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安徽省皖南八校2013-2014学年高三第一次联考理科数学试卷(带word解析)


安徽省皖南八校 2013-2014 学年高三第一次联考文科数学试卷(带 word 解析)

第 I 卷(选择题)

1.复数 (1 ? i) 的虚部是(
2

) D. 2i

A.0 B.2 【答案】B 【解析】
2

C. ?2

试题分

析: (1 ? i ) ? 2i 虚部为 2. 考点:1.复数的运算;2.复数的实部和虚部. 2.已知集合 A ? x | y ? log 2 ( x 2 ? 1) , B ? ? y | y ? ( ) x ?1 ? ,则 A ? B ? ( A. ( ,1) 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : A ? {x | y ? log 2 ( x 2 ? 1)} ? {x | x 2 ? 1 ? 0} ? {x | x ? 1或x ? ?1} ,

?

?

? ?

1 2

? ?

)

1 2

B. (1, 2)

C. (0, ??)

D. (1, ??)

1 B ? { y | y ? ( ) x ?1} ? { y | y ? 0} , A ? B ? {x | x ? 1} . 2
考点:1.函数的定义域;2.函数的值域;3.集合的交集运算. 3. a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的( “
2

)

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试 题 分 析 : ∵ 当 函 数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在 区 间 [3,?? )内 单 调 递 增 时 , 对 称 轴
2

x ? a ? 3 ,∴“ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的
充分不必要条件. 考点:1.充分必要条件;2.二次函数的单调性. 4.下列函数,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? 【答案】C 【解析】 试题分析: f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2

?x

? 2x

D.f ( x) ? ? tan x

1 在定义域上是奇函数,但不单调; f ( x) ? ? x 为非奇非偶函数; x

f ( x) ? ? tan x 在定义域上是奇函数,但不单调.所以选 C .
考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性. 5.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x 2



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A. e

2

B. 2e

2

C. 4e

2

e2 D. 2

【答案】D 【解析】
2 试题分析:∵点 (2,e ) 在曲线上,∴切线的斜率 k ? y

' x?2

? ex

x?2

? e2 ,

∴切线的方程为 y ? e ? e ( x ? 2) ,即 e x ? y ? e ? 0 ,与两坐标轴的交点坐标为
2 2 2 2

(0, ?e 2 ), (1, 0) ,

1 e2 2 ∴ S ? ? 1? e ? . 2 2
考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式. 6.已知向量 | a |? 2,| b |? 2, a ? b ? 1 ,则向量 a 与 a ? b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

? ?

)

? 4

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 | a ? b |?

? ?

?2 ?2 ? ? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ,

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? a ? ( a ? b) a ? a ?b 4 ?1 3 ? ? ? ? 所以 cos ? a, a ? b ?? ? ? ? ? ? , 2 | a || a ? b | | a | ? | a ? b | 2 ? 3 ? ? ? ? 所以向量 a 与 a ? b 的夹角为 . 6
考点:1.向量的夹角;2.向量的数量积. 7.将函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象向左平移 m 个单位( m ? 0 ) ( 0 , ) ,

?

2

是所

得函数的图象的一个对称中心,则 m 的最小值为(

)

? A. 4
【答案】B 【解析】

? B. 6

? C. 3

? D. 12

试题分析: f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? 向左平移 m 个单位得到 g ( x) ? 2sin[2( x ? m) ?

?
3

),

] ? 2sin(2 x ? 2m ? ) , 3 3 ? ? ? 2? 所以 g ( ) ? 2sin(2 ? ? 2m ? ) ? 2sin(2m ? ) ? 0, 2 2 3 3 2? ? ∴ 2m ? ? k? , k ? Z ,∵ m ? 0 ,∴ m 的最小值为 ,故选 B . 3 6
考点:1.两角和与差的正弦公式;2.函数图像的对称中心. 8.设 P 为曲线 C : y ? 4 ln x ?

?

?

x2 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范 4
试卷第 2 页,总 11 页

围为 [0,

?
4

] ,则点 P 的横坐标的取值范围为(
B. (0, ??) C. [2, ??)

) D. [2, 2 2]

A. (0, 2 2] 【答案】D 【解析】

试题分析:设点 P 的横坐标为 x0 ( x0 ? 0) ,∵ y ' ?

4 1 ? x ,∴点 P 处的切线斜率为 x 2

k?

4 1 4 1 ? x0 ? [0,1] ,即 0 ? ? x0 ? 1 ,得 2 ? x0 ? 2 2 . x0 2 x0 2

考点:1.利用导数求切线的斜率;2.切线的斜率与倾斜角的关系. 9 . 在 ?ABC 中 , P 是 BC 边 的 中 点 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若

? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? c A C? a P ? b P? ,则 ?ABC 的形状为( A B 0
A.直角三角形 C.等边三角形 【答案】C 【解析】

)

B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ??? ??? ? ? a( AB ? AC ) ? b( AB ? AC ) ? 0 , 2 2 ? ? ? a ? b ??? a ? b ??? a ? b ???? a ? b ??? ∴ (c ? ) AC ? AB ? 0 ,∴ (c ? ) AC ? AB , 2 2 2 2
试题分析:由题意知 c AC ?

? a ?b ?0 ? ??? ???? ? ? 2 又 AB 、 AC 不共线,∴ ? ∴a ?b ? c. ?c ? a ? b ? 0 ? ? 2
考点:1.向量共线;2.判断三角形形状. 10. 动点 A ? x, y ? 在圆 x ? y ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.
2 2

已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( ,

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 2 2
)

t (单位:秒)的函数的单调递增区间是(
A、 ? 0,5? C、 [11,12] B、 ?5,11? D、 ? 0,5? 和 [11,12]

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 依 题 意 可 设 y 关 于 t

( 单 位 : 秒 ) 的 函 数 为

y ? ? sin(?t ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? ? ) ,周期为 12,

2?

?

? 12 ,∴ ? ?

?
6

,∴ y ? ? sin(

?
6

t ? ? ) ,当 t ? 0 时, y ?

3 3 , ,sin ? ? ? 2 2

试卷第 3 页,总 11 页

又 ?? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? 合题意. ∴ y ? ? sin(

?
3

或?

1 3 2? 2? ,又当 ? ? ? 时, A 点坐标为 (? , ) ,不 2 2 3 3

t ? ) 求函数的单调增区间,只需求 y ? sin( t ? ) 的减区间, 6 3 6 3 ? ? 3? ,∴ 12k ? 5 ? t ? 12k ? 11, k ? 0 时, 5 ? t ? 11 . 2 k? ? t ? ? 2 k ? ? 6 3 2

?

?

?

?

考点:1.三角函数的周期;2.函数的单调区间.

试卷第 4 页,总 11 页

第 II 卷(非选择题)

13? ? 6 1 【答案】 2
11. sin 【解析】 试题分析: sin

.

13? ? ? 1 ? sin(2? ? ) ? sin ? . 6 6 6 2

考点:诱导公式. 12 . 已 知 矩 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ?B ?

?
3

, 点 P 在 线 段 BD 上 运 动 , 则

??? ???? ? AP ? AC ?
【答案】2 【解析】

.

???? 1 ???? | AC |? 1 , 2 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 则 AP ? AC ?| AP | ? | AC | cos ?PAO ?| AP | (2 | AO |) cos ?PAO ? 2 | AO |2 ? 2 .
试题分析:设 AC ? BD ? O ,由题可知 | AO|= 考点:向量的数量积.

?x ?1 (0 ? x ? 1) ? 13.已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) ?2 ? 2 ( x ? 1) ?
的取值范围是 【答案】 ? , 2 ? 【解析】 试题分析:画出函数图象如图所示,由图象可知要使 a ? b ? 0 , f (a) ? f (b) 同时成 立, .

?3 ?4

? ?

1 1 1 3 ? b ? 1 , bf (a) ? bf (b) ? b(b ? 1) ? b2 ? b ? (b ? ) 2 ? ,∴ ? bf (a) ? 2 . 2 2 4 4

考点:1.函数图像;2.配方法求最值. 14.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,若 a ? 则 c 的大小为 .

2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 ,

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【答案】 3 +1 【解析】 试题分析: sin B ? cos B ? 由 ∴B ? 又 ∵

2 , 1 ?n c B 2 B ? , n 得 2 o 即 s2 s s i i

∵ B ? , 0? B ?? , 1

?
4



a ? 2, b ? 2







?ABC

















4 ? 2 ? c 2 ? 2 2c cos

?
4

? 2 ? c 2 ? 2c ,解得 c ? 3 ? 1 .

考点:1.余弦定理;2.倍角公式. 15.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k ] ,即

[k ] ? ?5n ? k | n ? Z? , b ? 0,1, 2, 3, 4,则下列结论正确的为
编号). ① 2013 ?[3] ; ② ?1? [3] ; ③ Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ; ④“整数 a, b 属于同一类”的充要条件是“ a ? b ?[0] ” ;

(写出所有正确的

⑤命题“整数 a, b 满足 a ?[1], b ?[3] ,则 a ? b ?[4] ”的原命题与逆命题都为真命题. 【答案】①③④ 【解析】 试题分析:依题意 2013 被 5 除的余数为 3,则①正确; ?1 ? 5 ? (?1) ? 4 ,则②错误; 整数集就是由被 5 除所得余数为 0, 2, 4 的整数构成, 1, 3, ③正确; 假设④中 a ? 4n ? m1 ,

b ? 4n ? m2 , a ? b ? 4(n1 ? n2 ) ? m1 ? m2 , a, b 要 是 同 类 , 则 m1 ? m2 ? 0 , 所 以
a ? b ?[0],反之也成立;因为 a ?[1] , b ?[3] ,所以可设 a ? 5n1 ? 1 , b ? 5n2 ? 3 ,
∴ a ? b ? 5(n1 ? n2 ) ? 4 ? [4] , 原 命 题 成 立 , 逆 命 题 不 成 立 , 如 a ? 5,b ? 9满 足

a ? b ?[ 4],但是 a ?[0] , b ?[4] ,⑤错误.
考点:1.信息题;2.函数值.

16.设 p : ?

?2 x ? 3 ? 1 , q : ( x ? a )( x ? a 2 ? 1) ? 0, a ? R 。 ?x ?1 ? 0 ?

2 (1)记 A ? x | ( x ? a )( x ? a ? 1) ? 0, a ? R ,若 a ? 1 ,求集合 A;

?

?

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(2)若 q 是 p 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 【答案】(1) A ? {x |1 ? x ? 2} ; (2) a ? ?1 . 【解析】 试题分析:本题考查集合的运算、一元一次不等式、一元二次不等式的解法以及充分必 要条件等基础知识,考查学生的运算能力.第一问,将 a ? 1 代入到 A 集合中,解一元二 次不等式即可;第二问,先解出 p, q 两个集合,利用 q 是 p 的必要不充分条件,得出 p ? q 且 q 不能推出 p ,则 p ? q ,利用真子集关系列出不等式,解出 a 的取值范围. 试题解析:(1)∵ a ? 1 ,∴ A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} .(5 分) (2)依题意易得 P :1 ? x ? 2 , q : a ? x ? a ? 1 .(7 分)
2

? a ?1 ? 2 ∵ q 是 p 的必要不充分条件,∴ ? 2 ? a ? 1 ∴ a ? ?1 .(12 分) ? a ?1 ?
考点:1.一元二次不等式的解法;2.充分必要条件. 17.已知 函数 F ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? x(a ? 0), f ( x) ? F ?( x) ,若 f (?1) ? 0 且对任意实 3 2

数 x 均有 f ( x) ? 0 成立. (1)求 f (x) 表达式; (2)当 x ? [?2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ; (2) (??, ?2] ? [6, ??) .
2

【解析】 试题分析:本题考查导数的运算以及二次函数的判别式、单调性等基础知识,考查运算 能力和分析问题解决问题的能力, 考查数形结合思想.第一问, F ( x) 求导得到 f ( x) 解 对 析式,因为 f (?1) ? 0 ,所以得到 b ? a ? 1,又因为 f ( x) ? 0 恒成立,所以 ?

?a ? 0 , ?? ? 0

两式联立解出 a 和 b , 从而确定 f ( x) 解析式; 第二问, 先利用第一问的结论, 得到 g ( x) 的解析式, 再根据二次函数的单调性, 确定对称轴与区间端点的大小关系解出 k 的取值. 试题解析:(1)∵ F ( x) ? ax ? bx ? 1 ,
' 2

∴ f ( x) ? ax ? bx ? 1 .
2

∵ f (?1) ? 0 ,∴ a ? b ? 1 ? 0 ,∴ b ? a ? 1, ∴ f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 .∵ f ( x) ? 0 恒成立,
2

∴?

?

a?0
2

?? ? (a ? 1) ? 4a ? 0

∴?

?

a?0

2 ?(a ? 1) ? 0

试卷第 7 页,总 11 页

∴ a ? 1 ,从而 b ? 2 ,∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 .(6 分)
2

(2) g ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? kx ? x ? (2 ? k ) x ? 1 .
2 2

∵ g ( x) 在 [?2, 2] 上是单调函数, ∴

k ?2 k ?2 ? ?2 或 ? 2 ,解得 k ? ?2 ,或 k ? 6 . 2 2

∴ k 的取值范围为 (??, ?2] ? [6, ??) .(12 分) 考点:1.导数的运算;2.二次函数的性质. 18.已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ?

1 ), g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 2

?

(1)若 f ( x0 ) ? 0 ,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 【答案】 (1) g ( x0 ) ?

5 5? ? ; (2) h( x ) 的单调递增区间是 [k? ? , k? ? ] . 4 12 12

【解析】 试题分析:本题考查两角和与差的正弦公式、降幂公式以及运用三角公式进行三角变换 求三角函数的单调区间.第一问, 用降幂公式化简式子, 得到 cos(2 x0 ?

?
6

) ? ?1解出 x0 ,

再代入到 g ( x0 ) 中用诱导公式化简;第二问,先利用降幂公式、两角和与差的正弦公式 化简 h( x ) 表达式,再数形结合求单调区间. 试题解析:(1)由题设知 f ( x) ?

1 ? [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6

因为 f ( x) ? 0 ,所以 1 ? cos(2 x0 ?

)?0, 6 ? 5? ( k ? Z ). cos(2 x0 ? ) ? ?1,即 x0 ? k? ? 6 12 1 1 5? 5 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(2k? ? ) ? . (6 分) 2 2 6 4
(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x)

?

1 ? 1 ? [1 ? cos(2 x ? )] ? 1 ? sin 2 x 2 6 2 1 ? 3 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? 2 6 2
? 1 3 1 3 ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2 2

1 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 3 2
当 2k? ?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,即 k? ?

5? ? ( k ? Z )时, ? x ? k? ? 12 12

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1 ? 3 sin(2 x ? ) ? 是增函数, 2 3 2 5? ? 故函数 h( x ) 的单调递增区间是 [k? ? , k? ? ] ( k ? Z ).(12 分) 12 12
函数 h( x) ? 考点:1.降幂公式;2.诱导公式;3.两角和与差的正弦公式;4.三角函数的单调性. 19 . 已 知 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) , 其 中

??

?

? ? 0 ,若函数 f ( x) ? m ? n ,且函数 f ( x) 的图象与直线 y ? 2 相邻两公共点间的距离
为? . (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中. a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,且 a ? 3, b ? c ? 3, f ( A) ? 1 ,求

?? ?

?ABC 的面积.
【答案】 (1) ? ? 1 ; (2) S ?ABC ?

3 . 2

【解析】 试题分析:本题考查三角函数、平面向量、余弦定理等基础知识以及运用三角公式进行 三角变换的能力.第一问, 先利用向量的数量积列出 f ( x) 表达式, 再利用倍角公式化简 表达式,最后利用两角和与差的正弦公式化简,得到 f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
6

) 后,利用

已知条件理解得到 T ? ? ,所以 ? ?1 ;第二问,把第一问的 ? ?1 代入,得到

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,因为 f ( A) ? 1,所以将 A 代入解析式,通过确定角 A 的范围确 6
定A?

?

?

3

,根据已知条件,利用余弦定理求出两组 b 和 c 的值,最后代入到三角形面积

公式中即可. 试









(1)

?? ? f ( x) ? m ? n ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x)

? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x
? 2sin(2? x ? ) .(3 分) 6
∵ ? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的周期 T ?

?

2? ? ? , 2? ?

∵函数 f ( x) 的图象与直线 y ? 2 相邻两公共点间的距离为 ? . ∴

? ? ? ,∴ ? ? 1 .(6 分) ?

(2)由(1)可知 ? ? 1 , f ( x) ? 2sin(2 x ? ∵ f ( A) ? 1,∴ 2sin(2 A ?

?
6

).

?
6

) ? 1.
试卷第 9 页,总 11 页

∴ sin(2 A ?

?
6

)?

1 , 2

∵ 0 ? A ? ? ,∴

?

6 6 5? ? ∴ 2A ? ? ?A? .(10 分) 6 6 3

? 2A ?

?

?

?

13? , 6

由余弦定理知 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

∴ b2 ? c 2 ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3 , 联立解得 ?

?b ? 2 ? b ? 1 或? , ? c ? 1 ?c ? 2
1 3 .(13 分) bc sin A ? 2 2
2 2 2

∴ S ?ABC ?

( 或 用 配 方 法 : ∵ b ? c ? bc ? (b ? c) ? 3bc ? 3 , b ? c ? 3 , ∴ bc ? 2 , ∴

1 3 ) S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
考点:1.向量的数量积;2.降幂公式;3.两角和与差的正弦定理;4.三角函数的周期; 5.余弦定理;6.三角形面积公式. 20.设函数 f ( x) ? xe ? ax .
x 2

(1)若 a ? 1 时,求 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 2(e ? 1) x ? y ? e ? 1 ? 0 ; (2) a 的取值范围是 (??, e) . 【解析】 试题分析:本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法,突出 考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,将 a ? 1 代入得到

f ( x) 解析式,对 f ( x) 求导,将 x ? 1 代入得到切线的斜率,再将 x ? 1 代入 f ( x) 中得
到切点的纵坐标,最后利用点斜式方程直接写出切线方程;第二问,将恒成立问题转化 成函数 g ( x) ?

ex 的最小值问题,对 g ( x) 求导,判断 x ? 0 范围内的函数的单调性,判 x

断出当 x ? 1 时, g ( x) min ? e ,所以 a ? e . 试题解析:(1)当 a ? 1 , f ( x) ? xe ? x
x 2

f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 2 x , f ' (1) ? 2e ? 2 , f (1) ? e ? 1 ,
故所求切线方程为: y ? (e ? 1) ? 2(e ? 1)( x ? 1) ,
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化简得: 2(e ? 1) x ? y ? e ? 1 ? 0 .(5 分) (2) x ? 0 , f ( x) ? xe ? ax ? 0 ,
x 2

化简得: a ?

ex , x

设 g ( x) ?

ex , x
'

e x ( x ? 1) 求导得: g ( x) ? . x2
当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 .
' '

故 g ( x) 在 (0,1) 单调减少,在 (1, ??) 单调增加. 故 y ? g ( x) 在 x ? 1 时取极小值. 则 y ? g ( x) 在 (0, ??) 时, g ( x) min ? g (1) ? e . 综上所述: a ? e ,即 a 的取值范围是 (??, e) .(13 分) 考点: 1.利用导数求切线方程; 2.利用导数判断函数的单调性; 3.利用导数求函数最值.

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