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4.2.2 圆与圆的位置关系


4.2.2

圆与圆的位置关系

(1).掌握圆和圆的五种位置关系; (2).掌握圆和圆的位置关系中圆心距与半径之间的数 量关系; (3).会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程。

(1)判断直线与圆的位置关系的方法:
几何方法:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小; 代数方法:根据直线的方程和圆的方程组成方

程组的 实数解的个数; (2)判断圆与圆的位置关系的方法: 几何方法 代数方法

1. 平面上两圆的位置关系有五种: (1)外离:两圆没有公 共点; (2)外切:两圆有且仅 有一个公共点;
O1 r1
O1 r1 O2 r2

O2 r2

(3)相交:两圆有两个公 共点;

(4)内切:两圆有一个公 共点;
O 1O 2 r1 r2

O1 r (5)内含:两圆没有公共点.
1

O2 r2

O 1O 2 r1 r2

二. 两圆位置关系的判断
已知圆 C1 : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r12
与圆 C2 : ( x ? c) 2 ? ( y ? d ) 2 ? r2 2 它们的位置关系有两种判断方法:

(1)平面几何法判断圆与圆的位置关系公式: 第一步:计算两圆的半径r1,r2;

第二步:计算两圆的圆心距d;
第三步:根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位置 关系 两圆外离:r1+r2<d; 两圆内切:|r1-r2|=d; 两圆外切:r1+r2=d; 两圆内含:|r1-r2|>d.

两圆相交:|r1-r2|<d<r1+r2;

(2)利用代数方法判断

?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r12 将两个圆方程联立,得 ? ( x ? c) 2 ? ( y ? d ) 2 ? r2 2 ?
消去其中的一个未知数y或x,得关于x或y的一元二次方程. (1)当Δ =0时,有一个交点,两圆内切或外切

(2)当Δ <0时,没有交点,两圆内含或相离
(3)当Δ >0时,有两个交点,两圆相交

思考:两种方法的优缺点 几何方法直观,但不能求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ =0,Δ <0 时,不能判断圆的 确切的位置关系。
2 2 例1: 已知圆C1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 2 2 与圆 C2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0

判断圆 C1与圆 C2 的位置关系

分析: 方法一,几何法. 判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. 方法二,代数法. 由两者方程组成方程组,由方程组解的情况决定. 解法一:把圆的方程都化成标准形式,为
C1 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25

C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 10

C1 的坐标是 (?1, ?4) ,半径长 r1 ? 5;
C2 的坐标是 (2, 2) ,半径长 r2 ? 10;

C1C2 ? (?1 ? 2) 2 ? (?4 ? 2) 2 ? 3 5 所以圆心距

两圆半径的和与差 r1 ? r2 ? 5 ? 10, r2 ? r1 ? 5 ? 10 而 5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 即 r1 ? r2 ? 3 5 ? r2 ? r1 所以两圆相交。

解法二: 将两个圆方程联立,得方程组
? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, ? 2 x ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0. ? (1) (2)

(1) ? (2),得 x ? 2 y ? 1 ? 0
1? x 由(3)得y ? 2

(3)

2 把上式代入(1),并整理得 x ? 2 x ? 3 ? 0

(4)

2 方程(4)的判别式 (?2) ? 4 ?1? (?3) ? 16 ? 0

所以方程(4)有两个不等实数根,方程组有两解。
故两圆相交.

练习: 已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0

判断圆 C1与圆 C2 的位置关系 解法一:
将两个圆方程联立,得方程组
(1) (2)

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0, ? 2 x ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0. ?
(1) ? (2),得 ?2 x ? 1 ? 0

(3)

1 由(3)得 x ? ? 2

1 把上式代入(1),并整理得 y ? 3 y ? ? 0 4 1 方程(4)的判别式 32 ? 4 ?1? ? 8 ? 0 4
2

(4)

所以方程(4)有两个不等实数根,方程组有两解。 故两圆相交.

解法二:把圆的方程都化成标准形式,为

3 2 17 3 2 9 2 C2 : ( x ? 2) ? ( y ? ) ? C1 : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? 2 4 2 4 3 3 C1 的坐标是 (?1, ? ) ,半径长 r1 ? 2 ; 2 17 3 ; C2的坐标是 (?2, ? ) ,半径长 r2 ? 2 2
2

所以圆心距

C1C2 ? 1,

r2 ? r1 ?

17 ? 3 17 ? 3 , r2 ? r1 ? 2 2

r2 ? r1 ?

17 ? 3 17 ? 3 ?1? ? r2 ? r1 2 2

所以两圆相交。

探究: 如图所示,

y A



C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 相交于A,B两点, 如何求公共弦的方程?

c2
O B

x

c1

方法一: 将两圆方程联立,求出两个交点的坐标,利用两 点间的距离公式求得弦长。 方法二: 先来探究一般情形.

C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 已知圆
2 2 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于A,B两点,

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 那么

? x12 ? y12 ? D1 x1 ? E1 y1 ? F1 ? 0, ? 2 x1 ? y12 ? D2 x1 ? E2 y1 ? F2 ? 0. ?

(1) (2)

(1) ? (2),得
( D1 ? D2 ) x1 ? ( E1 ? E2 ) y1 ? F1 ? F2 ? 0 (3) (4)

同理可得 ( D1 ? D2 ) x2 ? ( E1 ? E2 ) y2 ? F1 ? F2 ? 0

由(3)(4)可知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 一定在直线

l : ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0上.
显然通过两点的直线只有一条 即直线方程唯一 故公共弦的方程为
( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0.

所以前面探究问题可通过 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 得出,

即公共弦的方程为:2x+1=0

例2.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y -40=0相交于A、B 两点,求公共弦AB的长. 解法一:由两圆的方程相减,消去二次项得到 一个二元一次方程,此方程 4x+3y=10. 即为公共弦AB 所在的直线方程,
?4 x ? 3 y ? 10 由 ? 2 x ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0 ?

? x ? ?2 解得 ? ? y?6

? x?4 或 ? ? y ? ?2

所以两点的坐标是A(-2,6)、B(4,-2)
故|AB|=

62 ? 82 ? 10

解法二:先求出公共弦所在直线的方程:4x+3y=10.
过C1作C1D⊥AB于D. 圆C1的圆心C1(5,5 ),半径r1= 5 2 ,

| 20 ? 15 ? 10 | ?5 则|C1D|= 5
所以AB=2|AD|= 2 C1 A2 ? C1 D 2 ? 10

练习:求过两圆x2+y2+6x–4=0和x2+y2+6y–28=0 的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

解:已知两圆的圆心分别为(-3,0)和(0,-3). 则连心线的方程是x+y+3=0.
1 ? x? , ? ? x ? y ? 3 ? 0, ? 解得 ? 2 由? ?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? ? 7 ? ? 2
1 7 ( ,? ) 所以所求圆的圆心坐标是 2 2

设所求圆的方程是 x 2 ? y 2 ? x ? 7 y ? m ? 0 由三个圆有同一条公共弦得m =-32.
故所求方程是x2 + y2–x + 7y –32 = 0.

1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是(

C )

(A)相离
(C)相交

(B)外切
(D)内切

2.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2外切,则r是( B ) (A) 10 (C) 5 (B) 10 2 (D)5

3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,

则此圆的方程是( D )
(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x±4)2+(y-6)2=6 (C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x±4)2+(y-6)2=36

4.圆x2+y2=1和圆(x-1)2+(y-1)2=1的公共弦长 为

2

.

5.若圆:x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by +b2=1外离, a2+b2>3+2 2 则a、b满足的条件是__________________.

(1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么?

(2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点
是什么?

(3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系?

不要贬低黄昏,黄昏同清晨一样是成
就事业的时间。


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