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2012年哈三中二模理科数学

时间:2012-04-19


2012 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

理 科 数 学
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 考试说明 时间 120 分钟。 (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5

毫米黑色字迹的签字 笔书写,字体工整、字迹清楚。 (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效,在草稿纸、试题卷上答题无效。 (4)保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。 参考公式:圆锥侧面积 S = π rl 。

第 I 卷(选择题 共 60 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的。 ) 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z =

i ,则复平面内表示 z 的点位于 2 ? 3i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.集合 P = x ∈ Z | y = 1 ? x 2 , Q = { y ∈ R | y = cos x, x ∈ R} ,则 P I Q = A.P
2

{

}

B.Q

C. {?1,1}

D. {0,1}

3.二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x4 的项的系数为
5

1 x

A.5 C.-5

B.10 D.-10

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 A.3 C. B.

3 2

3 4 1 D. 2

5.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内应为 A.k > 4? B.k > 5? C.k > 6? D.k > 7? 6 . 已 知 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 且 a1 + a3 + a17 = 4π , 则

cos(a2 + a12 ) =
A.

3 2
1 2

B. ? D. ?

3 2
1 2

C.

7.已知椭圆的中心为原点,离心率 e =

3 ,且它的一个焦点与 2

抛物线 x 2 = ?4 3 y 的焦点重合,则此椭圆方程为

A.

x2 + y2 = 1 4
2

B.

x2 y 2 + =1 4 16

y2 C. x + =1 4

x2 y 2 D. + =1 16 4
6 5 3 2

8. 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 0 < x < 1 时, f ( x ) = lg x 。 a = f ( ) ,b = f ( ) , 当 设

5 c = f ( ) ,则 2
A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b

9.函数 f ( x ) = (sin x + cos x) 2 ? 2 cos 2 x ? m 在 [0, A. [ ?1,1] B. [1, 2]
2 n ?1

π
2

] 上有零点,则实数 m 的取值范围是
D. [ ? 2,1]

C. [ ?1, 2]

10. 数列 {an } 满足 a1 + 2a2 + 2 a3 + ... + 2 A. ( )

an =

1 2

55

B. 1 ? ( )

1 2

10

n (n ∈ N * ) ,则 a1a2 a3 ...a10 = 2 1 9 1 60 C. 1 ? ( ) D. ( ) 2 2

11.已知点 P 是双曲线右支上的一点,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,I 是 ? PF1F2 的

内心, S ?IPF 1 = S ?IPF 2 + λ S ?IF 1F 2 成立,则 λ =

A.

a2 + b2 2a

B.

a a2 + b2

C.

b a

D.

a b

12.若直角坐标平面内 P、Q 两点满足条件:①点 P、Q 都在函数 f ( x ) 的图象上;②点 P、 Q 关于原点对称,则称(P、Q)是函数 f ( x ) 的一个“和谐点对”(点对(P、Q)与(Q、P)

? x 3 ??2 + ( x > 0) 可看做同一个“和谐点对”) 。已知函数 f ( x ) = ? ,则 f ( x ) 的“和谐点对”有 2 ?? x 2 ? 2 x( x ≤ 0) ?
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
小题, 将答案填在题后的横线上。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在题后的横线上。 填空题( ) 13.随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) , P (2 ≤ X ≤ 4) = 0.6826 ,则 P ( X > 4) = _______。 14.正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2,则侧棱与底面所成的角为__________。 15.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6, ,现定义数列 )

??1, (点数不是3的倍数) an = ? ,Sn 是其前 n 项和,则 S5=3 的概率是__________。 ?1 ,(点数是3的倍数)
16.已知 ? ABC,∠C=60°,AC=2,BC=1,点 M 是 ? ABC 内部或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,则 AN ? AM 的最大值为__________。 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题( ) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = M sin(ω x + ? ) + B ( M > 0, 0 < ω < 2,| ? |< 表: x y

uuur uuuu r

π
2

) 的一系列对应值如下

?

π
6

π
3
1

5π 6
3

4π 3
1

11π 6
-1

7π 3
1

17π 6
3

-1

(1)根据表格提供的数据求 y = f ( x) 的解析式;

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, cos A = f ( ) +

π

6

1 ,b=3c, 3

求 sin C 。

18. (本小题满分 12 分) 为了学生的全面发展,某中学在高一学年是推行“合理作业”(合理作业是指:放学后学 生每天完成作业的时间不超过两小时)活动。高一学年共有学生 2000 人,其中男生 1200 人,女生 800 人,为了调查 2012 年 3 月(按 30 天计算)学生“合理作业”的天数情况,通过 分层抽样的方法抽取了 40 人作为样本,统计他们在该月 30 天内“合理作业”的天数,并将所 得的数据分成以下六组: [0, 5] , (5,10] , (10,15] ,…, (25, 30] ,由此画出样本的频率分 布直方图,如图所示。 (1)求抽取的 40 人中男生、女生的人数; (2)在抽取的 40 人中任取 3 人,设 ξ 为取出 的三人中“合理作业”天数超过 25 天的人数,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ 。

19. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边 形 ABCD 是直角梯形, ∠ADC=90°, AD∥BC, AB⊥AC, AB=AC=2,G 为 ? PAC 重心,E 为 PB 的中点,F 在 BC 上,且 CF=2FB。 (1)求证:FG∥平面 PAB; (2)当 FG⊥平面 AEC 时,求二面角 P—CD—A 的 正切值。

20. (本小题满分 12 分) 过抛物线 x2=4y 上不同两点 A、 分别作抛物线的切线相交于点 P ( x0 , y0 ) , ? PB = 0 。 B PA (1)求 y0; (2)求证:直线 AB 恒过定点;
2 使 (3) (2) 设 中直线 AB 恒过定点 F, 是否存在实数 λ , FA ? FB + λ ( FP ) = 0 恒成立?

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu r

若存在,求出 λ 的值,若不存在,请说明理由。 。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln( x + 1) + (1)当 a =

a x+2

25 时,求 f ( x ) 的单调递减区间; 4

(2)若当 x > 0 时, f ( x ) > 1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: ln( n + 1) >

1 1 1 1 + + +L + (n ∈ N ? ) 3 5 7 2n + 1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 、 、 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, ⊙O 是 ? ABC 外接圆, 过⊙O 上一点 H 作⊙O 的 切线,BC 与这条线切线平行,AC、AB 的延长线交这条线切 线于点 E、F,连结 AH、CH。 (1)求证:AH 平分∠EAF; (2)若 CH=4,∠CAB=60°,求圆弧 BHC 的长。

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x = 3 ? ? 2 (t 为参数) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 。 2 ?y = 5 + t ? ? 2
在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ = 2 5 sin θ 。 (1)求圆 C 的直角坐标方程;

) (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5 ,求 |PA|+|PB| 。

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) = | x + 1| + | x ? 2 | + a (1)当 a = ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围。

2012 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 B 12 A

二、填空题: 13.

0.1587

14.

π
4

15.

10 243

16.

7 2

三、解答题: 17. (Ⅰ) f ( x ) = 2 sin( x ?

π
3

) + 1 ……………………………………………

4分

(Ⅱ) cos A =

1 3

…………………………………………………

6分

由余弦定理得

a 2 = 8c 2 sin C = 1 3

………………………………………

8分

由正弦定理得

……………………………………

12 分

18. (Ⅰ) 男生 24 人;女生 16 人 (Ⅱ)

…………………………………………

4分

ξ

0

1

2

P

4218 4940

703 4940

19 4940

………………………………………

8分

E (ξ ) = 0.15

………………………………………

12 分

19. (Ⅰ)连接 CG 交 AP 于 M 点

因为

CG CF 2 = = ,所以 FG // BM , GM BF 1

又 BM ? 平面 PAB , 所以 FG // 平面 PAB ………………………………………………… 4 分

(Ⅱ) 因为 PA ⊥平面 ABCD ,所以 ∠PDA 即为二面角的平面角 ………… 6 分 在直角梯形 ABCD 中,可求 AD =

2

…………………………… ……………………………

7分 9分

又由 FG ⊥ 平面 AEC ,可求 PA = 2 2 所以 tan ∠PAD = 2 20. (Ⅰ)设 A( x1 ,

…………………………………………………… 12 分

x12 x2 ) , B( x 2 , 2 ) , ( x1 ≠ x 2 ) . 4 4
'

由 x 2 = 4 y ,得: y =

x x x , k PA = 1 , k PB = 2 2 2 2

Q PA ? PB = 0 ,∴ PA ⊥ PB , x1 x 2 = ?4 .
直线 PA 的方程是: y ?

x12 x1 = ( x ? x1 ) . 4 2

x1 x x12 即y= ? .① 2 4
2 x2 x x2 同理,直线 PB 的方程是: y = ? .② 2 4

由①②得: y 0 = (Ⅱ)恒过点 (0,1)

x1 x 2 = ?1 , ( x1 , x 2 ∈ R) . ……………………………… 4 分 4

………………………………………………………………… 8 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)得: FA = ( x1 ,

x12 x2 ? 1) , FB = ( x 2 , 2 ? 1) , 4 4

P=(

x1 + x 2 x + x2 ,?1) , FP = ( 1 ,?2) , x1 x 2 = ?4 . 2 2
2 x12 x2 x 2 + x2 ? 1)( 2 ? 1) = ?2 ? 1 4 4 4

FA ? FB = x1 x 2 + (

( FP) 2 =

2 ( x1 + x 2 ) 2 x 2 + x2 +4= 1 + 2. 4 4

∴ FA ? FB + ( FP) 2 = 0 .
故存在 λ = 1 使得 FA ? FB + λ ( FP ) = 0 . ………………………… 12 分
2

25 4x 2 ? 9x ? 9 (4 x + 3)( x ? 3) ' 21. (Ⅰ) 当 a = 时 f ( x) = = 2 4 4( x + 1)( x + 2) 4( x + 1)( x + 2) 2 3 ∴ f (x) 的单调递减区间为 (? ,3) ………………………………… 4 分 4 a (Ⅱ) 由 ln( x + 1) + > 1 得 a > ( x + 2) ? ( x + 2) ln( x + 1) x+2
记 g ( x) = ( x + 2)[1 ? ln( x + 1) ]

g ' ( x) = 1 ? ln( x + 1) ?
' 当 x > 0 时 g ( x) < 0

x+2 1 = ? ln( x + 1) ? x +1 x +1 ∴ g ( x) 在 (0,+∞) 递减 ∴ g ( x) < 2 ( x > 0)
8分

又 g (0) = 2 ? [1 ? ln 1] = 2

∴a ≥2

…………………………………………………………

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ln( x + 1) +

2 x > 1 ( x > 0) ∴ ln( x + 1) > x+2 x+2 1 1 1 k +1 1 取 x = 得 ln( + 1) > k 即 ln( )> 1 k k k 2k + 1 +2 k 2 3 4 n +1 1 1 1 1 ∴ ln + ln + ln + L + ln > + + +L+ …… 12 分 1 2 3 n 3 5 7 2n + 1

22. (Ⅰ)证明:连结 OH ,则 OH ⊥ EF .

Q EF ∥ BC ,

∴ OH ⊥ BC ,
∴ H 为弧 BC 的中点

∴ ∠EAH = ∠FAH ∴ AH 平分 ∠EAF
(Ⅱ)连结 CO 、 BO , 则 ∠COH = 60 , ?COH 为等边三角形,
°

………………………………………… 5 分

∴ CO = CH = 4 ,
又Q ∠BOC = 120
°

∴ BHC 的长为

8π 3

…………………………………………

10 分

2 2 23. (Ⅰ) x + ( y ? 5 ) = 5

………………………………………… 4 分

(Ⅱ) (3 ?

2 2 2 t) + ( 5 + t ? 5)2 = 5 2 2

t 2 ? 3 2t + 4 = 0
t A = 2 2 , tB = 2 | PA | + | PB |=| t A | + | t B |= 3 2 ………………………………… 10 分
24. (Ⅰ) a = ?5 时,

| x + 1 | + | x ? 2 | ?5 ≥ 0 , x ≥ 3 或 x ≤ ?2
定义域为 [3,+∞) ∪ ( ?∞,?2] ……………………………………… 4 分

(Ⅱ) | x + 1 | + | x ? 2 | + a ≥ 0 恒成立, 即 | x + 1 | + | x ? 2 |≥ ? a 恒成立,

?2 x ? 1( x > 2) ? g ( x) = ?3(?1 ≤ x ≤ 2) ?1 ? 2 x( x < ?1) ?
由 g (x ) 的图象知 g ( x) min = 3 ,

∴ ? a ≤ 3 , a ≥ ?3 .

………………………………………… 10 分


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