域( A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞)


)

3.(2014· 南昌一模)函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________.


4.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为________.

a 5.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2

第七节

对数与对数函数

21

1.对数的定义 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫 做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): ①loga1=________;②logaa=________;③alogaN=________. (2)对数的换底公式 logcb 基本公式:logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca (3)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)=________, M ②loga =________, N ③logaMn=n________(n∈R). 3.对数函数的图像与性质 a>1 图像 定义域 值域 定点 单调性 函数值正负 ____________ R 过点______ 在(0,+∞)上是__函数 在(0,+∞)上是__函数 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1,y<0 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0 0<a<1

4.反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图像 关于直线________对称. 1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,易忽视 M>0. 2.解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域; (2)对数底数的取值范围. [试一试] 1 1.(2013· 重庆高考)函数 y= 的定义域是( ) log2?x-2? A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) 2.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________.

1.对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0 或 1);(4)化同真数 后利用图像比较. 2.明确对数函数图像的基本点
22

(1)当 a>1 时,对数函数的图像“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图像“下降”. 1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1)? ?a,-1?,函数图像 只在第一、四象限. [练一练] 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是( 2 ?2,0? 0, ? A.? B. 3 ? ? ?3 ? C.(1,0) D.(0,1)

)

2.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

)

对数式的化简与求值 1.计算下列各题: 3 1 32 4 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; (2) lg - lg 8+lg 245 7 2 49 3

考点一

[类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算. 对数函数的图像及应用 [典例] (1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是( 考点二

)

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( ) 2 2 2 A.?0, ? B.? ,1? 2? ? ?2 ? C.(1, 2) D.( 2,2)
23

若本例(2)变为: 若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成立, 则实 数 a 的取值范围为________.

[类题通法] 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.

对数函数的性质及应用 [典例] 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

考点三

[类题通法] 求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定定义域; (2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函 数,即“同增异减”.

[课堂练通考点] 1.(2014· 深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(- 2)=( ) A.-1 B.-3 C.1 D.3 lg?x+1? 2.(2013· 广东高考)函数 y= 的定义域是( ) x-1 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) 1 3.函数 y=lg 的大致图像为( ) |x+1|
24

1 x ? ?2 ,x≤1, ? 4.设函数 f(x)= 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ?1-log2x,x>1, ?


)

A.[-1,2] C.[1,+∞)

B.[0,2] D.[0,+∞)

?log1x,x≥1, ? 5.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 2 的值域为________. ?2x,x<1 ?

第八节

函数与方程

1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax +bx+c (a>0) 的图像
2

与 x 轴的交点 零点个数

(x1,0),(x2,0) 两个

(x1,0) 一个

无交点 零个

3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间___________, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 1.函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,易误为函数点. 2.由函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)· f(b)<0,如 图所示. 所以 f(a)· f(b)<0 是 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
25

[试一试] 1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( 1 A.0,2 B.0, 2 1 1 C.0,- D.2,- 2 2

)

2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

1.函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2) 零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间 [a , b] 上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有 几个不同的值,就有几个不同的零点. 2.三个等价关系(三者相互转化)

3.用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间(a,b)的中点 c. 第三步:计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b),否则重复第 二、三、四步. [练一练] (2014· 中山模拟)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

函数零点所在区间的判定 1.(2014· 保定调研)函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2)
26

考点一

)

C.(2,3)

D.(3,4)

2 2.(2013· 朝阳模拟)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围 x 是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

3.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点.

[类题通法] 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点, 要根据具体题目灵活处理. 当能直接求出零点时, 就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定 理也无法判断时可画出图像判断. 判断函数零点个数 ?x+1,x≤0, ? [典例] (1)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个数是( ? ?log2x,x>0, A.4 B.3 C.2 D.1 1 1?x (2)函数 f(x)=x 2 -? ) ?2? 的零点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 考点二

)

[类题通法] 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数,其步骤是: (1)令 f(x)=0; (2)构造 y1=f1(x),y2=f2(x); (3)作出 y1,y2 图像; (4)由图像交点个数得出结论. [针对训练] πx 函数 f(x)=3cos -log 1 x 的零点的个数是( ) 2 2 A.2 C.4 B.3 D.5

27

函数零点的应用 [典例] 若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________.

考点三

若函数变为 f(x)=ln x-x-a,其他条件不变,则 a 的取值范围是________.

[类题通法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数 形结合求解. [针对训练] ?2x-a,x≤0 ? (2013· 福建质检)若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ?ln x,x>0 ? ________.

[课堂练通考点]
?2 -1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ) ?1+log2x,x>1, ? 1 A. ,0 B.-2,0 2 1 C. D.0 2 1? ?1? 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f? f?2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1] ?-2?· 内( ) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
x

3.(2013· 河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+ex 的一个零点,则-x0 一定是下列 哪个函数的零点( ) - x A.y=f(-x)e -1 B.y=f(x)e x+1 x x C.y=e f(x)-1 D.y=e f(x)+1

28

4. 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解, 验证 f(2)· f(4)<0, 给定精确度 ε=0.01, 2+4 取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 2

?x-2,x>0, ? 5. 已知函数 f(x)=? 2 满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(-1)=0, 那么函数 g(x) ?-x +bx+c,x≤0 ? =f(x)+x 的零点个数为________.

第九节

函数模型及其应用(一轮复习)

第十节

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x , Δx Δx→0 Δx→0Δx 0 即 f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx (2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: f?x+Δx?-f?x? 称函数 f′(x)= lim 为 f(x)的导函数. → Δx Δx 0 2.基本初等函数的导数公式 ( c )′=________ ( xa )′=________ (sin x)′=________, (cos x)′=________, ( ax )′=________, ( ex )′=________, (logax)′=________, (ln x)′=________ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=________________________; (2)[f(x)· g(x)]′=________________________; f ? x ? ? (3)? ?g?x??′=________________________. f′(x0)= lim →
Δx 0

29

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 3. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差 别. [试一试] 1 . (2013· 江西高考 ) 若曲线 y = xα + 1(α ∈ R) 在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点,则 α = ________. 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 3.

利用导数的定义求函数的导数 利用导数的定义求函数的导数: (1)y=x2; .

考点一

[类题通法] 定义法求函数的导数的三个步骤 一差:求函数的改变量 Δy=f(x+Δx)-f(x). Δy f?x+Δx?-f?x? 二比:求平均变化率 = . Δx Δx Δy 三极限:取极限,得导数 y′=f′(x)= lim . Δx→0Δx 考点二 [典例] 求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; ex+1 (2)y= x . e -1 导数的运算

[类题通法] 1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. 2. 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.

30

考点三

导数的几何意义

导数的几何意义是每年高考的重点, 求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜 率,利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求切线方程; ?2?求切点坐标; ?3?求参数的值.? 角度一 求切线方程 1.曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( ) A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-2x-1

角度二 求切点坐标 2. (2013· 辽宁五校第二次联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0, 则点 P0 的坐标是( ) A.(0,1) B.(1,-1) C.(1,3) D.(1,0)

角度三 求参数的值 3.(2014· 郑州第一次质量预测)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2

[类题通法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

[课堂练通考点] 1.(2013· 全国大纲卷)已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a =( ) A.9 B.6 C.-9 D.-6
31

2.(2014· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2 012+ln x),f′(x0)=2 013,则 x0=( 2 A.e B.1 C.ln 2 D.e

)

3.若曲线 y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此时 该切点的坐标为( ) A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4)

4.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________.

5. (2014· 黄冈一模)已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)· (x-4)(x-5), 则 f′(0)=________.

1 6.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围.

第十一节

导数的应用

1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.
32

f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为________. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为________. 2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小,f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧________, 右侧________, 则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a) 叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)= 0,而且在点 x=b 附近的左侧________,右侧________,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极值点的导数也不一定为 0. 2.易混极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. [试一试] 1.设函数 f(x)=xex,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 1 2.函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞)

) B.(0,1] D.(0,+∞)

解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类 讨论和数形结合思想的应用. (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理. [练一练] 1 .函数 f(x) = x3 + 3ax2 + 3[(a + 2)x + 1] 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 ________. 2.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________.

第一课时 导数与函数单调性

33

考点一

判断或证明函数的单调性
3

x -?a+5?x,x≤0, ? ? [典例] (2013· 天津高考节选)设 a∈[-2,0],已知函数 f(x)=? 3 a+3 2 ? ?x - 2 x +ax,x>0. 证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, +∞)内单调递增.

[类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. [针对训练] 已知函数 f(x)=x2-ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明. 解:f(x)=x2-ex,f(x)在 R 上单调递减, f′(x)=2x-ex,只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可. 设 g(x)=f′(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex, 当 x=ln 2 时,g′(x)=0, 当 x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)>0, 当 x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)<0. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, ∴f′(x)<0 恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递减. 求函数的单调区间 [典例] (2012· 北京高考改编)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间. [解] (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, f?1?=a+1=c, ? ? 由已知可得?g?1?=1+b=c, ? ?2a=3+b, 解得 a=b=3. 考点二

a2 a2 (2)令 F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ x+1,F′(x)=3x2+2ax+ ,令 F′(x)=0,得 x1= 4 4 a a - ,x2=- , 2 6 ∵a>0,∴x1<x2, a a 由 F′(x)>0 得,x<- 或 x>- ; 2 6 a a 由 F′(x)<0 得,- <x<- . 2 6 a? ? a a? ? ? a ∴单调递增区间是? ?-∞,-2?,?-6,+∞?;单调递减区间为?-2,-6?. 在本例(2)中,若条件不变,讨论函数 f(x)+g(x)当 a>0 时,在区 间(-∞,-1)上的单调性.
34

解:当 0<a≤2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1)上为增函数; a? ? a ? 当 2<a≤6 时,f(x)+g(x)在? ?-∞,-2?上单调递增,在?-2,-1?上单调递减; a? a a? a ? 当 a>6 时, f(x)+g(x)在? 在? 在? ?-∞,-2?上单调递增, ?-2,-6?上单调递减, ?-6,-1? 上单调递增. [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 (1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. [针对训练] (2013· 重庆高考)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 6 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+ . x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y -16a=(6-8a)· (x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6, 1 故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时, f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2), (3, +∞)上为增函数; 当 2<x<3 时, f′(x)<0, 故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2 已知函数的单调性求参数的范围 1 [典例] (2013· 北京东城区统一检测)已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1,m∈R. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求 m 的取值范围. 1 [解] (1)当 m=1 时,f(x)= x3+x2-3x+1, 3 又 f′(x)=x2+2x-3,所以 f′(2)=5. 5 5 又 f(2)= ,所以所求切线方程为 y- =5(x-2), 3 3 即 15x-3y-25=0. 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 15x-3y-25=0. (2)f′(x)=x2+2mx-3m2, 令 f′(x)=0,得 x=-3m 或 x=m. 当 m=0 时,f′(x)=x2≥0 恒成立,不符合题意. 当 m>0 时, f(x) 的单调递减区间是 ( - 3m , m) ,若 f(x) 在区间 ( - 2,3) 上是减函数,则
35

考点三

? ?-3m≤-2, ? 解得 m≥3. ?m≥3, ?

当 m<0 时, f(x) 的单调递减区间是 (m ,- 3m) ,若 f(x) 在区间 ( - 2,3) 上是减函数,则
? ?m≤-2, ? 解得 m≤-2. ?-3m≥3, ?

综上所述,实数 m 的取值范围是 m≥3 或 m≤-2. [类题通法] 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的 子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一 非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. [针对训练] 1 a (2014· 荆州质检)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 3 2 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取 值范围. 解:(1)f′(x)=x2-ax+b, ? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f′?0?=0, ?b=0. ? ? (2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2? 即 x∈(-2,-1)时,a<? ?x+x?max=-2 2, 2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立, x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2).

[课堂练通考点] 1.函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,0] D.(0,+∞) x x 解析:选 D ∵f(x)=e -x,∴f′(x)=e -1, 由 f′(x)>0,得 ex-1>0,即 x>0. ln x 2.若 f(x)= ,e<a<b,则( ) x A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 1-ln x 解析: 选 A f′(x)= , 当 x>e 时, f′(x)<0, 则 f(x)在(e, +∞)上为减函数, f(a)>f(b). x2
36

3.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调增函数,则 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)=x3+x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+2x+m. 又∵f(x)在 R 上是单调增函数, 1 ∴Δ=4-12 m≤0,即 m≥ . 3 1 ? 答案:? ?3,+∞? 2? 4.?创新题?已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′? ?3?. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范 围. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2-x+c, 得 f′(x)=3x2+2ax-1. 2? 2 ?2?2 ?2? 当 x= 时,得 a=f′? ?3?=3×?3? +2a×?3?-1, 3 解之,得 a=-1. (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 1? 则 f′(x)=3x2-2x-1=3? ?x+3?(x-1), 列表如下: 1 ?-∞,-1? ?-1,1? x 1 - (1,+∞) 3? 3 ? ? 3 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 1 -∞,- ?和(1,+∞); 所以 f(x)的单调递增区间是? 3? ? 1 ? f(x)的单调递减区间是? ?-3,1?. (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex =(-x2-x+c)· ex 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞). [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.函数 f(x)=x+eln x 的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,0)和(0,+∞) D.R e 解析:选 A 函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ >0,故单调增区间是(0,+∞). x 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:选 D ∵f(x)=(x-3)· ex, f′(x)=ex(x-2)>0,∴x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 3.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,
37

1? 设 a=f(0),b=f? ?2?,c=f(3),则( A.a<b<c C.c<a<b

) B.c<b<a D.b<c<a

1 解析:选 C 依题意得,当 x<1 时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又 f(3)=f(-1),且-1<0< 2 1 1 ? ? ? <1,因此有 f(-1)<f(0)<f? ?2?,即有 f(3)<f(0)<f?2?,c<a<b. 1 1 ,+∞?上是增函数,则 a 的取值范围是( 4.若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ) ? x ?2 A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞) 1 1 ? 解析:选 D f′(x)=2x+a- 2,因为函数在? ?2,+∞?上是增函数,所以 f′(x)≥0 在 x ?1,+∞?上恒成立,即 a≥ 12-2x 在?1,+∞?上恒成立,设 g(x)= 12-2x,g′(x)=- 23-2, ?2 ? ?2 ? x x x 1 1 2 ? ? ? 令 g′(x)=- 3-2=0,得 x=-1,当 x∈? ?2,+∞?时,g′(x)<0,故 g(x)max=g?2?=4-1 x =3,所以 a≥3,故选 D. 5.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π)上的单调情况是________. 解析:在(0,2π)上有 f′(x)=1-cos x>0,所以 f(x)在(0,2π)上单调递增. 答案:单调递增 1 3 6.(2014· 河南省三市调研)若函数 f(x)= x3- x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数 3 2 a 的值为________. 1 3 解析:∵f(x)= x3- x2+ax+4,∴f′(x)=x2-3x+a,又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递 3 2 减,∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根,∴a=(-1)×4=-4. 答案:-4 ln x+k 7.(2014· 武汉武昌区联考)已知函数 f(x)= (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线 ex y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 1 -ln x-k x 解:(1)由题意得 f′(x)= , ex 1-k 又 f′(1)= =0,故 k=1. e 1 -ln x-1 x (2)由(1)知,f′(x)= . ex 1 1 1 设 h(x)= -ln x-1(x>0),则 h′(x)=- 2- <0,即 h(x)在(0,+∞)上是减函数. x x x 由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 8.已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间. 解:(1)对 f(x)求导, 得 f′(x)=3x2-2ax-3. 1 3 x- ?. 由 f′(x)≥0,得 a≤ ? 2? x ?
38

1 3 x- ?,当 x≥1 时,t(x)是增函数, 记 t(x)= ? 2? x? 3 ∴t(x)min= (1-1)=0.∴a≤0. 2 (2)由题意,得 f′(3)=0, 即 27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x, f′(x)=3x2-8x-3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=3. 3 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: 1 ?-∞,-1? ?-1,3? x - 3? 3 ? ? 3 ? 0 f′(x) + - f(x) ? 极大值 ?

3 0 极小值

(3,+∞) + ?

1 1 -∞,- ?,[3,+∞),f(x)的单调递减区间为?- ,3?. ∴f(x)的单调递增区间为? 3? ? ? 3 ? 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.已知函数 f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a 为实数. (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2ex, f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex, 由 f′(x)>0?x>0 或 x<-2, 故 f(x)的单调增区间为(0,+∞)和(-∞,-2). (2)由 f(x)=(x2-ax)ex,x∈R ?f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex. 记 g(x)=x2+(2-a)x-a, 依题意,x∈[-1,1]时,g(x)≤0 恒成立, ?g?1?=3-2a≤0, ? 结合 g(x)的图像特征得? ? ?g?-1?=-1≤0, 3 3 ? 即 a≥ ,所以 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 2 2.(2014· 绵阳调研)已知函数 f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e 是自然对数的底 数. (1)试判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)当 a=e,b=4 时,求整数 k 的值,使得函数 f(x)在区间(k,k+1)上存在零点. 解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a. ∵a>1,∴当 x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0, ∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1, ∴f′(0)=0, 当 x>0 时,ex>1,∴f′(x)>0, ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数; 同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数. 又 f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0, 当 x>2 时,f(x)>0, ∴当 x>0 时,函数 f(x)的零点在(1,2)内, ∴k=1 满足条件; 1 f(0)=-3<0,f(-1)= -2<0, e
39

1 f(-2)= 2+2>0, e 当 x<-2 时,f(x)>0, ∴当 x<0 时,函数 f(x)的零点在(-2,-1)内, ∴k=-2 满足条件. 综上所述,k=1 或-2. 3.(2014· 石家庄质检)已知函数 f(x)=ln x+mx2(m∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 A,B 是函数 f(x)图像上不同的两点,且直线 AB 的斜率恒大于 1,求实数 m 的取值 范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1+2mx2 1 f′(x)= +2mx= . x x 当 m≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1 当 m<0 时,由 f′(x)=0 得 x= - . 2m 1? 1? 当 x∈?0, 时,f′(x)>0,f(x)在?0, 上单调递增; - - 2m? 2m? ? ? 1 1 当 x∈? - ,+∞?时,f′(x)<0,f(x)在 ? - ,+∞?上单调递减. 2m 2m ? ? ? ? 综上所述,当 m≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1? 1 当 m<0 时,f(x)在?0, 上单调递增,在? - ,+∞?上单调递减. - 2m? 2m ? ? ? (2)依题意,设 A(a,f(a)),B(b,f(b)),不妨设 a>b>0, f?a?-f?b? 则 kAB= >1 恒成立, a-b 即 f(a)-f(b)>a-b 恒成立, 即 f(a)-a>f(b)-b 恒成立, 令 g(x)=f(x)-x=ln x+mx2-x, 则 g(x)在(0,+∞)上为增函数, 2mx2-x+1 1 所以 g′(x)= +2mx-1= ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, x x 2 所以 2mx -x+1≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 1 1?2 1 1 1 即 2m≥- 2+ =-? ? x-2? +4对 x∈(0,+∞)恒成立, x x 1 因此 m≥ . 8 1 ? 故实数 m 的取值范围为? ?8,+∞?. 第二课时 导数与函数极值、最值

运用导数解决函数的极值问题 a [典例] (2013· 福建高考节选)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. a a [解] (1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,
40

考点一

a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0;x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a ≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 若把本例中 f(x)变为“f(x)=x-aln x(a∈R)”,试求函数的极值. a x-a 解:由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x (1)当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; (2)当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. [类题通法] 求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. [针对训练] 1 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对称, 2 且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)因为 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=6x2+2ax+b, a a2 x+ ?2+b- , 从而 f′(x)=6? ? 6? 6 a 即 y=f′(x)关于直线 x=- 对称. 6 a 1 从而由题设条件知- =- ,即 a=3. 6 2 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0, 得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令 f′(x)=0, 即 6(x-1)(x+2)=0, 解得 x=-2 或 x=1, 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,1)上单调递减;
41

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. [解] (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的情况如下: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) 0 f′(x) - + k-1 f(x) ? -e ? 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最 - 小值为 f(k-1)=-ek 1; 当 k-1≥1 时,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为 f(1)=(1-k)e. 综上,在区间[0,1]上 k≤1 时,f(x)最小值为 f(0)=-k. - 1<k<2 时,f(x)最小值为 f(k-1)=-ek 1. k≥2 时,f(x)最小值为 f(1)=(1-k)e. [类题通法] 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小 值. [针对训练] 1 设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 (1)求实数 a,b 的值; 1 ? (2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值. a 解:(1)f′(x)= -2bx, x 1 ∵函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 f′?1?=a-2b=0, a=1, ? ? ? ? ∴? 解得? 1 1 ?f?1?=-b=-2, ? ? ?b=2. 1-x2 1 1 (2)f(x)=ln x- x2,f′(x)= -x= , 2 x x 1 1 ∵当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x<1; e e 1 ? 令 f′(x)<0,得 1<x≤e,∴f(x)在? ?e,1?上单调递增,在[1,e]上单调递减,∴f(x)max=f(1)
42

考点二

1 =- . 2 函数极值和最值的综合问题 [典例] (2012· 重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值. [解] (1)因为 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′?2?=0, ? 故有? ?f?2?=c-16, ?
? ? ?12a+b=0, ?12a+b=0, 即? 化简得? ?8a+2b+c=c-16, ?4a+b=-8, ? ? ?a=1, ? 解得? ? ?b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c, f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,解得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4. [类题通法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求 函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过 单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值. [针对训练] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x 2 = 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

考点三

解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b.当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3, 可得 2a+b=0, ① 2 2 ? 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ② ?3?=0,可得 4a+3b+4=0, 3 由①②,解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 1, 所以 f(1)=4. 所以 1+a+b+c=4.所以 c=5. (2)由(1), 可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, f′(x)=3x2+4x-4.令 f′(x)=0, 解之, 得 x1=-2, 2 x2= . 3
43

当 x 变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示: ?-2,2? x -3 (-3,-2) -2 3? ? 0 f′(x) + + - f(x) 8 ? 13 ?

2 3 0 95 27

?2,1? ?3 ?
+ ?

1 + 4

95 所以 y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

[课堂练通考点] x3 2 1.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是( ) 3 17 10 A.- B.- 3 3 64 C.-4 D.- 3 解析:选 A f′(x)=x2+2x-3, 令 f′(x)=0 得 x=1(x=-3 舍去), 17 10 又 f(0)=-4,f(1)=- ,f(2)=- , 3 3 17 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)=- . 3 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 3 2 2 解析:选 C ∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f′(1)=0, ?1+a+b+a2=10, ? 即? ? ?3+2a+b=0,

)

? ? ?a=-3, ?a=4, 解得? 或? ?b=3, ? ? ?b=-11. ?a=-3, ? 而当? 时,函数在 x=1 处无极值, ? ?b=3 故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故选 C. 3.(2013· 郑州二模)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内的极大 值点有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析: 选 B 依题意, 记函数 y=f′(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标自左向右依次为 x1, x2,x3,x4,当 a<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x2<x<x4 时,f′(x)≥0;当 x4<x<b 时,f′(x)<0.因此,函数 f(x)分别在 x=x1、x=x4 处取得极大值,选 B. 4.设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x),求 g(x)的单调区间和最小值. 1 解:由题设知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,x>0, x x-1 所以 g′(x)= 2 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调递减区间; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间, 44

因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 5. (2012· 江苏高考)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y= f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 解:(1)由题设知 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x.因为 f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g′(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3 =-2,于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 威海模拟)当函数 y=x· 2x 取极小值时,x=( ) 1 1 A. B.- ln 2 ln 2 C.-ln 2 D.ln 2 1 解析:选 B y′=2x+x· 2xln 2=0,∴x=- . ln 2 2.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图像不可能为 y=f(x)图像的是( )

解析: 选 D 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex, 且 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,所以 f(-1)+f′(-1)=0;选项 D 中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足 f′(- 1)+f(-1)=0. 3.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n) 的最小值是( ) A.-13 B.-15 C.10 D.15 2 解析:选 A 求导得 f′(x)=-3x +2ax, 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0, ∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4, f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4. 又 f′(x)=-3x2+6x 的图像开口向下, 且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13.故选 A. 4.(2014· 荆州质检)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处 取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图像可能是( )

45

解析:选 C f(x)在 x=-2 处取得极小值,即 x<-2,f′(x)<0;x>-2,f′(x)>0,那么 y=xf′(x)过点(0,0)及(-2,0). 当 x<-2 时, x<0, f′(x)<0, 则 y>0; 当-2<x<0 时, x<0, f′(x)>0, y<0;当 x>0 时,f′(x)>0,y>0,故 C 正确. 5.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值 范围是________. 解析: f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根, 即 Δ=4m2-12×(m+6)>0.所以 m>6 或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 6.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图像在 x=1 处的切线平行 于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 解析:∵y′=3x2+6ax+3b, 2 ? ? ?3×2 +6a×2+3b=0 ?a=-1, ? ? ? 2 ?3×1 +6a+3b=-3 ?b=0. ? ? 2 2 ∴y′=3x -6x,令 3x -6x=0,得 x=0 或 x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案:4 7.(2013· 江苏高考节选)设函数 f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中 a 为实数. 若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a 的取值范围. 1-ax 1 解:令 f′(x)= -a= <0,考虑到 f(x)的定义域为(0,+∞),故 a>0,进而解得 x>a x x -1 -1 ,即 f(x)在(a ,+∞)上是单调减函数. - 同理,f(x)在(0,a 1)上是单调增函数.由于 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+ - - ∞)?(a 1, +∞), 从而 a 1≤1, 即 a≥1.令 g′(x)=ex-a=0, 得 x=ln a. 当 x<ln a 时, g′(x)<0; 当 x>ln a 时,g′(x)>0.又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 ln a>1,即 a>e. 综上,a 的取值范围为(e,+∞). 8.已知函数 f(x)=x2-1 与函数 g(x)=aln x(a≠0). (1)若 f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数 a 的值; (2)设 F(x)=f(x)-2g(x),求函数 F(x)的极值. 解:(1)因为 f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数 f(x),g(x)的图像上, 因为 f(x)=x2-1,g(x)=aln x, a 所以 f′(x)=2x,g′(x)= , x a 由已知,得 f′(1)=g′(1),所以 2= ,即 a=2. 1 (2)因为 F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2aln x(x>0), 2 2a 2?x -a? 所以 F′(x)=2x- = , x x 当 a<0 时, 因为 x>0,且 x2-a>0,所以 F′(x)>0 对 x>0 恒成立, 所以 F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值; 当 a>0 时, 令 F′(x)=0,解得 x1= a,x2=- a(舍去), 所以当 x>0 时,F′(x),F(x)的变化情况如下表: x (0, a) ( a,+∞) a 0 F′(x) - + F(x) 递减 极小值 递增 所以当 x= a时,F(x)取得极小值,且 F( a)=( a)2-1-2aln a=a-1-aln a.
46

综上,当 a<0 时,函数 F(x)在(0,+∞)上无极值; 当 a>0 时,函数 F(x)在 x= a处取得极小值 a-1-aln a. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1 1 1.设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1 1 ?2 解:(1)f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a. 2 ? 当 x∈? ?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 2? 2 2 1 f′? ?3?=9+2a.令9+2a>0,得 a>-9. 2 1 ? 所以当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间, 9 2 ? ? 1 ? 即 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间时,a 的取值范围为?-9,+∞?. 1- 1+8a (2)令 f′(x)=0,得两根 x1= , 2 1+ 1+8a x2= , 2 所以 f′(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减, 在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 得 a=1,x2=2, 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 2. (2013· 晋中名校联考)已知函数 f(x)=ax2-ex(a∈R, e 为自然对数的底数), f′(x)是 f(x) 的导函数. (1)解关于 x 的不等式:f(x)>f′(x); (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=2ax-ex, f(x)-f′(x)=ax(x-2)>0. 当 a=0 时,无解; 当 a>0 时,解集为{x|x<0 或 x>2}; 当 a<0 时,解集为{x|0<x<2}. (2)设 g(x)=f′(x)=2ax-ex, 则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根. g′(x)=2a-ex, 当 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减,方程 g(x)=0 不可能有两个根; 当 a>0 时,由 g′(x)=0,得 x=ln 2a, 当 x∈(-∞,ln 2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x∈(ln 2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减. ∴当 g(x)max>0 时,方程 g(x)=0 才有两个根, e ∴g(x)max=g(ln 2a)=2aln 2a-2a>0,得 a> . 2 3.(2014· 广东六校联考)已知 f(x)=3x2-x+m,(x∈R),g(x)=ln x.
47

(1)若函数 f(x)与 g(x)的图像在 x=x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2)求当曲线 y=f(x)与 y=g(x)有公共切线时,实数 m 的取值范围; 1 ? (3)在(2)的条件下,求函数 F(x)=f(x)-g(x)在区间? ?3,1?上的最值(用 m 表示). 1 解:(1)∵f′(x)=6x-1,g′(x)= (x>0), x 1 由题意知 6x0-1= (x0>0),即 6x2 0-x0-1=0, x0 1 1 解得 x0= 或 x0=- , 2 3 1 又∵x0>0,∴x0= . 2 1? 1 (2)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)相切且在交点处有公共切线, 由(1)得切点横坐标为 , ∴f? ?2?= 2 1? 3 1 1 1 g? ?2?,∴4-2+m=ln 2,即 m=-4-ln 2,

1 数 形 结 合 可 知 , m> - - ln 2 时 , f(x) 与 g(x) 有 公 共 切 线 , 故 m 的 取 值 范 围 是 4

?-1-ln 2,+∞?. ? 4 ?
(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x, 1 故 F′(x)=6x-1- x 6x2-x-1 ?3x+1??2x-1? = = , x x 1 ? 当 x 变化时,F′(x)与 F(x)在区间? ?3,1?的变化情况如下表: 1 ?1,1? ?1,1? x 2 ?3 2? ?2 ? 0 F′(x) - + F(x) ? 极小值 ? 1? 又∵F? ?3?=m+ln 3, 1? F(1)=2+m>F? ?3?, 1 ? ∴当 x∈? ?3,1?时, 1? F(x)min=F? ?2? 1 1 ? =m+ +ln 2? ?m>-4-ln 2?, 4 F(x)max=F(1) 1 ? =m+2? ?m>-4-ln 2?. 第三课时 导数与函数的综合问题

48

利用导数研究生活中的优化问题 [典例] (2013· 重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设该蓄水池 的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建 造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. [解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为 160πr2 元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之 间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [针对训练] 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上 午 6 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 关系可近似地用如下函数给出: - t - t +36t- ,6≤t<9, ? 4 ? 8 4 y=?1 59 t+ ,9≤t≤10, 8 4 ? ?-3t +66t-345,10<t≤12,
2

考点一

13

32

629

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 解:①当 6≤t<9 时, 3 3 y′=- t2- t+36 8 2 3 =- (t+12)(t-8). 8 令 y′=0,得 t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0, 当 8<t<9 时,y′<0,
49

故 t=8 时,y 有最大值,ymax=18.75. 1 59 ②当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 8 4 故 t=10 时,ymax=16. ③当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, 故 t=11 时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点. 考点二 利用导数研究恒成立问题及参数求解

ln x [典例] (2014· 广东韶关阶段检测)已知函数 f(x)=ln x-x,h(x)= . x (1)求 h(x)的最大值; (2)若关于 x 的不等式 xf(x)≥-2x2+ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取 值范围. 1-ln x ln x [解] (1)因为 h(x)= (x>0),所以 h′(x)= ,由 h′(x)>0,且 x>0,得 0<x<e.由 x x2 h′(x)<0,且 x>0,得 x>e,所以函数 h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞), 1 所以当 x=e 时,h(x)取得最大值 . e 2 (2)因为 xf(x)≥-2x +ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 即 xln x-x2≥-2x2+ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 12 12 即 a≤ln x+x+ 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,设 φ(x)=ln x+x+ ,因为 φ′(x)= x x 2 x +x-12 ?x-3??x+4? = , x2 x2 故 φ(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,φ(x)min=φ(3)=7+ln 3,所以 a≤7+ln 3. [类题通法] 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求 函数在给定区间上的最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图 像,数形结合求解. [针对训练] 1 设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), ∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 若 x=0,则 f′(x)=0; 若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′(x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,所以 f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减. 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立. 故 m 的取值范围为(-∞,2-e2). 利用导数证明不等式问题 [典例] (2013· 河南省三市调研)已知函数 f(x)=ax-ex(a>0).
50

考点三

1 (1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)当 1≤a≤1+e 时,求证:f(x)≤x. 1 1 [解] (1)当 a= 时,f(x)= x-ex. 2 2 1 x f′(x)= -e ,令 f′(x)=0,得 x=-ln 2. 2 当 x<-ln 2 时,f′(x)>0; 当 x>-ln 2 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-ln 2),单调递减区间为(-ln 2,+∞). (2)证明:法一:令 F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x, (ⅰ)当 a=1 时,F(x)=ex>0, ∴f(x)≤x 成立. - (ⅱ)当 1<a≤1+e 时,F′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a 1), ∴当 x<ln(a-1)时,F′(x)<0; 当 x>ln(a-1)时,F′(x)>0, ∴F(x)在(-∞,ln (a-1))上单调递减,在(ln(a-1),+∞)上单调递增. - ∴F(x)≥F(ln(a-1))=eln(a 1)-(a-1)· ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)], ∵1<a≤1+e, ∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0, ∴F(x)≥0,即 f(x)≤x 成立. 综上,当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x. 法二:令 g(a)=x-f(x)=-xa+x+ex, 只要证明 g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立即可. g(1)=-x+x+ex=ex>0, ① g(1+e)=-x· (1+e)+x+ex=ex-ex, 设 h(x)=ex-ex,则 h′(x)=ex-e, 当 x<1 时,h′(x)<0;当 x>1 时,h′(x)>0, ∴h(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=e1-e· 1=0, 即 g(1+e)≥0. ② 由①②知,g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立. ∴当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x. [类题通法] 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)=f(x) -g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数 h(x)>0,其中一个重要技巧就是 找到函数 h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口. [针对训练] 已知 f(x)=xln x. f?x?+k (1)求 g(x)= (k∈R)的单调区间; x (2)证明:当 x≥1 时,2x-e≤f(x)恒成立. k 解:(1)g(x)=ln x+ , x x-k ∴令 g′(x)= 2 =0 得 x=k. x ∵x>0,∴当 k≤0 时,g′(x)>0. ∴函数 g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间; 当 k>0 时 g′(x)>0 得 x>k;g′(x)<0 得 0<x<k, ∴单调递增区间为(k,+∞),单调递减区间为(0,k). (2)证明:设 h(x)=xln x-2x+e(x≥1), 令 h′(x)=ln x-1=0 得 x=e, h(x),h′(x)的变化情况如下:
51

x h′(x) h(x) 故 h(x)≥0.即 f(x)≥2x-e.

1 -1 e-2

(1,e) - ?

e 0 0

(e,+∞) + ?

[课堂练通考点] 1.(2014· 宝鸡一模)已知函数 f(x)=x3-ax-1,若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 a 的取值 范围为( ) A.a≥3 B.a>3 C.a≤3 D.a<3 解析:选 A ∵f′(x)=3x2-a,又 f(x)在(-1,1)上单调递减; ∴f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立, 即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立. ∴a≥3x2 在(-1,1)上恒成立,又 0≤3x2<3, ∴a≥3. 经验证当 a=3 时,f(x)在(-1,1)上单调递减. 2.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖 的盒子,则盒子容积的最大值为( ) A.12 cm3 B.72 cm3 3 C.144 cm D.160 cm3 解析:选 C 设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm.则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2 +160x(0<x<5), ∴y′=12x2-104x+160. 20 令 y′=0,得 x=2 或 (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144 (cm3). 3.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 解析:令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2,极 小值为 f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 答案:(-2,2) ln x 4.(2013· 北京高考)设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. x (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 1-ln x ln x 解:(1)设 f(x)= ,则 f′(x)= . x x2 所以 f′(1)=1,即 L 的斜率为 1. 又 L 过点(1,0),所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(? x>0,x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x) x2-1+ln x = . x2 当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. [课下提升考能]
52

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1? 1.(2014· 宜昌模拟)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax? ?a>2?,当 x∈(- 2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于( ) 1 1 A. B. 4 3 1 C. D.1 2 解析:选 D 由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= , x a 1 1 当 0<x< 时,f′(x)>0;当 x> 时,f′(x)<0. a a 1 ? ∴f(x)max=f? ?a?=-ln a-1=-1,解得 a=1. 2.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实 数 t 的最小值是( ) A.20 B.18 C.3 D.0 解析:选 A 因为 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以-1,1 为函数的极值点. 又 f(-3)=-19, f(-1)=1, f(1)=-3, f(2)=1, 所以在区间[-3,2]上 f(x)max =1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小 值是 20. 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b, 若 a<b,则必有( ) A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 解析:选 A ∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, xf′?x?-f?x? -2f?x? f?x? ∴? ?′= ≤ 2 ≤0. x2 x ? x? f?x? f?a? f?b? 则函数 在(0,+∞)上是单调递减的,由于 0<a<b,则 ≥ .即 af(b)≤bf(a). x a b 4.(2013· 山西诊断)设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)= -x0, 则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”, 也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”, 若函数 f(x) 5 =ax2-3x-a+ 在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数 a 的取值范围是( ) 2 1? A.(-∞,0) B.? ?0,2? 1 1? ? C.? D.? ?2,+∞? ?-∞,2? 5 解析:选 D 设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x∈[1,4],使 g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+ 2 4 x - 5 4 x - 5 1 5 =0.当 x=1 时, g(1)= ≠0; 当 x≠1 时, 由 ax2-2x-a+ =0 得 a= 2 .记 h(x)= 2 2 2 2?x -1? 2?x -1? -2x2+5x-2 1 (1<x≤4),则由 h′(x)= =0 得 x=2 或 x= (舍去).当 x∈(1,2)时,h′(x)>0; 2 ?x2-1?2 当 x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数 h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当 x=2 1? 1 时,h(x)取得最大值,最大值是 h(2)= ,故满足题意的实数 a 的取值范围是? ?-∞,2?,选 2 D. 1 39 5.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= x3- x2-40x(x>0),为使耗电量最 3 2 小,则速度应定为________. 解析:由 y′=x2-39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40,
53

由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值. 答案:40 6.函数 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围是________. 解析:f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,即函数 f(x)恰有两个极值点,即 f′(x)=0 有两个 不等实根. ∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1. 要使 f′(x)=0 有两个不等实根,则 a<0. 答案:(-∞,0) a 7.已知函数 f(x)=ln x- . x (1)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; (2)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. a (2)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2. x 又 x>0,∴a>xln x-x3. 令 g(x)=xln x-x3, h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2, 1-6x2 1 h′(x)= -6x= . x x ∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g(1)=-1, ∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立. 8.(2014· 泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(6<x<11),年销售为 u 万 21?2 585 件,若已知 -u 与? ?x- 4 ? 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. 8 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 21?2 585 解:(1)设 -u=k? ?x- 4 ? , 8 ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件, 21?2 585 ∴ -28=k? ?10- 4 ? ,解得 k=2. 8 21 585 x- ?2+ =-2x2+21x+18. ∴u=-2? 4 ? ? 8 ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11). (2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9). 令 y′=0,得 x=2(舍去)或 x=9, 显然,当 x∈(6,9)时,y′>0; 当 x∈(9,11)时,y′<0. ∴函数 y=-2x3+33x2-108x-108 在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135, ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x+ax(a∈R).
54

(1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=x2-4x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围. 1 ax+1 解:(1)f′(x)=a+ = (x>0). x x ①当 a≥0 时,由于 x>0,故 ax+1>0,f′(x)>0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 1 ②当 a<0 时,由 f′(x)=0,得 x=- . a 1 ? ? 1 ? 在区间? ?0,-a?上,f′(x)>0,在区间?-a,+∞?上, 1? f′(x)<0,所以函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,-a?, 1 ? 单调递减区间为? ?-a,+∞?. 综上所述,当 a≥0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞), 1? 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为? ?0,-a?, 1 ? 单调递减区间为? ?-a,+∞?. (2)由题意得 f(x)max<g(x)max,而 g(x)max=2, 由(1)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. 1? ? 1 ? 当 a<0 时,f(x)在? ?0,-a?上单调递增,在?-a,+∞?上单调递减, 1? ? 1? 故 f(x)的极大值即为最大值, f? 所以 2>-1-ln(-a), ?-a?=-1+ln?-a?=-1-ln(-a), 1 解得 a<- 3. e 1? 故 a 的取值范围为? ?-∞,-e3?. f′?1? x 1 2.(2014· 江南十校高三联考)已知函数 f(x)= · e -f(0)· x+ x2(e 是自然对数的底数). e 2 (1)求函数 f(x)的解析式和单调区间; 1 (2)若函数 g(x)= x2+a 与函数 f(x)的图像在区间[-1,2]上恰有两个不同的交点, 求实数 a 2 的取值范围. f′?1? x 解:(1)由已知得 f′(x)= e -f(0)+x, e 令 x=1,得 f′(1)=f′(1)-f(0)+1, 即 f(0)=1. f′?1? 又 f(0)= ,所以 f′(1)=e. e 1 从而 f(x)=ex-x+ x2. 2 显然 f′(x)=ex-1+x 在 R 上单调递增且 f′(0)=0, 故当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0), 单调递增区间是(0,+∞). (2)由 f(x)=g(x)得 a=ex-x. 令 h(x)=ex-x,则 h′(x)=ex-1. 由 h′(x)=0 得 x=0. 所以当 x∈(-1,0)时,h′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,h′(x)>0. ∴h(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增.
55

1 又 h(0)=1,h(-1)=1+ ,h(2)=e2-2 且 h(-1)<h(2). e 1? ∴两个图像恰有两个不同的交点时,实数 a 的取值范围是? ?1,1+e?. 3.(2014· 宁波月考)已知 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. 1 ? (1)如果函数 g(x)的单调递减区间为? ?-3,1?,求函数 g(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图像在点 P(-1,1)处的切线方程; (3)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 ? 解:(1)g′(x)=3x2+2ax-1,由题意得 3x2+2ax-1<0 的解集是? ?-3,1?, 1 即 3x2+2ax-1=0 的两根分别是- ,1. 3 1 将 x=1 或 x=- 代入方程 3x2+2ax-1=0,得 a=-1. 3 ∴g(x)=x3-x2-x+2. (2)由(1)知,g′(x)=3x2-2x-1, ∴g′(-1)=4,∴点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4, ∴函数 y=g(x)的图像在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1=4(x+1),即 4x-y+5=0. (3)∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,即 2xln x≤3x2+2ax+1 对 x ∈(0,+∞)上恒成立. 3x 1 可得 a≥ln x- - 在 x∈(0,+∞)上恒成立. 2 2x 3x 1 令 h(x)=ln x- - , 2 2x 1 3 1 则 h′(x)= - + 2 x 2 2x ?x-1??3x+1? =- . 2x2 1 令 h′(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍). 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0; 当 x>1 时,h′(x)<0. ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值, h(x)max=h(1)=-2, ∴a≥-2. ∴a 的取值范围是[-2,+∞).

“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范

[技法概述] 解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误,而解题的思维过程大多都是 围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,可以转换 角度,达到解决问题的目的. [适用题型] 高考中有以下几类解答题用到此种审题方法: 1.研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题; 2.一些不等式恒成立问题常转换求函数的最值; 3.圆锥曲线中的定点问题,常转换先求直线方程. [典例] (2013· 陕西高考,节选)(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程;
56

1 (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点. 2

[解题流程] 第一步 利用斜率求切线 方程

[失分警示] g?x?=ln x?x>0?,设所求切 不说明两曲 ? 解:?1?f?x?的反函数为 1 ? ? 线的斜率为k,∵g′?x?=x ,∴k=g′?1?=1,于是在 线 公 共 点 的 个 数 ? 等于函数零点个 ?点?1,0?处切线方程为y=x-1.??2分?

第二步 构造新函数,将公 共点转化为零点 第三步 求零点

? ?2?证明:曲线y=e 与y=2x +x+1公共 ? 1 ? ?的个数等于函数φ?x?=e -2x -x-1 ?零点的个数.??4分?
x 2 x 2

1

数,步骤不规范.

想不到第二 次求导即构造新 函 数 h(x) 导致 解 题中断. 不 说 明 φ′(x) 有最小值 0 导致扣分.

?? ?∴φ?x?存在零点x=0.??5分?

?

∵φ?0?=1-1=0,

第四步 求函数的导函数 并判断其单调性 进而求极值(最值)

?令h?x?=φ′?x?=e -x-1, ?则h′?x?=e -1, ?当x<0时,h′?x?<0, ??∴φ′?x?在?-∞,0?上单调递减; x>0时,h′?x?>0, ?当 ∴φ′?x?在?0,+∞?上单调递增.??8分? ?∴φ′?x?在x=0有唯一的极小值φ′?0?=0, ?即φ′?x?在R上的最小值为φ′?0?=0.
x x

又φ′?x?=ex-x-1,

第五步

∴φ′?x?≥0?仅当x=0时等号成立?, 利用极值(最值)判 ?在 上是单调递增的, ? ∴φ?xa 1.(2013· 兰州调研)已知实数 >0R ,函数 f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值 32. 断零点个数即交 (1)求函数 f(x)的单调区间; ∴φ?x?在R上有唯一的零点, (2)求实数 a 的值.s 点个数 1 2 故曲线 ?? 解:(1)f(x)=ax3- 4ax2+ 4ax, y=f?x?与y=2x +x+1有唯一的公共点.??12分? ? 第六步 f′(x)=3ax2-8ax+4a. 令 f′(x)=0,得 3ax2-8ax+4a=0. 得出结论

? ? ?

57

2 ∵a>0,∴3x2-8x+4=0,∴x= 或 x=2. 3 2 ? ∴当 x∈? ?-∞,3?或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. 2 -∞, ?和(2,+∞); ∴函数 f(x)的单调递增区间为? 3? ? 2 ? ∵当 x∈? ?3,2?时,f′(x)<0, 2 ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?3,2?. 2? (2)∵当 x∈? ?-∞,3?时,f′(x)>0; 2 ? 当 x∈? ?3,2?时,f′(x)<0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 2 ∴f(x)在 x= 时取得极大值, 3 2 2 ?2 -2 =32. 即 a· ? 3?3 ? ∴a=27. 2.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.(注:e 为自然对数的底数.) 解:(1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a>0,所以 f(x)的递增区间为(0,a),递减区间为(a,+∞). (2)要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,则 f(1)≥e-1,得 a-1≥e-1,a≥e,由(1) 知 f(x)在[1,e]内递增, ? ?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e , ? 解得 a=e. 3.(2013· 成都模拟)已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; 5 (2)若关于 x 的方程 f(x)=- x+b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解, 求实数 b 的取值 2 范围. 1 解:(1)∵f′(x)= -2x-1, x+a 又函数 f(x)在 x=0 处取得极值, 1 ∴f′(0)= -1=0,得 a=1. a (2)由(1)知 f(x)=ln(x+1)-x2-x. 5 3 令 g(x)=f(x)+ x-b=ln(x+1)-x2+ x-b, 2 2 1 3 -?4x+5??x-1? x∈(-1,+∞),则 g′(x)= -2x+ = . 2 x+1 2?x+1? 令 g′(x)=0 得 x=1. 此时 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表: x 1 (-1,1) (1,+∞) 0 g′(x) + - g(x) ? 极大值 ? ∴当 x=1 时,g(x)取得极大值也是最大值.
58

由题设可知函数 g(x)在区间[0,2]上有两个不同的零点, 1 g?1?>0, ln 2+ -b>0, ? 2 ? g ? 0 ? ≤ 0 , ∴? 即 -b≤0,

? ?g?2?≤0,

? ? ? ? ?ln 3-1-b≤0,

1 解得 ln 3-1≤b<ln 2+ , 2 1 ln 3-1,ln 2+ ?. ∴b 的取值范围是? 2? ?

59


2第二章 函数、导数及其应用 - 副本

2第二章 函数导数及其应用 - 副本_数学_高中教育_教育专区。零诊复习使用(全套) 第二章 函数导数及其应用 第一节 函数及其表示 1.函数映射的概念 函数 两...

2第二章 函数、导数及其应用

2第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。零诊复习使用(全套) 第二章 函数导数及其应用 第一节 函数及其表示 1.函数映射的概念 函数 两集合 A,...

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值 1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<...

2-1第二章 函数导数及其应用

2-1第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2-1第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。课后课时作业 ...

第二章 函数、导数及其应用

第1 页 共 171 页 第二章? ? 函数导数及其应用第一节 函数及其表示 ? 1.函数与映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 F:A→B 设 A,B 是两个非...

2-4第二章 函数、导数及其应用

2-4第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。课后课时作业 [A 组· 基础达标练] 1. [2016· 泰安阶段检测]若幂函数 y=(m2-3m+3)· xm 不过...

2-5第二章 函数、导数及其应用

2-5第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。课后课时作业 [A 组· 基础达标练] 1.化简[(-2)6] A.-9 C.-10 答案 解析 B 原式=(26) 1...

2-3第二章 函数、导数及其应用

2-3第二章 函数、导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。课后课时作业 [A 组· 基础达标练] 1.[2016· 大连双基]已知函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,...

2-9第二章 函数、导数及其应用

2-9第二章 函数导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。课后课时作业 [A 组· 基础达标练] 1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的 ...