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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4

时间:2016-11-07


2.2.2

向量减法运算及其几何意义

一、教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握 向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反 向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量 减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过 阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间 的相互转化、 相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了 数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识. 二、教学目标: 1、知识与技能: 了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意 义。 2、过程与方法: 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量减法运算及其几何意义, 并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法。 3、情感态度与价值观: 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算, 使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想。 三、重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 四、学法指导 减法运算是加法运算的逆运算, 学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握 向量的减法运算;并利用三角形做出减向量。 五、教学设想 (一)导入新课 思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方 法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算 :减去一个数等于加上这个数的相 反数. 向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法 的逆运算——减法.引导学生去探究、发现. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①向量 是否有减法? ②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念? ③如何理解向量的减法? ④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则 ,那么,向量的减法是否也有类似的 法则? 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算 ,数的减法定义即减去一个数等于加上这 个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法 运算也可定义为向量加法运算的逆运算 .可类 比数的减法运算,我们定义向量的减法运算 ,
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也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a 和-a 互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定 ,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形 法则

图1 如图 1,设向量 AB =b, AC =a,则 AD =-b,由向量减法的定义,知 AE =a+(-b)=a-b. 又 b+ BC =a,所以 BC =a-b. 由此,我们得到 a-b 的作图方法.

图2 (2)三角形法则 如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则 BA =a-b,即 a-b 可以表示 为从 b 的终点指向 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与 数 x 的相反数是-x 类似,我们规定,与 a 长度相等,方向相反的量,叫做 a 的相反向量, 记作-a. ③向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义 所在,是数形结合思想的重要体现. 提出问题 ①上图中,如果从 a 的终点到 b 的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量 a、b 的方向使 a∥b,怎样作出 a-b 呢? 讨论结果:① AB =b-a. ②略.

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(三)应用示例 如图 3(1),已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d.

图3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点 拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作 法 : 如 图 3(2), 在 平 面 内 任 取 一 点 O, 作 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d. 则

BA =a-b, DC =c-d.
变式训练 (2006 上海高考) 在 A. AB = DC ABCD 中,下列结论中错误的是( B.AD+ AB = AC ) D.AD+ BC =0

C. AB -AD=BD

分 析 :A 显 然正 确 , 由 平行 四 边形 法 则可 知 B 正确 ,C 中 , AB - AD = BD 错 误 ,D 中, AD + BC = AD + DA =0 正确. 答案:C

例 2 如图 4,

ABC D 中, AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示向量 AC 、 DB 吗?

图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础. 要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 AC =a+b, 同样,由向量的减法,知 DB = AB - AD =a-b. 变式训练 1.(2005 高考模拟) 已知一点 O 到 向量 OD 等于( A.a+b+c ) B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c ABCD 的 3 个 顶点 A 、B、C 的向量分别是 a、b、c,则

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图5 解析:如图 5,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c, 结合图形有 OD = OA + AD = OA + BC = OA + OC - OB =a-b+c. 答案:B 2.若 AC =a+b, DB =a-b . ①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直? ②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角 ? ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗?

图6 解析:如图 6,用向量构建平行四边形,其中向量 AC 、 DB 恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得

AC =a+b, DB = AB - AD =a-b.
由此问题就可转换为: ①当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直?(|a|=|b|) ②当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线相等?(a、b 互相垂直) ③当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线平分内角?(a、b 相等) ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗?(不可能 ,因为对角线方向不同)? 点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向 量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解 题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟. 例 3 判断题: (1)若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,则 a+b 的方向必与 a、b 之一的方向相同. (2)△ABC 中,必有 AB + BC + CA =0. (3)若 AB + BC + CA =0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)|a+b|≥|a-b|. 活动:根据向量的加、减法及其几何意义. 解:(1)a 与 b 方向相同,则 a+b 的方向 与 a 和 b 方向都相同; 若 a 与 b 方向相反,则有可能 a 与 b 互为相反向量, 此时 a+b=0 的方向不确定,说与 a、b 之一方向相同不妥.

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(2)由向量加法法则 AB + BC = AC , AC 与 CA 是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当 A、B、C 三点共线时也有 AB + BC + AC =0,而此时构不成三角形. (4)当 a 与 b 不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两条对角 线的长,其大小不定. 当 a、b 为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|; 当 a、b 中有零向量时,|a+b|=|a-b|. 综上所述,只有(2)正确.

例 4 若| AB |=8,| AC |=5,则| BC |的取值范围是( A.[3,8] D.(3,13) 解析: BC = AC - AB . (1)当 AB 、 AC 同向时,| BC |=8-5=3; (2)当 AB 、 AC 反向时,| BC |=8+5=13; (3)当 AB 、 AC 不共线时,3<| BC |<13. 综上,可知 3≤| BC |≤13. B.(3,8)

) C.[3,13]

答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解. 变式训练 已知 a、 b、 c 是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三 角形的充要条件为 a+b+c=0. 证明:已知 a≠0,b≠0,c≠0,且 a b,b c,c a,

(1)必要性:作 AB =a, BC =b,则由假设 CA =c, 另一方面 a+b= AB + BC = AC . 由于 CA 与 AC 是一对相反向量 , ∴有 AC + CA =0, 故有 a+b+c=0. (2)充分性:作 AB =a, BC =b,则 AC =a+b,又由条件 a+b+c=0, ∴ AC +c=0.等式两边同加 CA ,得 CA + AC +c= CA +0.

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∴c= CA ,故顺次将向量 a、b、c 的终点和始点相连接成一三角形. (四)课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义, 向量差的作图. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. ( 五)作业

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