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2015-2016学年陕西省渭南市临渭区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年陕西省渭南市临渭区高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 =( ) A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i 2.已知 A A.7 =7A C.9 ,则 n

的值为( D.10 ) )

B.8

3.定积分 A.0 B.1+

(cosx+ex)dx 的值为( C.1+ D.1﹣

4.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有( ) A.36 种B.48 种 C.96 种 D.192 种 5.设 E(X)=10,E(Y)=3,则 E(3X+5Y)=( A.45 B.40 C.30 D.15 6.用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2+…+22+12=



,第二步证明由 n=k 到 n=k+1

时,左边应加( ) 2 2 A.k B. D. (k+1) C.k2+(k+1)2+k2 (k+1)2+k2 7.若函数 y=﹣x3﹣1 的图象是曲线 C,过点 P(1,﹣2)作曲线 C 的切线,则切线的方程 为( ) A.3x﹣y﹣1=0 B.4x+y﹣2=0 C.3x+y﹣1=0 或 3x+4y+5=0 D.2x+y=0 8.若 f(x)= ,0<a<b<e 则有( )

A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 9.某种动物从出生起活到 20 岁的概率为 0.8,从出生起活到 25 岁的概率为 0.4,现有一个 20 岁的这种动物,它能活到 25 岁的概率为( ) A.0.4 B.0.5 C.0.32 D.0.2 10.已知函数 f(x)=xsinx+cosx,则 A. B.0 C.﹣1 D.1 ) 的值为( )

11.曲线 y=x+ x3 在点(1, )处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( A.3 B.2 C. D.

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12.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,其导函数为 f′(x) ,对任意正实数 x 满足 xf′(x) >f(x) ,且 f(2)=0.且不等式 f(x)<0 的解集为( ) A. C. (0,2) B. (2,+∞) (0,1) D. (1,+∞) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分.、共 25 分. 13.设 z∈C,且(1﹣i)z=2i(i 是虚数单位) ,则|z|= 14.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a= . .



15.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)= 16.若(1+ )5=a+b (a,b 为有理数) ,则 a+b= 2 6 17.在(x ﹣2x) (1+x) 的展开式中,含 x3 项的系数为 . .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.从 4 名男同学中选出 2 人,6 名女同学中选出 3 人,并将选出的 5 人排成一排. (1)共有多少种不同的排法? (2)若选出的 2 名男同学不相邻,共有多少种不同的排法?(用数字表示) 19.求下列各值. (1)若( + )n 的展开式中第 9 项与第 10 项的二项式系数相等,求 x 的一次项系数;

(2)已知(2x﹣1)7=a0x7+a1x6+a2x5+…+a7,求 a1+a3+a5+a7 的值. 20.已知 f(x)=ax4+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程是 y=x﹣2. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. 21.为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人 士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) .某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 是省外游客, 其余是省内游客. 在 省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡. (Ⅰ)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分 布列及数学期望 Eξ. 22.已知函数 f(x)=x2+alnx. (1)当 a=﹣2e 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,2]上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年陕西省渭南市临渭区高二(下)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 =( ) A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z=i(3﹣2i)=2+3i,则 =2﹣3i, 故选:A.

2.已知 A A.7

=7A C.9

,则 n 的值为( D.10



B.8

【考点】排列及排列数公式. 【分析】根据排列数的公式,列出方程,求出 n 的值即可. 【解答】解:根据排列数的公式,得;



解得 n=7,或 n= ∴n 的值是 7. 故选:A.

(不合题意,应舍去) ;

3.定积分 A.0 B.1+

(cosx+ex)dx 的值为( C.1+ D.1﹣



【考点】定积分. 【分析】根据函数的积分公式进行化简求解即可. 【解答】解: 故选:D. 4.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有( ) A.36 种B.48 种 C.96 种 D.192 种
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(cosx+ex)dx=(sinx+ex)|

=sin0+e0﹣sin(﹣π)﹣e﹣π=1﹣



【考点】组合及组合数公式. 【分析】根据题意,先分析甲,有 C42 种,再分析乙、丙,有 C43?C43 种,进而由乘法原理 计算可得答案. 【解答】解;根据题意,甲、乙、丙 3 位同学选修课程, 从 4 门课程中,甲选修 2 门,有 C42 种, 乙、丙各选修 3 门,有 C43?C43 种, 则不同的选修方案共有 C42?C43?C43=96 种, 故选 C. 5.设 E(X)=10,E(Y)=3,则 E(3X+5Y)=( A.45 B.40 C.30 D.15 )

【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】利用离散型随机变量的数学期望的计算公式直接计算. 【解答】解:∵E(X)=10,E(Y)=3, ∴E(3X+5Y)=E(3X)+E(5Y) =3E(X)+5E(Y) =3×10+5×3 =45. 故选:A. 6.用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2+…+22+12=

,第二步证明由 n=k 到 n=k+1

时,左边应加( ) 2 2 A.k B. D. (k+1) C.k2+(k+1)2+k2 (k+1)2+k2 【考点】数学归纳法. 【分析】当 n=k 成立,当 n=k+1 时,写出对应的关系式,观察计算即可 【解答】解:在第二步证明时,假设 n=k 时成立,即左侧=12+22+32+…+k2+…+22+12, 则 n=k+1 成立时,左侧=12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12, ∴左边增加的项数是(k+1)2+k2, 故选:D. 7.若函数 y=﹣x3﹣1 的图象是曲线 C,过点 P(1,﹣2)作曲线 C 的切线,则切线的方程 为( ) A.3x﹣y﹣1=0 B.4x+y﹣2=0 C.3x+y﹣1=0 或 3x+4y+5=0 D.2x+y=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设出切点,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程,代入点 P 的坐标,解方程可得 m,进而得到所求切线的方程. 【解答】解:设切点为(m,﹣m3﹣1) , 3 2 函数 y=﹣x ﹣1 的导数为 y′=﹣3x , 可得切线的斜率为 k=﹣3m2, 切线的方程为 y+m3+1=﹣3m2(x﹣m) , 由切线经过点(1,﹣2) ,可得 3 2 ﹣2+m +1=﹣3m (1﹣m) ,
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解得 m=1 或﹣ ,即有切线的方程为 3x+y﹣1=0 或 3x+4y+5=0. 故选 C.

8.若 f(x)=

,0<a<b<e 则有(

) D.f(a)f(b)>1

A.f(a)>f(b)

B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b)

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求导数,令其小于 0,可解得函数在区间(0,e)上单调递增,由函数单调性的定 义可得答案. 【解答】解:∵f(x)= ,∴其导数 f′(x)= =

令 f′(x)>0,解得 0<x<e,即 f(x)= ∵0<a<b<e, ∴f(a)<f(b) 故选 C

在区间(0,e)上单调递增,

9.某种动物从出生起活到 20 岁的概率为 0.8,从出生起活到 25 岁的概率为 0.4,现有一个 20 岁的这种动物,它能活到 25 岁的概率为( ) A.0.4 B.0.5 C.0.32 D.0.2 【考点】条件概率与独立事件. 【分析】本题是一个条件概率,动物从出生起活到 20 岁为事件 B,从出生起活到 25 岁的为 A 发生的概率等于 A 与 B 都发生的概率除以 B 发生的概率. 事件 A. 即在 B 发生的情况下, 根 据条件概率的公式得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个条件概率, 动物从出生起活到 20 岁为事件 B,从出生起活到 25 岁的为事件 A. 即在 B 发生的情况下,A 发生的概率等于 A 与 B 都发生的概率除以 B 发生的概率. 此处为在活到 20 岁后,活到 25 岁的概率 故选 B. =0.5

10.已知函数 f(x)=xsinx+cosx,则 A. B.0 C.﹣1 D.1

的值为(



【考点】导数的加法与减法法则. 【分析】对 f(x)求导,代入数值计算即可. 【解答】解:∵f(x)=xsinx+cosx, ∴f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx, ∴f′( )= ×cos =0;

故选:B.
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11.曲线 y=x+ x3 在点(1, )处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( A.3 B.2 C. D.



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求得函数的导数,可得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程,分别令 x=0, y=0,求得与坐标轴的交点,由三角形的面积公式计算即可得到所求值. 【解答】解:y=x+ x3 的导数为 y′=1+x2, 可得曲线在点(1, )处的切线斜率为 k=2, 即有在点(1, )处的切线方程为 y﹣ =2(x﹣1) , 令 x=0,可得 y=﹣ ;y=0,可得 x= . 则切线和坐标轴围成的三角形的面积为 × × = . 故选:D. 12.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,其导函数为 f′(x) ,对任意正实数 x 满足 xf′(x) >f(x) ,且 f(2)=0.且不等式 f(x)<0 的解集为( ) A. C. (0,2) B. (2,+∞) (0,1) D. (1,+∞) 【考点】导数的运算. 【分析】通过已知条件,构造分数函数的导数,判断函数的单调性,通过 f(2)=0,求出 不等式的解集即可. 【解答】解:因为 xf′(x)>f(x) ,所以 即 F(x)= =[xf′(x)﹣f(x)] =0, ,

在定义域内递增函数,又因 F(2)= <0 的解集,

则不等式 f(x)<0 的解集就是不等式 即为 F(x)<F(2)的解集, 解得{x|0<x<2}. 故选 A.

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分.、共 25 分. 13.设 z∈C,且(1﹣i)z=2i(i 是虚数单位) ,则|z|= . 【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算,求出复数 z,然后求解复数的模. 【解答】解:∵(1﹣i)z=2i, ∴z= ∴|z|= = = =﹣1+i, ,
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故答案为:



14.若函数 f(x)=

在 x=1 处取极值,则 a= 3 .

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】先求出 f′(x) ,因为 x=1 处取极值,所以 1 是 f′(x)=0 的根,代入求出 a 即可. 【解答】解:f′(x)= 因为 f(x)在 1 处取极值, 所以 1 是 f′(x)=0 的根, 将 x=1 代入得 a=3. 故答案为 3 = .

15.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)=



【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】结合方差的计算公式可知,应先求出 P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,根据已知条件结合分布 列的性质和期望的计算公式不难求得. 【解答】解析:设 P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得 p+q= , 解得 所以 故答案为: 16.若(1+ )5=a+b (a,b 为有理数) ,则 a+b= 【考点】二项式定理的应用. 【分析】利用二项式定理展开即可得出. 【解答】解:∵ = ∴a=61,b=9. ∴a+b=70. 故答案为:70. 17.在(x2﹣2x) (1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为 ﹣24 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 含 x3 的项可分成前式取 x2 项后式取 x 项和前式取 x 项后式取 x2 项, 根据二项式展 开式的通项求出分别求出所需系数即可. 【解答】解:含 x3 的项可分成前式取 x2 项后式取 x 项和前式取 x 项后式取 x2 项 前式二项式展开式的通项为 Tr+1=C6rxr
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, .

70 .

= =61+ =

+ ,a,b 为有理数,

所以含 x3 的项的系数是 C61﹣2C62=﹣24 故答案为:﹣24. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.从 4 名男同学中选出 2 人,6 名女同学中选出 3 人,并将选出的 5 人排成一排. (1)共有多少种不同的排法? (2)若选出的 2 名男同学不相邻,共有多少种不同的排法?(用数字表示) 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】 (1)从 4 名男生中选出 2 人,有 C42 种结果,从 6 名女生中选出 3 人,有 C63 种结 果,根据分步计数原理知选出 5 人,再把这 5 个人进行排列,写出结果. (2)由题意知本题是一个分步计数原理,在选出的 5 个人中,若 2 名男生不相邻,则第一 步先排 3 名女生,第二步再让男生插空,根据分步原理得到结果. 【解答】解: (1)从 4 名男生中选出 2 人,有 C42 种结果, 从 6 名女生中选出 3 人,有 C63 种结果, 根据分步计数原理知选出 5 人,再把这 5 个人进行排列共有 C42C63A55=14400 (2)在选出的 5 个人中,若 2 名男生不相邻, 则第一步先排 3 名女生,第二步再让男生插空, 根据分步计数原理知共有 C42C63A33A42=8640. 答: (1)共有 14400 种不同的排列法. 2 ( )选出的 2 名男同学不相邻,共有 8640 种不同的排法 19.求下列各值. (1)若( + )n 的展开式中第 9 项与第 10 项的二项式系数相等,求 x 的一次项系数;

(2)已知(2x﹣1)7=a0x7+a1x6+a2x5+…+a7,求 a1+a3+a5+a7 的值. 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (1)根据第 9 项与第 10 项的二项式系数相等,建立等式,求出 n 的值,根据通项 可求满足条件的系数. (2)可分别令 x=1 与 x=﹣1,得到的二式联立,即可求得 a1+a3+a5+a7 的值. 【解答】解: (1)∵Cn8=Cn9, ∴n=17, ∴Tr+1=C17rx 令 ﹣ =1, 2r,

解得 r=9, ∴T10=C179x29, ∴x 的一次项系数 C179?29; (2)令 f(x)=(2x﹣1)7, ∴f(﹣1)=﹣a0+a1﹣a2+…+a7, f(1)=a0+a1+a2+…+a7, ∴a1+a3+a5+a7= = =﹣1093.
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20.已知 f(x)=ax4+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程是 y=x﹣2. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)先根据 f(x)的图象经过点(0,1)求出 c,然后根据导数的几何意义求出函 数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切线的斜率,建立一等量关系,再根据切点在曲线上 建立一等式关系,解方程组即可; (2)首先对 f(x)= ﹣
2

+1 求导,可得 f'(x)=10x3﹣9x,令 f′(x)>0 解之即可

求出函数的单调递增区间. 【解答】解: (1)f(x)=ax4+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,则 c=1, 3 f'(x)=4ax +2bx,k=f'(1)=4a+2b=1 切点为(1,﹣1) ,则 f(x)=ax4+bx2+c 的图象经过点(1,﹣1) , 得 a+b+c=﹣1,得 a= ,b=﹣ f(x)= ﹣
2

+1 <x<0,或 x> ,+∞)

(2)f'(x)=10x3﹣9x>0,﹣ 单调递增区间为(﹣ ,0) , (

21.为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人 士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) .某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 是省外游客, 其余是省内游客. 在 省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡. (Ⅰ)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分 布列及数学期望 Eξ. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 【分析】 (Ⅰ)由题意得,境外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;境内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.记出事件,表示出事件的概率,根据互斥事件的概率公式,得到结论. (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出其对应的概率,能得到 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”, 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡”, 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”. P(B)=P(A1)+P(A2)

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=

+

=

=

. .…

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3, ,





, 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 P 所以 22.已知函数 f(x)=x2+alnx. (1)当 a=﹣2e 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,2]上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)a=﹣2e 时,求出 f′(x) ,利用 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况可求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)问题转化为 a≥ ﹣2x2 在[1,2]恒成立,根据函数的单调性求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=﹣2e 时,f′(x)=2x﹣ = , .…

1

2

3

当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下: x (0, ) ( ,+∞) f'(x) 0 ﹣ + f(x) 极小值 ∴f(x)的单调递减区间是(0, ) ;单调递增区间是( ,+∞) ,
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∴极小值是 f(

)=0,无极大值;

(2)g(x)=x2+alnx+ ,x>0, g′(x)=2x+ ﹣ ,

∵函数 g(x)在[1,2]上是单调增函数, ∴g′(x)≥0 在[1,2]恒成立, 即 a≥ ﹣2x2 在[1,2]恒成立, 令 h(x)= ﹣2x2,h′(x)=﹣ ∴h(x)在[1,2]单调递减, ∴h(x)max=h(1)=0, ∴a≥0. ﹣4x<0 在[1,2]恒成立,

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2016 年 8 月 20 日

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