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2018高考数学基础知识训练(4)

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2018 高考数学基础知识训练(4)
一、填空题 1.若 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? ___________
2 2

?

?

?

?

2.若 a>2,则函数 f ( x ) ?

r />
1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间(0,2)上恰好有_______个零点 3

3.曲线 y ? 4 x ? x3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是 4.若函数 f ?x ? 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f ?x ? = 5.若 g ( x ) ? ?

?e x ( x ? 0) ?ln x ( x ? 0)

,则 g ( g ( ) ?

1 2

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 6.设奇函数 f ( x) 在 (0,
集为__ _____

f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解 x

7.若 sin(? ? ? ) ? 8.已知 sin(? ?

1 1 tan? , sin( a ? ? ) ? ,则 ? _______________. 2 3 tan ? 1 ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? ? _______________. 3 2

?
4

)?

9. sin 10? cos 20? cos 40? ? _______________. 10.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是

11.若

1 1 1 1 3? ? ? cos 2? ? _______________. ? ? ? 2? ,则 2 2 2 2 2

12.在 ?ABC 中,已知 sin A ?
2 ? ?( x ? 1) 13.设函数 f(x)= ? ? ?4 ? x ? 1

3 5 , cos B ? ,则 cos C ? _______________. 5 13
x ? 1, x ? 1,
则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围

为_______________. 14.已知 ? 、 ? 为一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中错误 的是__________. .. ① tan? tan? ? 1 ; ③ cos? ? cos ? ? 1 ; ② sin ? ? sin ? ? ④

2;

1 ? ?? tan(? ? ? ) ? tan . 2 2

二、解答题 15.已知

3 3? ? ? ? ? , sin ? cos ? ? ? ; 10 4
5 sin 2

?
2

(1)求 tan ? 的值; (2)求

? 8 sin

?
2

cos

?
2

? 11cos2

?
2

?8


2 sin(? ? ) 2

?

16.求下列直线的方程: (1)曲线 y ? x3 ? x2 ? 1 在 P(-1,1)处的切线; (2)曲线 y ? x 2 过点 P(3,5)的切线.

17.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

18.设命题 p : 函数 f ( x) ? (a ? ) x 是 R 上的减函数,命题 q : 函数

“ p 或 q ”为真命题,求 a 的取值范 ?0, a? 的值域为 ??1,3? .若“ p 且 q ”为假命题, 围.

3 2

f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 在

19. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千 米/小时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米; (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

20.设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

参考答案: 1. {?1} 2.1 3. y ? x ? 2

1 x 1 5. 2
4. 6、 (?1 , 0) ? (0, 1) 7、5; 8、 ? 9、

7 ; 9

1 ; 8

10、 [? 3, 3] ; 11、 sin 12、

?
2



16 65

13、x≤-2 或 0≤x≤10 14、④

15. (1)因为

3? 3 ? ? ? ? 所以 ? 1 ? tan ? ? 0 又 sin ? cos ? ? ? 4 10 sin ? cos ? tan ? 3 ? ? ? 即 3 tan2 ? ? 10 tan? ? 3 ? 0 所以 2 2 2 10 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 1 解得: tan ? ? ?3 或 tan ? ? ? ,又 ? 1 ? tan ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? . 3 3

(2)原式 ?

(5 sin 2

?
2

? 5 cos 2

?
2

) ? 4 sin ? ? 6 cos 2

?
2

?8

? 2 cos ? 5 ? 4 sin ? ? 6 cos 2 ? 2 cos ?

?
2

?

?8

?

4 sin ? ? 6 cos 2

?
2

?3

? 2 cos ?

?

4 sin ? ? 3 cos? ? 2 cos?

? ?2 2 tan? ?

3 2 5 2 ?? 2 6

16.解: (1) ? 点P(?1,1)在曲线y ? x3 ? x2 ? 1上, ? y / ? 3x2 ? 2x ? k ? y/ |x ?-1? 3-2 ? 1
即x ? y ? 2 ? 0 所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,

(2)显然点 P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为 A( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x02 ①又函数的导数 为 y / ? 2x , 所以过 A( x0 , y0 ) 点的切线的斜率为 k ? y / |x? x0 ? 2x0 ,又切线过 A( x0 , y0 ) 、P(3,5)点,所以 有 2 x0 ?
y0 ? 5 ? x0 ? 5 ②,由①②联立方程组得, ? x0 ? 1 或 ? ,即切点为(1,1)时,切线斜 ? x0 ? 3 ? y0 ? 1 ? y0 ? 25

率为 k1 ? 2 x0 ? 2; ;当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有两条,
即y ? 2 x ? 1 或y ? 10 x ? 25 方程分别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5),

17.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3

(2) y ? ?6x3 ? 9x2 , y' ? ?18x2 ? 18x ,令 y' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0
3 2 3 5 ?a? 2 2

18、

P 真 ? (a ? ) ? (0,1) ?

? f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1的值域为[—1,3]
?2 ? a ? 4
? 9真 ? 2 ? a ? 4
由题意知 p、q 中有一个为真命题,一个为假命题

5 ?3 ? ?a? 1°p 真 q 假 ? 2 2 ? ?a ? 2或a ? 4
? 3 ?a?2 2

3 5 ? ?a ? 或a ? 2°p 假 q 真 ? 2 2 ? ?2 ? a ? 4

?

5 ?a?4 2

3 5 ? 综上所述 a 的取值范围为 ( ,2) ? [ ,4] 2 2

19、解: (1)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80 100 (2) 当速度为 x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了 小时, 设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4 3 3 x 800 x ? 80 h '( x) ? ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2 令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 ? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25. 因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千 米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 20、解:(1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ? ∴当 x ? ? 2或x ?

2

2时f ?( x) ? 0,当 ? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (??,? 2 )及( 2,??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?

2, f ( x)有极小值 5?4 2

(2)由(1)的分析可知 y ? f ( x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f ( x) ? ? 有三解( (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
2

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3


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