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2006.12.24竞赛辅导(一)集合


竞赛辅导(一)集合
引入 知识要点

思考1

思考2

思考 3

课外思考
1

竞赛辅导(一)集合
关于竞赛学习的三个可操作性方向 1.在原有知识的基础上抬高一点; 2.尽量在现有学习的内容中去寻找思维训练点 ; 3.以有关竞赛用书的知识结构为

框架来拓展

2

集合 1.反演律: 痧 U ( A ? B) ? (
U

A) ? (? U B)

痧 U ( A ? B ) ? ( U A) ? (? U B) 2.容斥原理:设 Card ( X ) 表示集合 X 所含元素的个数, ⑴ Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card ( A ? B) , ⑵ Card ( A ? B ? C ) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card (C ) - Card ( A ? B) ? Card ( A ? C ) ? Card ( B ? C ) ? Card ( A ? B ? C ) n 3. 一个 n 阶集合(即由 n 个元素组成的集合)有 2 个 n n 不同的子集,其中有 2 -1 个非空子集,有 2 -1 个 真子集.
3

思考 1: 设 A = { a | a = x2 ? y2 , x , y ? Z }, 求证:⑴ 2k ? 1 ∈ A ( k ? Z ); ⑵ 4k ? 2 ? A (k ? Z ) .

解:⑴∵ k , k ? 1 ∈ Z 且 2k ? 1 = k 2 ? (k ? 1)2 , ∴ 2k ? 1 ∈ A ;
⑵假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x2 ? y2 即 ( x ? y )( x ? y ) ? 2(2k ? 1) (*) 由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以( *) 式左边有且仅有两种可能: 奇数或 4 的倍数, 另一 方面, (*)式右边只能被 4 除余 2 的数,故(*) 式不能成立.由此, 4k ? 2 ? A(k ? Z ) .
4

练习

练习: 1. x ?
1 1 log 1 3 2 ? 1 1 log 1 3 5

的值属于区间( D ) (C) (?3, ?2) )

(A) (?2, ?1) (B) (1, 2)

?x x ? x log x ? 2 2.若 ,则有( 2

?

?

(D) (2, 3) A

(A) x 2 ? x ? 1 (B) x 2 ? 1 ? x (C) 1 ? x ? x 2 (D) x ? 1 ? x 2

5

思考 2: 设 A={n|100≤ n≤ 600,n∈ N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 70 ______________.
解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整除, ?2 56 n? n? 2 n? 2 则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57 n . ? ? 8 n ? 7 7 7 即 n-2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70
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练习

练习 1.平面点集

M= ( x , y ) x 2 ? 2 x ? 2 ≤ y ≤ 6 x ? x 2 ? 3, 且x , y ? Z 中 元

8 素的个数是 ______. ? ? 1 1 ? ? 2. 集 合 ? n ? ? log 1 2 ? ? , n ? N ? 的 真 子 集 的 个 数 为 2 3 ? ? n ? ? 7 ___. 0 3.集合 M= ? x cos x ? lg sin x ? 1? 中元素的个数为 ______.

?

?

4.设集合 M ? ??1,0,1? , N ? ?2,3,4,5,6? ,映射 f : M ? N , 则对任意 的 x ? M , x ? f ( x ) ? xf ( x ) 恒为奇数的映射 f 50 的个数为_______. (A)122 (B)15 (C)50 (D)27
7

思考 3:集合 A={(x,y) x ? mx ? y ? 2 ? 0 },
2

集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ≤ x ≤ 2 }, 又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围 .
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解:由 ? 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 设 f ( x ) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 1
m ?1 0 ? ? ? ? 2 ≤2 或f (2) ≤ 0 由数形结合得: ? 2 ? ? ? ? ( m ? 1) ? 4 ≥ 0 解得: m ≤ ?1

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练习

练习

y?3 1.设全集 I ? {( x, y) x, y ? R} ,集合 M ? {( x , y ) ? 1} , x?2 N ? {( x, y) y ? x ? 1} ,那么 CI M ? CI N 等于 (B )
(A) ? (B){(2,3)} (C)(2,3) (D) {( x, y) y ? x ? 1} 2.已知 A ? { x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R} , 若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 ?4 ≤ a. ≤ -1 3.已知集合 M= ( x , y ) y ? 2 x ? x 2 ,
B ? { x 21? x ? a ≤ 0, 且x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ≤ 0, x ? R} .

? 3? ? 0, ? 3 ? ? N= ?( x, y ) y ? k ( x ? 1)? ,当 M ? N ? ? 时 , k 的取值范围是 _____.
2详细答案

?

?

9

1. B M 表示直线 y ? x ? 1 上除去点(2,3)的部分, C I M 表示点(2,3)和除去直线 y ? x ? 1 的部分, C I N 表示直线 y ? x ? 1 上的点集, 所以, CI M ? CI N 表示的点集仅有点 (2,3),即 {(2, 3)} . 2. ?4 ≤ a ≤ ?1 . 依题意可得 A ? { x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x ) ? 21? x ? a , g( x) ? x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在 (1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 , g (1) ≤ 0 , g(3) ≤ 0 ,由此可解得结果 . 3.数形结合
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