nbhkdz.com冰点文库

2010年全国数学联赛最新模拟试题(四)---2010年3月


高中数学竞赛模拟试题(四)
一 试
一、填空题:
1.用 [ x] 表示不大于实数 x 的最大整数.方程 lg x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根的个数是_____________.
2

2.已知方程 | x ? 2n |? k x ( n ? N ) 在区间 (2n ? 1, 2n ? 1]上有两个不相等的

实根,则 k 的取值范围是 _____________. 3.实数 x, y 满足 4 x ? 5 xy ? 4 y ? 5, 设 s ? x ? y ,则
2 2 2 2

1 S max

?

1 S min

的值为_____________.

4.在 ?ABC 中,已知三个角 A, B, C 成等差数列,假设它们所对的边分别为 a, b, c ,并且 c ? a 等于 AC 边 上的高 h ,则 sin

C?A ? _____________. 2

5.设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的任意一点, F1 , F2 分别是其左、右焦点, O 为中心,则 16 9

| PF1 | ? | PF2 | ? | OP |2 ? _____________.
6.斜三棱柱两侧面面积的比为 5:8 ,它们所成的二面角为 60 ,棱柱的侧面积为 60cm ,其体积为
? 2

15 3cm ,则它的侧棱长为_____________.
7.在一次投篮测试中,每人只要投中 3 个即为合格,不用再投,不过每人至多只能投 5 次.一投篮命中 率为

2 的球员,其测试合格的概率为_____________. 3

A

8.如图,已知棱长为 1 的正四面体 ABCD , M 为 AC 的中点, P 在线段 DM 上. 则 AP ? BP 的最小值为_____________.

M P D

B
C n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 二、设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1)(n ? N ) ,求证: . 2 2 2 2 三、已知抛物线 C1 : y ? x , C2 : y ? 2 x ? 3x ? 3 ,有一族倾斜角为 ? 的直线系和 C1 , C2 都相交,且四个交 点在直线上由左到右的顺序是 A, B, C, D .求证: | AB | ? | CD | 为定值.
四、求一切实数 p ,使得三次方程 5 x ? 5( p ? 1) x ? (71 p ? 1) x ? 1 ? 66 p 的三个根均为自然数.
3 2

二试
一、已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB
1

是 ?NBC 的外接圆的切线, 设

BC BM (用 ? 表示). ? ? , 试求 BN MN

二、已知正实数 x, y, z 满足: x ? y ? z ? 1 ,求证:

1? 2x x(1 ? x)

?
y

1? 2 y y (1 ? y )
z t

?

1? 2z z (1 ? z )
x

?

x y z ? ? . 1? x 1? y 1? z

三、求方程 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 1 的所有正整数解 ( x, y, z, t ) . 四、在一条马路旁有 n 个停车位, n 位司机各驾驶一辆汽车,每位司机将自己的汽车开到他最喜欢的车位 前停车,如果该车位已经停有汽车,则在该车位沿路下去最近的一个空位上停车,如果该车位及其下面的 车位上都停了汽车,则他将汽车开走,不在停车.问:有多少个数组 (a1 , a2 ,? , an ) ,可以使得每个停车 位都不空?这里 ai 是第 i 个司机喜欢的车位,且 a1 , a2 ,? , an 不必两两不同.

试题答案
一 试
一、填空题 1.解:由 [lg x] ? lg x 得 lg x ? lg x ? 2 ? 0 即 ?1 ? lg x ? 2 .当 ?1 ? lg x ? 0 时,有 [lg x] ? ?1 ,代入原
2

方程得 lg x ? ?1,但 lg x ? 1 不符,故 lg x ? ?1 , x1 ?

1 . 10 当 0 ? lg x ? 1 时,有 [lg x] ? 0 ,代入原方程得 lg x ? ? 2 ,均不符.
当 1 ? lg x ? 2 时, [lg x] ? 1 , 有 代入原方程得 lg x ? ? 3 , g x ? ?3 但l 当 lg x ? 2 时,得 x3 ? 100 .故原方程共有 3 个实根. 不符, lg x ? 3, x2 ? 10 . 故
3

2.解: k ?

1 .显然 k ? 0 ,而当 k ? 0 时导出 x ? 2n ,原方程只有一根,故 k ? 0 . 2n ? 1
2 2 2
2

又由 ( x ? 2n) ? k x 知,抛物线 y ? ( x ? 2n) 与直线 y ? k x 在区间 (2n ? 1, 2n ? 1] 上有两个不同交点, 所以当 x ? 2n ?1 时有 ( x ? 2n) ? k x ,而当 x ? 2n ? 1 时, ( x ? 2n) ? k x ,从而 k (2n ? 1) ? 1,即
2 2 2 2
2

k?

1 . 2n ? 1
2 2

3.解:易知 s ? x ? y ? 0 ,设 ?

? x ? s cos ? ?

? y ? s sin ? ? 1 1 3 13 8 8s ? 10 10 10 10 10 ? ? ? ? . 于是 | |? 1,得 ? s ? ,故 Smax ? , Smin ? ,故 Smax Smin 10 10 5 5s 13 3 3 13 h h ? 4.解:易见 h ? c ? a ? ,化简得 sin C ? sin A ? sin A sinC .由条件知 A ? C ? 120 ,故 ? sin A sin C

,代入 4 x ? 5 xy ? 4 y ? 5, 得 sin 2? ?
2 2

8s ? 10 . 5s

2

C?A 120? 1 C?A C?A 3 cos ? [cos(C ? A) ? cos120? ] ,即 sin 2 ? sin ? ? 0, 2 2 2 2 2 4 C?A 1 C?A 3 解得 sin . ? ,sin ? ? (舍去) 2 2 2 2 ? , 5 . 解 : 设 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 意 一 点 , 则 | PF |? a ? ex , | PF ? a ex 所 以 1 0 2 |
据上式得 2sin
2 2 2 | PF1 | ? | PF2 | ? | OP |2 ? a 2 ? e2 x0 ? x0 ? y0 ? a 2 ? b 2 ? 25 .

6.解: 6cm .设侧面 ACC1 A1 与侧面 ABB1 A1 的面积的比为 5:8 , DEF 为斜三棱柱的一个直截面,则侧 面 ACC1 A1 与面 ABB1 A1 所成的二面角的平面角为 ?EDF ? 60? ,可设 DF ? 5 x, DE ? 8 x, AA ? l,在 1

1 ?DEF 中, EF 2 ? DF 2 ? DE 2 ? 2DE ? DF ? cos 60? ? 25 x 2 ? 64 x 2 ? 2 ? 5 ? 8 ? x 2 ? 49 x 2 2 1 ? S侧 ? (5 x ? 8 x ? 7 x)l ? ?20 xl ? 60 ? ? ?x ? ?? ?? 所以 EF ? 7 x ,由已知 ? 2 ,即 l ? 6cm . 1 V ? ? 5 x ? 8 x sin 60? l ?10 3 xl ? 15 3 ?l ? 6 ? ? ? ? 2 2 3 8 2 2 2 1 2 8 64 7.解: .3 次投篮投中 3 个的概率为 ( ) ? ;4 次投篮投中 3 个的概率为 ? ( ) ? C3 ? ; 3 27 3 3 3 27 81 2 2 2 1 2 2 16 8 8 16 64 5 次投篮投中 3 个的概率为 ? ( ) ? ( ) C4 ? .测试合格的概率为 ? ? ? . 3 3 3 81 27 27 81 81
8. 解: 1 ?

6 3 3 6 ,sin ? ? . ?B M ? ? . ?B M 中,BD ? 1, BM ? MD ? 记 D 在 D . cos ? ? 故 . 3 2 3 3

如图,将 ?BDM 绕 DM 旋转,使 ?BDM 在平面 ACD 内,此时 B 在 B ' 处. 联结 AB ', B ' P .则所求的最小值即为 AB ' 的长.易知 ?ADB ' ? ? ? 30 .
?

A

故 AB ' ? AD ? DB ' ? 2 AD ? DB 'cos ?ADB ' ? 1 ? 1 ? 2cos(? ? 30 )
2 2 2
2 2 ?

M

P D
C

B
? 2 ? 2(cos ? ? cos 30? ? sin ? ? sin 30? ) ? 1 ?
6 6 .从而, AB ' ? 1 ? . 3 3

B'

(n ? 1) 2 二、证:构造数列 bn ? an ? , 2 (n ? 2)2 (n ? 1) 2 2n ? 3 ( n ? 1 ? n ? 2)2 ?? ?0, ? ] ? (n ? 1)(n ? 2) ? 因为 bn ?1 ? bn ? (an ?1 ? an ) ? [ 2 2 2 2 (n ? 1) 2 所以 bn ?1 ? bn ,{bn } 是递减数列, bn ? b1 ? 2 ? 2 ? 0 ,故有 an ? . 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 再构造数列 cn ? an ? ,因为 cn ?1 ? cn ? an ?1 ? an ? ? ? 2 2 2 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 0 ,所以 {cn } 是递增数列,故有 cn ? c1 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以 n(n ? 1) n(n ? 1) . an ? ? 0 ,故 an ? 2 2
综上可知

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? . 2 2
2 2 2

三、解:曲线 C2 的方程与曲线 C1 的方程相减,得 (2 x ? 3x ? 3) ? x ? x ? 3x ? 3 ,上式的 ? ? ?3 ? 0 , 且此二次项系数为正,则上式的值恒为正,因而知 C2 在 C1 的上方.
3

设倾斜角为 ? 的直线族中的一条直线经过点 (m,0) ,设直线的方程为 ? 将上式分别代入 C1 , C2 的方程,得 t cos ? ? (2m cos ? ? sin ? )t ? m ? 0
2 2 2 2 2 2

? x ? m ? t cos ? ( t 为参数) , ? y ? t sin ?
(1)

2t cos ? ? (4m cos ? ? sin ? ? 3cos ? )t ? 2m ? 3m ? 3 ? 0 (2) sin ? ? 2m cos ? 方程(1)的两根 t1 , t2 分别是 A, D 对应的 t 值,且 t1 ? t2 ? , cos 2 ? sin ? ? 3cos ? ? 4m cos ? 方程(2)的两根 t3 , t4 分别是 B, C 对应的 t 值,且 t3 ? t4 ? , 2cos 2 ? 所以 | AB | ? | CD |?| t3 ? t1 | ? | t4 ? t2 |? (t3 ? t4 ) ? (t1 ? t2 ) (sin ? ? 3cos ? ? 4m cos ? ) ? (2sin ? ? 4m cos ? ) 3cos ? ? sin ? ,上式与变量 m 的值无关,故 ? ? 2cos2 ? 2cos 2 ? | AB | ? | CD | 为定值. 四、解:由观察易知: x ? 1 为原三次方程的一个自然数根.由综合除法,原三次方程可以降次为二次方 2 程 5 x ? 5 px ? 66 p ? 1 ? 0 ,……(1)原三次方程的三个根均为自然数等价于二次方程(1)的两个根均
为自然数.

?u ? v ? p ? 设 u, v(u ? v) 为方程(1)的两个根,则由韦达定理得 ? ,联立二式有 1 uv ? (66 p ? 1) ? 5 ? 5uv ? 66(u ? v) ? 1,……(2)则可知 u, v 都不能被 2,3,11 所整除.又由(2)可得 66u ? 1 66 ……(3)而 u, v 都是自然数,由(3)可知 u ? 即 u ? 14 .又 2 不能整除 u 且 3 不能整除 v? 5u ? 66 5
66 ? 662 ? 5 132 66u ? 1 2 ? , 1 0 ? u ,即 5u ?132 u ? ? .于是 u ? u ,故 u ? 17 ,由 v ? u 及(3)可得 5 5 5u ? 66 故 17 ? u ? 26 ,再由 2 不能整除 u 且 3 不能整除 u 知, u 只能取 17,19,23,25. 1121 1253 当 u ? 17 时,由(3)得 v ? 并非自然数,应舍去. ? 59 .当 u ? 19 时,由(3)得 v ? 19 29 1517 1649 当 u ? 23 时,由(3)得 v ? 并非自然数,应舍去.当 u ? 25 时,由(3)得 v ? 并非自然 49 59
数,应舍去. 故仅当 p ? u ? v ? 76 时,方程(1)的两根均为自然数,原方程的三个根均为自然数.

二 试 BM NA CD BM AC 一、 证: ?BCN 中, 在 由梅涅劳斯定理得 .由 ? ? ? 1 .因为 BD ? DC ,所以 ? MN AC DB MN AN
?ABN ? ?ACB ,知 ?ABN ∽ ?ACB ,则
2 2

AB AC ? CB ? AB AC CB ? ?? .∴ ? ? ? , AN AB ? BN ? AN AB BN

2

AC ? BC ? BM ? BC ? BC BM ?? ?? 即 ? ? ,故 ? ?2 . ? .又 ? .∴ MN ? BN ? AN ? BN ? BN MN
二、解:原不等式等价于

?(

1? 2x x(1 ? x)

?2

x x 1 x ) ? 3? ? 3? ,即 ? , 1? x 1? x 1? x x(1 ? x)
4

因为 ( x, y, z ) 与 (

1 1 1 , , ), x(1 ? x) y (1 ? y ) z (1 ? z ) 1 ? x(1 ? x) 1 ? x(1 ? x) ? y (1 ? y ) y (1 ? y )

事实上,若 x ? y ,则

,所以,由切比雪夫不等式,可得 ? x ? x 2 ? y ? y 2 ? ( x ? y )(1 ? x ? y ) ? 0 )

( x ? y ? z )(

1 x(1 ? x)

?

1 y (1 ? y )

?

1 z (1 ? z )
y

) ? 3(

x y z ? ? ) ,故原不等式得证. 1? x 1? y 1? z
4

三、解: ( x, y, z, t ) 是方程的正整数解,则 2 ? 1(mod 5) .因为 2 ? 1(mod 5) ,所以, 4 | y . 对于方程两边取模 4 得 2 ? 2(mod 4) ,故 z ? 1.
z

设 y ? 4r ,得 5 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 ,即 5 ? 2 ? 5 ? 16 ? 1 .对上式两边取模 3 得到
x 4r t x t r

(?1) x ? (?1)t ? 0(mod 3) ,所以 x, t 一奇一偶.又 5t ? 1,5(mod8) ,则对 5x ? 2 ? 5t ? 16r ? 1 两边取模 8
得 5 ? 2 ? 5 ? 1 ? 1(mod8) ,故 x 为偶数, t 为奇数.
x t

(1)若 t ? 1,则 5 ? 16 ? 9 ,设 x ? 2m ,有 (5 ? 3)(5 ? 3) ? 16 ,
x r
m m r

由 (5 ? 3,5 ? 3) ? (5 ? 3, 6) ? 2 ? 5 ? 3 ? 2,5 ? 3 ? 2
m m m m m

4 r ?1



? m ? 1, 24 r ?1 ? 23 ? r ? 1, y ? 4, x ? 2 ? ( x, y, z, t ) ? (2, 4,1,1) .
(2)若 t ? 1,则 t ? 3, x ? 4 , 5 | (5 ? 2 ? 5 ) ? 16 ? 1 .
3 x t r

因为 16 ? 1 ? (15 ? 1) ? 1 ? 15 ? ? ? Cr 15 ? Cr 15 ,所以 5 | r .令 r ? 5k ,
r r r 2 2 1

则 16
n

5k

? 1 ? 55k ? 1 ? (5 ? 32 ) k ? 1 ? 0(mod11) ,于是 11| (5x ? 2 ? 5t ) ? 5t (5x ?t ? 2) ? 11| (5x ?t ? 2) ,
x ?t

但 5 ? 1,3, 4,5,9(mod11) ,即 11 不能整除 5 四、解:共有 (n ? 1)
n ?1

? 2 ,矛盾.故原方程有唯一解 ( x, y, z, t ) ? (2, 4,1,1) .

个满足条件的数组.

对任意一个满足条件的数组 (a1 , a2 ,? , an ) ,定义一个伴随数组 (b2 , b3 ,?, bn ) .其中 bi 为第 i 个所想 停的车位和他前一个人(即第 i ?1 人)所停车子的位置之差,这里的差为 mod(n ? 1) 的意义下,显然,两 个 (a1 , a2 ,? , an ) 对应不同的伴随数组. 下证:对任意一个数组 (b2 , b3 ,?, bn ), bi ?{0,1, 2,?, n} ,有一个满足条件的数组以它为伴随数组. 设想 n 个停车位排在一个圆周上,最后一个位置(第 n ? 1个)为虚拟位置.将第 1 位司机随意放置一
5

个位置, i ? 2,3,?, n , i 位司机将车停在离第 i ?1 为司机所停车位 bi 处的下面的第 1 个可用车位上. 对 第 当 且仅当那个最后空出的车位是虚拟车位时,得到一个符合要求的数组 (a1 , a2 ,? , an ) .注意到,通过旋转 第一位司机所在的位置,我们可用使空车位就是那个虚拟车位.所以,数组 (b2 , b3 ,?, bn ) 的组数就是满足 条件的数组 (a1 , a2 ,? , an ) 的组数,从而有 (n ? 1)
n ?1

个满足条件的数组 (a1 , a2 ,? , an ) .

6


2010年全国数学联赛最新模拟试题(四)---2010年3月

2010年全国数学联赛最新模拟试题(四)---2010年3月 隐藏>> 高中数学竞赛模拟试题(四)一试一、填空题: 1.用 [ x] 表示不大于实数 x 的最大整数.方程 lg ...

2010年全国数学联赛最新模拟试题(五)---2010年3月

数学联赛模拟试(五)一.填空题: (共 8 道,每题 7 分,共 56 分) 1. ...去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四 边形, 则这样的平面 ? 的个数有 ....

2010年全国数学联赛最新模拟试题(三)---2010年3月

2010年全国数学联赛最新模拟试题()---2010年3月_学科竞赛_初中教育_教育专区...2 y ? ? 四、 (50 分)证明:对于大于 2 的任意正整数 a ,存在无限多个...

2010年全国高中数学联赛模拟题四

问: (06 上海竞赛) 2010 年全国高中数学联赛模拟题 4 参考答案 一试 1、 ( ?3. ? 1) 33, a1 = 2, 4、 2、 17 9 an +1 an ? = 1(n ∈...

2010年全国联赛模拟试题四

关键词:模拟试卷数学联赛 1/2 相关文档推荐 2010年全国数学联赛最新模... 暂无...1 ,从而对于固定的 d,这种子 d 9 3 9 9 5 2 7 8 4 5 1 2 2 7 ...

全国2010高中数学联赛模拟试题四

全国高中数学联赛模拟试题(四)(命题人:刘康宁) 第一试一、 选择题(每小题 6...4 3R . 3a 三、可能解为 (100,100,100) , (100,110,121) , (100,...

(竞赛)全国2010高中数学联赛模拟试题(4)

全国高中数学联赛模拟试题(4)(命题人:刘康宁) 第一试一、 选择题(每小题 6...(a,b,c)的所有可能的解. 四、 (20 分)在三棱锥 D-ABC 中,AD=a,BD=...

2010年全国高中数学联赛模拟题3

2010年全国高中数学联赛模拟题3_初三数学_数学_初中教育_教育专区。竞赛模拟试题...an +1 = 3、 (本题 50 分)空间六点,任三点不共线,任四点不共面,成对...

2010年全国高中数学联赛模拟试题

2009 年全国高中数学联赛模拟试题方廷刚 (四川省成都七中 一、填空题(共 56 ...四、数学实验班共 30 名学生, 每个学生在班内都有同样多的朋友(朋友是相互的...

全国数学联赛模拟试题

2010年全国数学联赛最新模... 暂无评价 5页 免费 全国高中数学联赛模拟试题.....·(a/2)l≥(3 /4)a>a.22 四、将Ax+By+C=0, 变形为 1=-(Ax+By)...