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【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.2.1 第2课时 排列2

时间:2015-03-27


选修 2-3

第一章

1.2

1.21

第 2 课时

一、选择题 1. 用 1、 2、 3、 4、 5 这五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中奇数的个数为( A.36 C.40 [答案] A 3 [解析] 奇数的个位数字为 1、3 或 5,偶数的个位数字为 2、4

.故奇数有 A3 =36 个. 5 5 2.(2014· 辽宁理,6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 C.72 [答案] D [解析] 就座 3 人占据 3 张椅子,在其余 3 张椅子形成的四个空位中,任意选择 3 个, 插入 3 张坐人的椅子,共有 A3 4=24 种不同坐法,故选 D. 3.5 个人排成一排,如果甲必须站在排头或排尾,而乙不能站在排头或排尾,那么不 同站法总数为( A.18 C.48 [答案] B
1 [解析] 甲在排头或排尾站法有 A1 2种,再让乙在中间 3 个位置选一个,有 A3种站法, 1 1 3 其余 3 人有 A3 A3· A3=36 种站法. 3种站法,故共有 A2·

)

B.30 D.60

B.120 D.24

) B.36 D.60

4.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( A.A6 6 C.A3 A3 3· 3 [答案] D B.3A3 3 D.4!· 3!

)

[解析] 甲、乙、丙三人站在一起有 A3 3种站法,把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列有
3 4 A4 A4种.故选 D. 4种,∴共有 A3·

5.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人 参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( A.20 种 C.40 种 B.30 种 D.60 种 )

[答案] A
2 [解析] 分三类:甲在周一,共有 A4 种排法;

甲在周二,共有 A2 3种排法; 甲在周三,共有 A2 2种排法;
2 2 ∴A2 4+A3+A2=20.

6. 由数字 0、 1、 2、 3、 4、 5 可以组成能被 5 整除, 且无重复数字的不同的五位数有(
3 A.(2A4 5-A4)个 3 B.(2A4 5-A5)个

)

C.2A4 5个 [答案] A

D.5A4 5个

[解析] 能被 5 整除,则个位须为 5 或 0,有 2A4 5个,但其中个位是 5 的含有 0 在首位
4 3 的排法有 A3 4个,故共有(2A5-A4)个.

[点评] 可用直接法求解:个位数字是 0 时有 A4 5种;个位数字是 5 时,首位应用 1、2、
4 3 3、4 中选 1 个,故有 4A3 4种,∴共有 A5+4A4个.

二、填空题 7 .三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 ________. [答案] 24 [解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可. ∴有 A3 4=24 种不同坐法. 8. 在所有无重复数字的四位数中, 千位上的数字比个位上的数字大 2 的数共有________ 个. [答案] 448 [解析] 千位数字比个位数字大 2,有 8 种可能,即(2,0),(3,1)?(9,7)前一个数为千位 数字,后一个数为个位数字.其余两位无任何限制. ∴共有 8A2 8=448 个. 9.2014 年某地举行博物展,某单位将展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不 同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作 品必须相邻, 2 件绘画作品不能相邻, 则该单位展出这 5 件作品不同的方案有________种. (用 数字作答) [答案] 24 [解析] 将 2 件书法作品排列,方法数为 2 种,然后将其作为 1 件作品与标志性建筑设 计作品共同排列有 2 种排法, 对于其每一种排法, 在其形成的 3 个空位中选 2 个插入 2 件绘 画作品,故共有不同展出方案:2×2×A2 3=24 种.

三、解答题 10.一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?
2 [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5 种排法,再将剩余的 3 2 6 个演唱节目,3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A6 6种排法,故共有不同排法 A5A6=14400

种. (2)先不考虑排列要求,有 A8 8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 5
4 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置, 然后将剩余四个节目排列在后四个位置, 有 A4 5A4 4 4 种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A8 8-A5A4)=37440 种.

一、选择题 11.用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位数字的 六位数共有( A.300 个 C.600 个 [答案] A [解析] 解法 1:确定最高位有 A1 5种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个 数字中取 3 个排列,共有 A3 5种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分 步乘法计数原理知,共有 A1 A3 5· 5=300(个). 1 解法 2: 由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半, 故有 A1 · A5 2 5 5 =300(个). 12.(2014· 郑州网校期中联考)从 6 个人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个 城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴 黎游览,则不同的选择方案共有( A.300 种 C.144 种 [答案] B [解析] 先从除甲、乙外的 4 人中选取 1 人去巴黎,再从其余 5 人中选 3 人去伦敦、悉 尼、莫斯科,共有不同选择方案,A1 A3 4· 5=240 种. 13.(2014· 四川理,6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排 甲,则不同的排法共有( A.192 种 ) B.216 种 ) B.240 种 D.96 种 ) B.464 个 D.720 个

C.240 种 [答案] B

D.288 种

[解析] 分两类:最左端排甲有 A5 5=120 种不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在
4 最右端,所以有 C1 4A4=96 种不同的排法,由加法原理可得满足条件的排法共有 120+96=

216 种. 14. 某地为了迎接 2013 年城运会, 某大楼安装了 5 个彩灯, 它们闪亮的顺序不固定. 每 个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同, 记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁. 在每个闪烁中, 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮, 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒. 如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是 ( ) A.1205 秒 C.1195 秒 [答案] C
5 [解析] 由题意每次闪烁共 5 秒, 所有不同的闪烁为 A5 个, 相邻两个闪烁的时间间隔为 5 5 5 秒,因此需要的时间至少是 5A5 +(A5 -1)×5=1195 秒.

B.1200 秒 D.1190 秒

[点评] 本题情景新颖,考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问 题的能力、分析解决问题的能力. 二、填空题 15.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为________. [答案] 576
6 4 [解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件, 由间接法可得 A6 -A3 3A4=

576. [点评] 不能都站在一起,与都不相邻应区分. 16.如图是一个正方体纸盒的展开图, 若把 1,2,3,4,5,6 分别填入小正方形后, 按虚线折成 正方体,则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是__________________.

[答案]

1 15

[解析] 6 个数任意填入 6 个小正方形中有 6! =720 种方法; 将 6 个数分三组(1,6), (2,5), (3,4),每组中的两个数填入一对面中,共有不同填法 A3 3×2×2×2=48 种,故所求概率 P= 48 1 = . 720 15

三、解答题 17.用 0、1、2、3、4 五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数 字的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重 复数字的五位奇数. [解析] (1)各个数位上的数字允许重复, 故由分步乘法计数原理知, 共有 4×5×5×5×5 =2500(个).
1 (2)方法一:先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有 A4 种填法,其余四个位置四个数字共有

A4 4种, 故共有 A1 A4 4· 4=96(个). 方法二:先排 0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A1 4种方法,其余四 个数字全排有 A4 4种方法, 故共有 A1 A4 4· 4=96(个). (3)构成 3 的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3 的倍数,按取 0 和不取 0 分类:
1 2 ①取 0, 从 1 和 4 中取一个数, 再取 2 进行排, 先填百位 A1 其余任排有 A2 故有 2A2 · A2 2, 2,

种. ②不取 0,则只能取 3,从 1 或 4 中再任取一个,再取 2 然后进行全排为 2A3 3,所以共
2 3 有 2A1 2A2+2A3=8+12=20(个). 1 (4)考虑特殊位置个位和万位,先填个位,从 1、3 中选一个填入个位有 A2 种填法,然后

从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位,有 A1 3种填法,包含 0 在内还有 3 个数在中间三位置
1 1 3 上全排列,排列数为 A3 A3· A3=36(个). 3,故共有 A2·

18.4 个男同学,3 个女同学站成一排. (1)3 个女同学必须相邻,有多少种不同的排法? (2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? (3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种? (4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法? (5)若 3 个女生身高互不相等,女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法? [解析] (1)3 个女同学是特殊元素,她们排在一起,共有 A3 3种排法;我们可视排好的女 同学为一整体,再与男同学排队,这时是 5 个元素的全排列,应有 A5 5种排法,由分步计数
5 乘法原理,有 A3 3A5=720 种不同排法.

(2)先将男生排好,共有 A4 4种排法,再在这 4 个男生之间及两头的 5 个空档中插入 3 个
4 3 女生有 A3 5种方案,故符合条件的排法共有 A4A5=1440 种不同排法.

(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有 A3 A4 3· 4=144 种. (4)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有 A4 4种排法;由于甲、乙要相邻,故再把甲、 乙排好,有 A2 2种排法;最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档

4 2 2 中有 A2 5种排法.这样,总共有 A4A2A5=960 种不同排法.

(5)从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,则有 A4 7种排法.然后再在余下的 3 个空位 置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这样总共有 A4 7=840 种不同 排法.


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