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2006-2011广东高考文科数学立体几何大题

时间:2014-05-23


(2006)17、(本题 14 分)如图 5 所示, AF 、 DE 分 直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ? 8 . BC
AB ? AC ? 6 , OE // AD .

D

O1

别是 O 、 O1 的

E



O 的直径,

(I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角.

C

O 解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, B ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD —F 的平面角, 图5 0 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=45 . 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则 O(0,0,0),

A

F

A(0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0,8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD , EF ??

BD ? FE | BD || FE |

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82

?

82 10

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ,则 cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

82 10

(2007) 17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S 【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. …………………3 (2) V ? 64 ……………7 分 (3) S ? 40 ? 24 2 ………
A

P

分 12分
D

(2008) 18.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆

的内接四边形, 其中

B C

BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD. (1)求线段 PD 的长;
(2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积. 解:(1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD. 所以

AD DP AD ? , DP ? BA AD BA

2

? BD sin 60 ? ? 4R ? 4 ? 3R ? ? BD sin 30 ? 2R ? 1
2

3

2

(2)在 Rt BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R
2 2 2 2 2

所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD

? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 AB ? BC sin ? 60 ? 45 ? ? R ? 2 R ? ? ? ? ? R ? ? ? 2 2 2 2 2 ? 4 ? 2 三棱锥 P ? ABC 体积为 1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4 S
ABC

?

(2009) 17.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长 方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH ,

? cm ?
2

? PO ? HF

又 EG ? HF 又 BD P HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;
w_w w. k#s5_u.c o*m

(2010) 18.(本小题满分 14 分) 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三 等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 18.法一:(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD ,FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD
w_w*w.k_s_5 u .c*o*m

又∵

FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形
由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

在 Rt ?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ V F ? BDE ?

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 EB ? FBD 又∵ 平面 ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt ?FCD 中, FD ?

5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ? 2012 18.(本小题满分 13 分)

如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB. 解:
? PH为?P AD中的高

(1):? PH

? AD

又AB ? 面P AD, PH ? 平面P AD ? PH ? AB AB ? AD ? A 所以P H ? 平面ABCD

(2):过 B 点做 BG BG ? CD,垂足为G ;
连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ? BPH 的中位线

?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD
?EM ? 平面BCF
即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高
EM= 1 1 PH ? 2 2

S ?BCF ?

1 FC ? BG = 1 ? 1 ? 2 ? 2 ………………………………………………………………………6 分 2 2 2

1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12

(3):取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ
? AB // CD , CD ? 平面P AD ? AB ? 平面P AD, PA ? 平面P AD ? AB ? PA 又 ? EN是?P AB的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 又 ? DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N
? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB ?四边形NADF 是距形 ? AB ? NF NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF

2013. 18.(本小题满分 13 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中

点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ;(2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 . 2

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

解:(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立, DB EC
DE ? 平面 BCF ,

? DE / / BC ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

1 . 2

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324


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