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2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算夯基提能作业本理

时间:2017-10-29


第一节

变化率与导数、导数的计算
A 组 基础题组

1.已知函数 f(x)= cos x,则 f( π )+f '

=(

)

A.-

B.-

C.- D.) )

2.已知 f(x)=x(2 016+ln x),若 f '(x0)=2 017,则 x0 等于( A.e
2

B.1

C.ln 2 D.e
x

3.(2016 济宁模拟)曲线 y=xe +2x-1 在点(0,-1)的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1 B.y=- 3x-1 D.y=-3x-1

4.(2016 贵州贵阳一模,6)曲线 y=xe 在点(1,e)处的切线与直线 ax+by+c=0 垂直,则 的值为(

x

)

A.-

B.- C.

D. )

5.(2016 重庆适应性测试)若直线 y=ax 是曲线 y=2ln x+1 的一条切线,则实数 a=(

A.

B.2

C.

D.2 . .

6.(2014 江西,11,5 分)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是 7.已知 f(x)=3ln x-2xf '(1),则曲线 y=f(x)在点 A(1,m)处的切线方程为 8.曲线 y=aln x(a>0)在 x=1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 4,则 a= 9.求下列函数的导数: (1)y=x·tan x; .

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);

(3)y=

.

1

10.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的 值,并判断两切 线是否为同一条直线.

B 组 提升题组

11.(2017 河南郑州二中期末)下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R)的导函数 y=f '(x)的图象,则 f(-1)=( )

3

2

2

A.

B.- C.

D. - 或

12.已知 f(x)=ln x,g( x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且与 f(x)图象的切点为 (1, f(1)),则 m 的值为( A.-1 B.-3 C.-4
2

2

) D.-2 .

13.若点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为

14.函数 f(x)=
3

的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于
2

.

15.已知函数 f(x)=x +(1-a)x -a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线 斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.

2

16.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值, 并求此定 值.

3

答案全解全析 A 组 基础题组

1.C ∵f(x)= cos x,∴f '(x)=- cos x+ ·(-sin x),∴f(π )+f '

=- + ·(-1)=- .

2.B x0=1.

f '(x)=2 016+ln x+x× =2 017+ln x,由 f '(x0)=2 017,得 2 017+ln x0=2 017,则 ln x0=0,解得

3.A 由题意得 y'=(x+1)e +2,则曲线 y=xe +2x-1 在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e +2=3,故曲线 y=xe +2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为 y+1=3x,即 y=3x-1.
x

x

x

0

4.D

y'=e +xe ,则 y'|x=1=2e,∵切线与直线 ax+by+c=0 垂直,∴- =- ,∴ = ,故选 D.

x

x

5.B 依题意,设直线 y=ax 与曲线 y=2ln x+1 的切点的横坐标为 x0,对于 y=2ln x+1,易知 y'= ,则有

y'

= ,于是有

解得 x0=

,a=2

,选 B.

6. 答案 (e,e) 解析 令 f(x)=xln x,则 f '(x)=ln x+1,设 P(x0,y0),则 f '(x0)=ln x0+1=2,∴x0=e,此时 y0=x0ln x0=eln e=e,∴点 P 的坐标为(e,e). 7. 答案 x-y-3=0

解析 由题意得 f '(x)= -2f '(1),所以 f '(1)=3-2f '(1),即 f '(1)= 1.∴m=f(1)=-2f '(1)=-2,所以 所求切线方程为 y+2=x-1,即 x-y-3=0. 8. 答案 8

解析 令 f(x)=y=aln x,则 f '(x)= ,∴在 x=1 处的切线的斜率为 a,∵f(1)=aln 1=0,故切点为(1,0),∴ 切线方程为 y=a(x-1),令 y=0,得 x=1;令 x=0,得 y=-a,∵a>0,∴所围 成的三角形的面积为

×a×1=4,∴a=8. 9. 解析 (1)y'=(x·tan x)'=x'tan x+x(tan x)'

4

=tan x+x·

'=tan x+x·

=tan x+

.

(2)y'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+ x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x +12x+11.
2

(3)因为 y=

=

=e +e -

x

-x

=e +e -

x

-x

,

所以 y'=(e )'+(e )'-

x

-x

'

=e -e -

x

-x

.

10. 解析 易知:曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f '(1)=3,曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g'(1)=-a.又 f '(1)=g'(1),所以 a=-3.因 为曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0;曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1),得 y+6=3(x-1), 即切线方程为 3x-y-9=0,所以两切线不是同一条直线. B 组 提升题组 11.D ∵f '(x)=x +2ax+a -1,∴f '(x)的图象开口向上,则排除②④.若 f '(x)的图象为①,则 a=0,
2 2

f(-1)= ;

若 f '(x)的图象为③,则 a -1=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=- .综上知选 D.

2

12.D ∵f '(x)= ,∴直线 l 的斜率 k=f '(1)=1,又 f(1)=0,∴切线 l 的方程为 y=x-1.

g'(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= m=-2. 13. 答案

+mx0+ (m<0),由此可解得

5

解析 由 y=x -ln x,得 y'=2x- (x>0),

2

设点 P0(x0,y0)是曲线 y=x -ln x 上到直线 y=x-2 的距离最小的点,则 y'

2

=2x0- =1,解得 x0=1 或

x0=- (舍). ∴点 P0 的坐标为(1,1).

∴所求的最小距离=

=

.

14. 答案 解析 f '(x)

=

=

,

则 f '(-1)=-4,故切线方程为 y=-4x-2,切线在 x,y 轴上的截距分别为- ,-2,故所求三角形的面积为 . 15. 解析 f '(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2).
2

(1)由题意得 解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,所以关于 x 的方程 3x +2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相
2

等的实数根,所以 Δ =4(1-a) +12a(a+2)>0,即 4a +4a+1>0,所以 a≠- .所以 a 的取值范围为

2

2



.

16. 解析 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3,当 x=2 时,y= ,故 2a- = .

又 因为 f '(x)=a+ ,则有 a+ = ,所以 a=1,b=3.故 f(x)=x- .
6

(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f '(x)=1+ ,则曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为

y-y0=

(x-x0),

即 y-

=

(x-x0).

令 x=0,得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为

.

令 y=x,得 x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).

所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为

|2x0|=6.

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

7


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