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平面向量的加法课件(使用)


7.2向量的加法

向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量。 向量的表示方法: 用一条有向线段,或用 a (小写黑体字母),或用 有向线段的起点和终点字母表示。 零向量和单位向量: 长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的 向量叫单位向量。 平行向量: 方向相同或相反的向量叫平行向量,平行向量也 叫做共线向量。 相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫相

等向量。

探究
2008年,上海浦东国际机场和台北桃园国际机场首 次开通了上海至台北的直航,即缩短了距离,又节 约了时间。民航客机的每次飞行都可以看成是一次 位移。如图所示,直航前由上海(点A)到台北(点 C),需先经香港(点B),再到台北,位移是由A 到B,再由B到C;直航后由上海直接到台北,位移 是由A到C。 1、在图中用向量表示每一次的位移。 2、飞机由上海飞往香港,再由香港飞至台北位移的 结果,与飞机直接由上海飞至台北的位移结果相同 吗?

A(上海)
C(台北) B(香港)

由此得出什么结论?

AB ? BC ? AC

例2

生活中常见到这样的事例:

一个力的作用效果=两个力的作用效果

1.向量加法的三角形法则 :

? ? 作 AB ? a , BC ? b, 已知向量 a, b , 在平面内任取一点 A,
作向量 AC , 则向量AC 叫做 a与 b 的和.记作 a ? b, 即 a ? b ? AB ? BC ? AC .

b
a

a?b
b

a

?

对于任一向量 a ,有:

a?0 ? a
a ? (-a) ? 0

2.向量加法的运算律:
(1)加法交换律 : a ? b ? b ? a (2)加法结合律 : (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? ? (1)证明:当 a , b 不平行时,
BC ? b ,则 作 AB ? a ,

b b
A

D

C

AC ? a ? b.

a?b

b
B

再作AD ? b ,连结 DC, a 则四边形 ABCD 是平行四边形,
于是 DC ? a .

a

因此 AD ? DC ? b ? a ? AC, 即 a ? b ? b ? a.

?

b ,用 例1 如图7-13所示 ,已知向量 a , 向量的三角形法则作和向量 a ? b 。

a b
(1 )

b a

a a?b

b

b a a?b
(2 )

(2 )

(1 )

图7-13

图7-14

解:如图7-14(1),当两向量 a ,b 首尾相接 时,其和向量 a ? b 是以向量 a 的起点指向 向量 b 的终点的向量。

解:如图7-14(2),在平面内任取一点A, 作 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 就是 AB 和 BC 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC

?

例2 如图7-15所示 ,已知两个共线向 量 a 与 b ,用向量的三角形法则作求 它们的和向量 a ? b 。

思考交流
?

如果平面内有n个向量依次首尾连接组 成一条封闭折线,那么这n个向量的和 是什么?

3.向量加法的平行四边形法则 :
若点A,B,D不共线,
AD ? b, 设 AB ? a ,

a
? b
? ? a ?b

C

以 AB, AD 为邻边作平行 四边形ABCD,

? a

b

则对角线上的向量 AC ? AB ? BC ? a ? b

【思考交流】向量的加法的平行四边形法则和 三角形法则的区别与联系
?

三角形法则中两个向量是首尾相接的,平行四边形 法则中的两个向量有公共的起点。三角形法则适用 于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则 仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和 平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法,但 在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的 终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角 形法则;而当它们始点相同时,可用向量加法的平 行四边形法则.

1.向量加法的三角形法则 : 首尾相接,自始而终. 2.向量加法的运算律 : (1)加法交换律 : (2)加法结合律 :

a?b ? b?a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

3.向量加法的平行四边形法则 :

AC ? AB ? BC ? a ? b

作业
?

书43页,练习3


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