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2013理科二模-上海市闸北区高三数学


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——闸北区数学(理科)

2013 年上海市闸北区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得 6 分,否则一律得零分.
<

br />1 1. i 为虚数单位, 设 集合 A ? ? ,?1, i,?i?, 集合 B ? ?i10 ,1 ? i 4 , (1 ? i)(1? i),
2.函数 y ? sin x(?
2
3 4

?
2

? ?

1? i? 则 ?, A? B ? 1? i?



? x ? 0) 的反函数为




6 3. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为

4. 一个袋中装有大小相同的黑球、 白球和红球共 10 个. 已知从袋中任意摸出 1 个球, 得到黑球的概率是 从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

2 ; 5

? ,则随机变量 ? 的数学期望 E? ? . 5.半径为 r 的球的内接圆柱的最大侧面积为 . 6. M ?x, y, z ? 为空间直角坐标系内一点, M 在 xOy 平面上的射影 P 的极坐标为 ?? ,? ?(极坐标系以 O 设 点 为极点,以 x 轴为极轴) ,则我们称三元数组 ?? ,? , z ? 为点 M 的柱面坐标.已知 M 点的柱面坐标为 ? ? ? . ? 6, ,?1? ,则直线 OM 与 xOz 平面所成的角为 ? 3 ? 7 . 设 y ? f (x) 为 R 上 的 奇 函 数 , y ? g (x) 为 R 上 的 偶 函 数 , 且 g ( x) ? f ( x ? 1) , g (0) ? 2 . 则 f (x) ? . (只需写出一个满足条件的函数解析式即可)
8.某商场在节日期间举行促销活动,规定: (1)若所购商品标价不超过 200 元,则不给予优惠; (2)若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元,则超过 200 元的部分给予 9 折优惠; (3)若所购商品标价超过 500 元,其 500 元内(含 500 元)的部分按第(2)条给予优惠,超过 500 元 的部分给予 8 折优惠. 某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元,则该件家电在商场标价为 . 9 . 设 OA ? ?x, a ? x? , OB ? ?x,2? , x ? ?1,2? , 且 OA ? OB , 则 函 数 f ( x) ? lo ga 为 .

7 .从袋中任意摸出 2 个球,记得到白球的个数为 9

1 x ?1 的最大值 a

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题 纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10.命题“对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 ”的否定是 【 】 A.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 C.存在 x0 ? R , f ( x0 ) ? 0
x x

B.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 D.存在 x0 ? R , f ( x0 ) ? 0

11.设函数 f ( x) ? lg(a ? b )(a ? 1 ? b ? 0) ,若 f (x) 取正值的充要条件是 x ? [1,??) ,则 a , b 满足 【 】 A. ab ? 1 B. a ? b ? 1 C. ab ? 10 D. a ? b ? 10

闸北区 2013 高三数学二模(理科)

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12.在 xOy 平面上有一系列的点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y 2 ) ,?, Pn ( xn , y n ) ,?, 对于所有正整数 n ,点 Pn 1 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图像上,以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴相切,且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 又彼此外切, 若 x1 ? 1 ,且 xn?1 ? xn .则 lim nx n ? 【
n ??

】 D.1

A.0

B.0.2

C.0.5

三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13.本题满分 14 分 已 知 a ? ( c o? , s i n ) 和 b ? ( 2 ? sin ? , cos? ) , ? ? (? ,2? ) , 且 | a ? b |? s ?

?? ? ? cos? ? ? 的值. ?2 8?

8 2 ? ,求 sin 与 5

14.本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁” .现测得底面 ABCD 是矩形, AB ? 16 米, AD ? 4 米,腰梁 AE 、 BF 、 CF 、 DE 分 别与相交的 底梁所成角均为 60 . (1)请指出所有互为异面的且相互垂直 的“梁” ,并说明理由; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可 储存多少立方米粮食?
?

15.本题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分 和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹.在空间直 角坐标系 O ? xyz 中,空间曲面的方程是一个三元方程 F ( x, y, z ) ? 0 . 设 F1 、 F2 为 空 间 中 的 两 个 定 点 , | F1 F2 |? 2c ? 0 , 我 们 将 曲 面 ? 定 义 为 满 足

| PF1 | ? | PF2 |? 2a (a ? c) 的动点 P 的轨迹. (1)试建立一个适当的空间直角坐标系 O ? xyz ,求曲面 ? 的方程; (2)指出和证明曲面 ? 的对称性,并画出曲面 ? 的直观图.

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16.本题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分
?

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn , bn ? an ? n ? 2n?1 .
n

其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和. (1)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 与 {bn } 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

17.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

3 1 , ) 的距离与到定直线 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0 的 2 2 ? 距离相等的动点 P 的轨迹,曲线 C 2 是由曲线 C1 绕坐标原点 O 按顺时针方向旋转 30 形成的. (1)求曲线 C1 与坐标轴的交点坐标,以及曲线 C 2 的方程; (2)过定点 M 0 (m,0) (m ? 2) 的直线 l 2 交曲线 C 2 于 A 、 B 两点,已知曲线 C 2 上存在不同的两点 C 、
在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 为到定点 F (

D 关于直线 l 2 对称.问:弦长 CD 是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由.

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一、1. ?? 1, i? 4.1 7. f ( x ) ? 2 sin

理科卷参考答案
2. y ? arcsin(? x )(0 ? x ? 1) 等 5. 2?r 2 3. ? 20 6. arcsin

3 101 等 37

? x等 2

8. 2000

9. ? 1 ? loga (1 ? a)

第 2 题的答案也可写为 y ? 第 9 题的答案也可写为 0. 二、10. D; 11.B;

1 ? 3 101 arccos ?1 ? 2 x ?(0 ? x ? 1) ;第 6 题的答案也可写为 ? arccos ; 2 2 37
12.C.

三、13.解: a ? b ? (cos? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ? )

| a ? b |? (cos ? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2
? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ? )

?? ? ? 2 1 ? cos ?? ? ? . 4? ?
由 | a ? b |?

(4 分)

8 2 ?? 7 ? ,得 cos?? ? ? ? . 5 4 ? 25 ?

(1 分)

?? ?? 24 ? ? (1 分) ? sin?? ? ? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? ? ? . 4? 4? 25 ? ? 31 2 17 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 或 (2 分) ? sin ? ? ?? ? ? ? ? sin?? ? ? cos ? cos?? ? ? sin ? ? 50 4 4? 4? 4 4? 4 50 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? , 31 2 ? sin ? ? ? . (2 分) 50 ?? ?? ? 2?? 又 cos?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 1 , 4? ? ?2 8? ? ? ? ? 16 . (2 分) cos2 ? ? ? ? ? 2 8 ? 25 5? ? ? 9? ?? ? ? ? ? ? ,? cos?? ? ? ? 0 , 8 2 8 8 4? ? 4 ?? ? ? (2 分) ? cos? ? ? ? ? . 5 ?2 8? ? ? 另解:? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos? ,sin ? ? cos? ) ? ?2 128 ? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 25 7 2 ? sin ? ? cos ? ? ? ① (4 分) 25 98 527 2 ?0, 由 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ,得 2sin ? cos ? ? 625 625

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3 ?? ? (? , ? ) 2

(2 分) ② (2 分) (2 分)

?sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos? ? ?

24 2 25 31 2 17 2 ,cos ? ? ? 由①、②得 sin ? ? ? 50 50 ? ? 5? 7? , ), 又? ? ? ( 2 8 8 8

? 2 1 ? cos(? ? ) 1? (cos ? ? sin ? ) ? ? 4 4 ?? 2 ? cos( ? ) ? ? ? ? (4 分) 2 8 2 2 5
14.解: (1) EF 与 AD , EF 与 BC , DE 与 BF , AE 与 CF , 由已知,有 EF // AB , ? AB ? AD , (2 分)

? EF ? AD . 同理,有 EF ? BC . (2 分) 过点 E 作 EK // FB 交 AB 点 K ,则 ?DEK 为异 与 FB 所成的角, ? DE ? FB ? 4 , AK ? 2 ? (4cos60o ) ? 4 , DK ? 4 2 ,

面 直 线 DE

??DEK ? 90o ,即 DE ? BF ,同理 AE ? CF (3 分) (2) 过点 E 分别作 EM ? AB 于点 M ,EN ? CD 接 MN ,则 AB ⊥平面 EMN , ? 平面 ABCD ⊥平面 EMN ,过点 E 作 EO ? MN EO ⊥平面 ABCD 由题意知, AE ? DE ? AD ? 4 , AM ? DN ? 4 cos60? ? 2 , EM ? EN ? 2 3 , (2 分) ? O 为 MN 中点,? EO ? 2 2 即四棱锥 E ? AMND 的高, 同理,再过点 F 作 FP ? AB 于点 P , ENFQ ? CD 于点 Q ,连接 PQ , 原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且 MP ? 16 ? 2 ? 2 ? 12 (2 分)
1 1 176 2 (2 分) ?V多面体 =2V四棱锥 +V直棱柱 =2 ? ? 2 ? 4) 2 2+( ? 4 ? 2 2) 12= ( ? ? 3 2 3
答:该粮仓可储存

于点 N ,连 于点 O ,则

176 2 立方米的粮食 3

(1 分)

15.解: (1)如图,以两个定点 F1 , F2 的中点为坐标原点 O ,以 F1 , F2 所在的直线为 y 轴,以线段 F1 F2

的 垂 直 平 分 线 为 x 轴 , 以 与 xOy 平 面 垂 直 的 直 线 为 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , (1 分) 设 | F1 F2 |? 2c ? 0 , | PF | ? | PF2 |? 2a(a ? c) , P( x, y, z ) 1

? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? z 2 ? 2a , ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? z 2 ? 2a ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? z 2
两边平方,得

(2 分)

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? a x 2 ? ( y ? c) 2 ? z 2 ? a 2 ? cy ,
两边平方,整理得

(2 分)

x2 y2 z2 ? ? ?1 a2 ? c2 a2 a2 ? c2 x2 y2 z2 令 a 2 ? c 2 ? b ,得 2 ? 2 ? 2 ? 1 .① b a b x2 y 2 z 2 若点 F1 、 F2 在 x 轴上,则方程为: 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b b

(3 分)

(2)对称性: 由于点 ( x, y, z ) 关于坐标原点 O 的对称点 (? x,? y,? z ) 也满足方程①,说明曲面 ? 关于坐标原点 O 对称; (1 分) 由于点 ( x, y, z ) 关于 x 轴的对称点 ( x,? y,? z ) 也满足方程①,说明曲面 ? 关于 x 轴对称;同理,曲面 ? 关于 y 轴对称;关于 z 轴对称. (1 分) 由于点 ( x, y, z ) 关于 xOy 平面的对称点 ( x, y,? z ) 也满足方程①,说明曲面 ? 关于 xOy 平面对称;同理,曲 面 ? 关于 xOz 平面对称;关于 yOz 平面对称. 图略. 16.解:由题意知 a1 ? 2 ,且 (2 分) (4 分)

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n
n


n n

(2 分)

(1)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n

于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?

n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

?

?

故知, bn ? 2 另解:

n ?1


n?1

(4 分) ,得 an ? ? n ?1? 2
n?1

再由 bn ? an ? n ? 2



(2 分)

an ?1 an 1 ? ? 2n ?1 2n 2 a 1 ?a ? ? ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 的等差数列, 1 n 2 2 ?2 ? a n ?1 n ?1 ? n ? 1? ? n 2 2 2 n?1 ?an ? ? n ?1? ? 2

(2 分)

(4 分) (2 分)

bn ? ? n ?1? ? 2

n?1

? n? 2

n?1

?2

n?1

(2)当 b ? 2 时,由①得

an ?1 ?

1 1 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b ? ?

(2 分)

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若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 1 , an ? 2 , S n ? 2
n n?1

(1 分)

?2

(1 分)

1 若 b ? 0、,数列 ?a n ?

2(1 ? b) 1 ? 为首项,以 b 为公比的等比数列,故 ? 2 n ? 是以 2?b 2?b ? 1 2(1 ? b) n ?1 an ? ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 an ? 2 n ? ?2 ? 2b ?b n ?1 (2 分) 2?b 1 ?b ?2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? ? 2(1? b ) ?1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n?1 ? Sn ? 2?b 2 n n 2(2 ? b ) Sn ? 2?b b ? 1 时, Sn ? 2n?1 ? 2 符合上式

? ?

?

?

所以,当 b ? 0 时, Sn ? 当 b ? 0 时, S n ? 2 n

2(2n ? b n ) 2?b

(2 分) (1 分)

另解: 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2
n

(1 分)

当 n ? 2 时,?ban ? 2 ? ? b ?1? Sn

?b ? Sn ? Sn?1 ? ? 2n ? ?b ?1? Sn
?Sn ? bSn?1 ? 2n
若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 0 ,两边同除以 2 得
n

(2 分) (1 分)

S n b S n ?1 ? ? ?1 2 n 2 2 n ?1 Sn Sn b Sn? b S n ? 2 ? 2m ) 令 n ? m ? ? n ?1 ? 1 ? m ,即 n ? m ? ? ( n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 1 b 2 ? 2m 2 由m ? 得m ? b b?2 Sn 2 b b ?{ n ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列 2 b?2 2 b?2 Sn 2 b b ? n? ? ? ( ) n ?1 , 2 b?2 b?2 2 2(2n ? b n ) 所以,当 b ? 0 时, Sn ? 2?b

(4 分)

17.解: (1)设 P( x, y) ,由题意,可知曲线 C1 为抛物线,并且有

(x ?

3 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? 3x ? y ? 2 , 2 2 2

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化简,得抛物线 C1 的方程为: x 2 ? 3 y 2 ? 2 3xy ? 8 3x ? 8 y ? 0 .

8 , 3 令 y ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 8 3 ,
令 x ? 0 ,得 y ? 0 或 y ? 所以,曲线 C1 与坐标轴的交点坐标为 ?0,0? 和 ? 0, ? , (8 3,0) . 由题意可知,曲线 C1 为抛物线,过焦点与准线垂直的直线过原点,

? 8? ? 3?

(3 分)

点 F(

3 1 , ) 到 l1 : y ? ? 3x ? 2 的距离为 2 2

3?

? ?

3 1 ? ?2 2 2 ?2. 2 2 3 ?1

(2 分)

所 以 C2 是 以

?1,0?

为 焦 点 , 以 x ? ?1 为 准 线 的 抛 物 线 , 其 方 程 为 :

(3 分) y 2 ? 4x . (2) C ( x1 , y1 ) ,D( x2 , y 2 ) ,由题意知直线 l2 的斜率 k 存在且不为零,设直线 l 2 的方程为 y ? k ( x ? m) , 设 1 则直线 CD 的方程为 y ? ? x ? b , (1 分) k 1 ? ? y ? ? x ? b, 则? 得 y 2 ? 4ky ? 4kb ? 0 , k ? y 2 ? 4 x. ? 所以 ? ? 16k (k ? b) ? 0 ① (2 分) y1 ? y2 ? ?4k , y1 ? y2 ? ?4kb , 设弦 CD 的中点为 G( x3 , y3 ) ,则 y3 ? ?2k , x3 ? k (b ? 2k ). 因为 G( x3 , y3 ) 在直线 l 2 上,所以

? 2k ? k (bk ? 2k ? m) ,即 b ?
2

m ? 2 ? 2k 2 k



将②代入①,得 0 ? k ? m ? 2 ,
2

m ? 3 ? ? m ?1? ? CD ? 1 ? ?? k ? ? y1 ? y 2 ? 1 ? k ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 4 ? ? k 2 ? ? ?? ? (4 分) 2 ? ? 2 ? ? 2 设 t ? k ,则 0 ? t ? m ? 2 . (1 分)
2 2

2

2

2

? m ? 3 ? ? m ?1? 构造函数 f (t ) ? 4 ? ? t ? ? ?? ? ,0 ? t ? m ? 2. 2 ? ? 2 ? ? ?m ? 2 ? 0, 由已知 m ? 2 ,当 ? , 即 2 ? m ? 3 时 , f (t ) 无 最 大 值 , 所 以 弦 长 CD 不 存 在 最 大 ?m ? 3 ? 0
2 2

值.

(1 分) (1 分)

当 m ? 3 时, f (t ) 有最大值 2(m ? 1) ,即弦长 CD 有最大值 2(m ? 1). (1 分)

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