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【创新设计】第8篇 第7讲 抛物线


第7讲 [最新考纲]

抛物线

率 准线 方程 范围 开口 方向

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.

知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)的距离___

_______的点的轨迹叫做抛物线. 点F 叫做抛物线的_____________,直线 l 叫做抛物线的________________. (2)其数学表达式:|MF|=d(其中 d 为点 M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 1.对抛物线定义的认识

辨 析 感 悟

(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( (2)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4.( 2.对抛物线的标准方程与几何性质的理解 1 (3)(2013· 北京卷改编)若抛物线 y=ax2 的焦点坐标为(0,1),则 a=4,准线方程为 y=-1. ( ) ) )

)

图形

(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那 么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a.( )

标准方 程 续表 顶点 对称 性 质 轴 焦点 离心
1

考点一 p 的几何意义:

抛物线的定义及其应用

【例 1】 (2014· 深圳一模)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 ). D.1∶3

【训练 1】 (2014· 山东省实验中学诊断)已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点, 点 P 在 y 轴上 的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a),则当|a|>4 时,|PA|+|PM|的最小值是________. 考点二 抛物线的标准方程与几何性质

【例 2】 (2014· 郑州一模)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B,

交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x
2 2

). 教你审题 9——灵活运用抛物线焦点弦巧解题 【典例】 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点? ,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9.? (1)求该抛物线的方程;

D.y2= 3x

1 1 【训练 2】 (2014· 兰州一模)已知圆 x +y +mx-4=0 与抛物线 y=4x2 的准线相切,则 m = ( A.± 2 2 ). B. 3 考点三 C. 2 D.± 3

直线与抛物线的位置关系

→ → → (2)O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,? 若OC=OA+λOB,求 λ 的值.

【例 3】 (2013· 湖南卷)过抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2 的两条不 同直线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1 与 E 相交于点 A,B,l2 与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. → → (1)若 k1>0,k2>0,证明:FM· FN<2p2; 7 5 (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 5 ,求抛物线 E 的方程. 【自主体验】 1.(2012· 安徽卷)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则 |BF|=________. 25 2.(2012· 重庆卷)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=12,|AF| <|BF|,则|AF|=________. 【训练 3】 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; 一、选择题 y2 1.(2013· 四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- 3 =1 的渐近线的距离是( 1 A.2 3 B. 2 C.1 D. 3 ). 基础巩固题组

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m,n 距离的比值.

2

2. (2014· 济宁模拟)已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切, 则 p 的值 为( A.1 ). B.2 1 C.2 D.4 ).

10.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. → → (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; (2)求证:OA· OB是一个定值.

3.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( A.y=12x2 C.y=-36x2 B.y=12x2 或 y=-36x2 1 1 D.y=12x2 或 y=-36x2
2

能力提升题组 一、选择题 x2 y2 1.已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到 双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= 3 y 16 3 B.x2= 3 y C.x2=8y ). D.x2=16y

x2 y2 4.(2014· 潍坊一模)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 与双曲线 4 - 5 =1 的右焦点重合, 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K, 点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|, 则 A 点的横坐标为( A.2 2 B.3 C.2 3 D.4 ).

x2 y2 5.(2013· 天津卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准 线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p =( A.1 二、填空题 6.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是________. 7.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的横坐标 x0 =________. x2 y2 8.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 3 - 3 =1 相交于 A,B 两点,若△
2

2.(2014· 洛阳统考)已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是( ). C.2 D. 5-1

). 3 B.2 C.2 D.3

A. 3 二、填空题

B. 5

x2 y2 3.(2014· 郑州二模)已知椭圆 C:4 + 3 =1 的右焦点为 F,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线 为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120° ,那么|PF|= ________. 三、解答题 4.(2013· 辽宁卷)如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 x0=1- 2时, 1 切线 MA 的斜率为-2. (1)求 p 的值;(2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时, 中点为 O).
3

ABF 为等边三角形,则 p=________. 三、解答题 9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离为 5, 求抛物线的方程和 m 的值.


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