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2010辽宁省高考数学试题(文科)答案精细版


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)
第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则 (A){1,3} (B){3,7,9}
UA=

(C){3,5,9}

/>
(D){3,9}

1? 2i (2)设 a,b 为实数,若复数 =1+i,则 a ? bi 3 1 1 3 (A)a= ,b= (B)a=3,b=1 (C)a= ,b= 2 2 2 2

(D)a=1,b=3

(3)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4―2,3S2=a3―2,则公比 q= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2 (4)已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是 (A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (5)如果执行右面的程度框国,输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于 (A)720 (B)360 (C)240 (D)120 (6)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 最小值是 (A)

? 4? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合则 ? 的 3 3
4 3
(C)

2 3

(B)

3 2

(D)3

(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,果直 线 AF 的斜率为- 3 ,那么 PF = (A)4 3 (B)8 (C) 8 3 (D)16

(8)平面上 O、A、B 三点不共线,设 OA =a, OB =b,则△OAB 的面积等于 (A) (C)

a b ? ( a b) 2
1 2 a b ? ( a b) 2
2 2

2

2

(B) (D)

a b ? ( a b) 2
1 2 a b ? (a b) 2
2 2

2

2

(9)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条近线垂直,那么此双曲线的离 心率为 (A) 2 (10)设 2a=5b=m,且 (B)

3

(C) (A)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2
(D)100

1 1 ? =2,则 m= a b

10

(B)10 (C)20

(11)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1 BC= 2 ,则球 O 的表面积等于 (A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D)

?

(12)已知点 P 在曲线 y= (A) (0,

?
4

)

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e ?1 ? ? ? 3? 3? ] ,? ) (B) [ , ) (C) ( , (D) [ 4 2 2 4 4
x

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22)题~ 第(24)题为选考题。考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ( 13 ) 三 张 卡 片 上 分 别 写 上 字 母 E , E,B , 将 三 张 卡 片 随 机 地 排 成 一 行 , 恰 好 排 成 英 文 单 词 BEE 的 概 率 为 。 (14)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= . (15) 已知-1<x+y<4 且2<x-y<3, 则 z=2x-3y 的取值范围是 . (答 案用区间表示) (16)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则 这个多面体最长的一条棱的长为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 18. (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两组, 每组 100 只, 其中一组注射药物 A, 另一组注射药物 B. 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 的试验结果. (疱 2 疹面积单位:mm ) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 疱疹面积 频数 [60,65) 30 [60,65) 10 [65,70) 40 [70,75) 20 [75,80) 10

表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 25 20 30 15

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

(Ⅱ)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱 疹面积有差异” . 表3

疱疹面积小于 70mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 a= c=

疱疹面积不小于 70mm2 b= d=

合计

n=
2

n(ad ? bc)2 附:K = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P(K2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

(19) (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是鞭形,B1C⊥A1B. (Ⅰ)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D:DC1 的值. (20) (本小题满分 12 分) 设 F1,F2 分别为椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的左右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾 a 2 b2
(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3 . (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性;

(Ⅱ)设 a≤-2,证明:对任意 x2,x2 ? (0,+∞) ,|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如果,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明:△ABE∽△ADC; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=

1 AD·AE,求 ? BAC 的大小. 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos? (θ 为参数,0≤θ ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射 ? y ? sin ?
的长度均为

线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

π . 3

(Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标: (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+c2+(

1 1 1 2 ? ? ) ≥6 3 ,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立. a b c

2010 年辽宁省文科数学试卷参考答案

评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参 考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题 (1)D (2)A (3)B (4)C (5)B (6)C (7)B (8)C (9)D (10)A (11)A (12)D 二、填空题解答 (13)

1 (14)15 (15) (3,8) (16) 2 3 3

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

1 , A ? 120 ? ??66 分 2 1 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 2
即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? ,故 B=C,所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 (18)解 (Ⅰ)

????12 分

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之 间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数。 (Ⅱ)表 3 疱疹面积小于 70mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 a=70 c=35 105 疱疹面积不小于 70mm2 b=30 d=65 95 合计 100 100 n=200

K2 ?
2

200? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100? 100? 105? 95

由于 K ? 10.828 ,所以 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” ?12 分 (19)解:

(Ⅰ) 因为侧面 BCC1B1 是菱形, 所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B, 且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C1,所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1??6 分 (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE。又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点。 即 A1D:DC1=1。????12 分 (20)解: (I)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦 距为 4. ??4 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1

0, y2

0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

? y ? 3( x ? 2), ? 2 ? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2 2 2 2 4 联立 ? x ? y ? 1 得(3a ? b ) y ? 4 3b 2 y ? y ? 3b ? 0. 解得 y1 ? , y 2 ? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2 ? a 2 b2 ? ?
因为 AF2 ? 2F2 B, 所以? y1 ? 2 y2 . 即

3b2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2a) ? 2 . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b 2
x2 y 2 ? ? 1. 9 5

??18 分

得 a ? 3.而a2 ? b2 ? 4, 所以b ? 5. 故椭圆 C 的方程为 (21)解:

??12 分

() ? (Ⅰ ) f(x)的定义域为(0,+ ? ) , f ?x

a ?1 2 ?a x x

2 2a x a ? 1 ? ? . x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加;当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x=

a ?1 .当 x∈ (0, 2a

?

a ?1 a ?1 )时, f ?( x ) >0; x∈ ( ? , +?) 时,f ?( x ) 2a 2a

<0, 故 f(x)在(0,

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? )单调减少. 2a 2a

(Ⅱ )不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,

即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

8分

于是 g ?( x ) ≤ 即

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0.从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2) , x x
12 分

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈ (0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

(22)证明:

(Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CA 故△ABE∽△ADC. (Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以

D.因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.

AB AD ? ,即 AB·AC=AD·AE. AE AC 1 1 又 S= AB·ACsin∠BAC,且 S= AD·AE,故 AB·ACsin∠BAC=AD·AE. 2 2

则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC=90°. (23)解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为

π π π π ,且 M 点的极径等于 ,故点 M 的极坐标为( , ) 3 3 3 3

??5 分

π ? x ? 1 ? ( ? 1)t. ? π 3π 6 ? (Ⅱ)M 点的直角坐标为( , ),A(l,0) ,故直线 AM 的参数方程为 ? (t 为参数) . ?10 分 6 6 ? y ? 3 x t. ? 6 ?
(24)证明: (证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得

2 a +b +c ≥(abc) 3
2 2 2

,



1 1 1 1 ? ? ≥(ABC)- 3 a b c
所以 ?
2 2 ? 1 1 1? ? ? ? ≥9(abc)- 3 . ?a b c?



??6 分

2 2 2 ? 1 1 1? 故 a +b +c + ? ? ? ? ≥3(abc) 3 + 9(abc)- 3 . ?a b c? 2 2 又 3(abc) 3 +9(abc) 3 ≥ 2 27 ? 6 3 ,
2 2 2



??8 分

所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.

2

当且仅当 3(abc) 3

=

(abc)- 3 时, ③式等号成立. ??10 分 ①

2

1

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立.

(证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2ab,c2+a2≥2ac.所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2 ≥ ? ? ② 2 a b c ab bc ac 1 1 1 1 1 1 故 a2+b2+c2+( ? ? )2 ≥ab+bc+ac+3 +3 +3 ≥6 3 . ab bc ac a b c
同理
1

??6 分 ③ ??8 分

所以原不等式成立。当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,③式 等号成立.即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立. ??10 分


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