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2016年高考汇编解析几何


解析几何
一、选择题 1、(2016 年北京高考)圆(x+1) +y =2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为 (A)1 【答案】C 2、(2016 年山东高考)已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度
2 是 2 2 ,则圆 M 与圆 N: (x-1) + ( y - 1)2 = 1

的位置关系是
2 2

(B)2

(C) 2

(D)2 2

(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离 【答案】B 3、(2016 年四川高考)抛物线 y =4x 的焦点坐标是 (A)(0,2) 【答案】D 4、(2016 年天津高考)已知双曲线 (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,且双曲线的一 a 2 b2

条渐近线与直线 2 x ? y ? 0 垂直,则双曲线的方程为

(A)

x2 ? y2 ? 1 4

(B) x 2 ?

y2 ?1 4

(C)

3x 2 3 y 2 ? ?1 20 5

(D)

3x 2 3 y 2 ? ?1 5 20

【答案】A 5、(2016 年全国 I 卷高考)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离 1 为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率 学科网为 4 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4 【答案】B 6、(2016 年全国 II 卷高考)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y=
2

k (k>0)与 C 交于点 x

P,PF⊥x 轴,则 k=(
(A)

) (B)1 (C)

1 2

3 2

(D)2

【答案】D

x2 y 2 7、(2016 年全国 III 卷高考)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左 a b
焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段

PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为
(A) 【答案】A

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

二、填空题 1、(2016 年北京高考)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一 a 2 b2

个焦点为( 5 ,0),则 a=_______;b=_____________. 【答案】 a ? 1, b ? 2 2 、 ( 2016 年 江 苏 省 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线 ________▲________. 【答案】 2 10 3、(2016 年山东高考)已知双曲线 E:

x2 y 2 ? ?1 的 焦 距 是 7 3

x2 y2 – =1(a>0,b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 a2 b2

E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______.
【答案】 2 4、(2016 年上海高考)已知平行直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 的距离 _______________ 【答案】

2 5 5

5、(2016 年天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M (0, 5) 在圆 C 上,且圆心 到直线 2 x ? y ? 0 的距离为 【答案】 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9.

4 5 ,则圆 C 的方程为__________ 5

6、 (2016 年全国 I 卷高考) 设直线 y=x+2a 与圆 C: x +y -2ay-2=0 相交于 A, B 两点, 若 则圆 C 的面积为 【答案】 4 π .

2

2



7、 (2016 年全国 III 卷高考)已知直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 12 交于 A, B 两点, 过 A, B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点,则 | CD |? _____________. 【答案】4 8、(2016 年浙江高考)已知 a ? R ,方程 a2 x2 ? (a ? 2) y 2 ? 4x ? 8 y ? 5a ? 0 表示圆,则圆 心坐标是_____,半径是______. 【答案】 (?2, ?4) ;5.

三、解答题 1、(2016 年北京高考)已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 解:(I)由题意得, a ? 2 , b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 过点 A(2,0),B(0,1)两点. a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1学科网 . 4

又 c ? a ?b ? 3,
2 2

所以离心率 e ?

c 3 . ? a 2

2 2 (II)设 ? ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 , y0 ? 0 ),则 x0 ? 4 y0 ? 4.

又 ? ? 2,0? , ? ? 0,1? ,所以, 直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 y? ? ?

2 y0 2 y0 ,从而 ?? ? 1 ? y? ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2

直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1. x0

令 y ? 0 ,得 x? ? ?

x0 x0 ,从而 ?? ? 2 ? x? ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1

所以四边形 ???? 的面积

S?

1 ?? ? ?? 2

x ?? 2 y0 ? 1? ? ? 2 ? 0 ??1 ? ? 2? y0 ? 1 ?? x0 ? 2 ?
?
2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 2 ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 ?

?

2 x0 y0 ? 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 2.
从而四边形 ???? 的面积为定值.

2、(2016 年江苏省高考) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M: x2 ? y 2 ?12x ?14 y ? 60 ? 0 及其上一点 A(2,4) (1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; (3)设点 T(t,o)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 TA ? TP ? TQ, ,求实数 t 的取 值范围。

??? ???

??? ?

解:圆 M 的标准方程为 ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 ,所以圆心 M(6,7),半径为 5,.
2 2

(1)由圆心 N 在直线 x=6 上,可设 N ? 6, y0 ? .因为圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切, 所以 0 ? y0 ? 7 ,于是圆 N 的半径为 y0 ,从而 7 ? y0 ? 5 ? y0 ,解得 y0 ? 1 . 因此,圆 N 的标准方程为 ? x ? 6 ? ? ? y ? 1? ? 1 .
2 2

(2)因为直线 l∥OA,所以直线 l 的斜率为

4?0 ? 2. 2?0

设直线 l 的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0, 则圆心 M 到直线 l 的距离

d?

2? 6 ? 7 ? m 5

?

m?5 5

.

因为 BC ? OA ?
2 2

22 ? 42 ? 2 5,
2

? BC ? 而 MC ? d ? ? ? , ? 2 ?

? m ? 5? 所以 25 ?
5

2

? 5 ,解得 m=5 或 m=-15.

故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. (3)设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为 A ? 2, 4 ? , T ? t , 0 ? , TA ? TP ? TQ ,所以 ?
2

??? ???

??? ?

? x2 ? x1 ? 2 ? t ……① ? y2 ? y1 ? 4
2

因为点 Q 在圆 M 上,所以 ? x2 ? 6 ? ? ? y2 ? 7 ? ? 25. …….②

将①代入②,得 ? x1 ? t ? 4 ? ? ? y1 ? 3? ? 25 .
2 2

于是点 P ? x1 , y1 ? 既在圆 M 上,又在圆 ? ? x ? ? t ? 4 ?? ? ? ? y ? 3? ? 25 上,
2 2

从而圆 ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 与圆 ? ? x ? ? t ? 4 ?? ? ? ? y ? 3? ? 25 有公共点,
2 2

2

2

所以 5 ? 5 ?

? ?? t ? 4 ? ? 6 ? ? ? ? 3 ? 7 ? ? 5 ? 5, 解得 2 ? 2 21 ? t ? 2 ? 2 21 .
2 2

因此,实数 t 的取值范围是 ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? .

?

?

3、(2016 年山东高考)已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2

.

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段

PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B.
(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c, 由题意知 2a ? 4, 2c ? 2 2 , 所以 a ? 2, b ?

a2 ? c2 ? 2 ,
x2 y 2 ? ? 1. 4 2

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)(i)设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? , 由 M(0,m),可得 P ? x0 ,2m? , Q ? x0 , ?2m? .

所以 直线 PM 的斜率 k ?

2m ? m m , ? x0 x0 ?2m ? m 3m . ?? x0 x0

直线 QM 的斜率 k ' ?

k' ? ?3 , k k' 所以 为定值-3. k
此时 (ii)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 直线 PA 的方程为 y=kx+m, 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ?4 2
整理得 2k 2 ? 1 x 2 ? 4mkx ? 2m 2 ? 4 ? 0 .

?

?

2 ? m2 ? 2 ? 2m 2 ? 4 由 x0 x1 ? 可得 x1 ? , 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1? x0
所以 y1 ? kx1 ? m ?
2

? 2k ? 1? x 2 ? m ? 2? ?6k ? m ? 2 ? ,y ? ? m. 同理 x ? ?18k ? 1? x ?18k ? 1? x 2 ? m ? 2? 2 ? m ? 2? ?32k ? m ? 2 ? ? ? 所以 x ? x ? , ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x ?6k ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2? ?8k ? 6k ? 1?? m ? 2 ? y ?y ? ?m? ?m? ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x
2 0

2k ? m 2 ? 2 ?

? m,
2

2

2

2

2

0

0

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

0

0

0

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2



0

0

0

所以 k AB

y2 ? y1 6k 2 ? 1 1 ? 1? ? ? ? ? 6k ? ? . x2 ? x1 4k 4? k?

由 m ? 0, x0 ? 0 ,可知 k>0, 所以 6k ?

1 6 ? 2 6 ,等号当且仅当 k ? 时取得. k 6

此时

m 4 ? 8m2

?

14 6 ,即 m ? ,符号题意. 7 6
6 . 2

所以直线 AB 的斜率的最小值为

4、(2016 年上海高考)

双曲线 x2 ?

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2 b2

且与双曲线交于 A、B 两点. (1)若 l 的倾斜角为
? , △F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 2

(2)设 b ? 3 ,若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率. 解析:(1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 2 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

?

因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

36 ? k 2 ? 1? 4k 2 4k 2 ? 3 2 由 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ,得 ? x1 ? x2 ? ? , 2 2 k ?3 k ?3 k ? 3 ? ?
故 ?? ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

6 ? k 2 ? 1? k2 ?3

? 4,

2 解得 k ?

3 15 ,故 l 的斜率为 ? . 5 5

x у 5、(2016 年四川高考)已知椭圆 E: 2 + 2 =1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正 a b 三角形的三个顶点,点 P( 3 , (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M, 2 1 )在椭圆 E 上。 2

2

2

直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳ 解: (I)由已知,a=2b.

1 x2 y 2 1 3 又椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P( 3, ) ,故 2 ? 4 ? 1 ,解得 b2 ? 1 . 2 a b 4b b 2
所以椭圆 E 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4
1 x ? m(m ? 0) , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 2

(II)设直线 l 的方程为 y ?

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?4 2 2 由方程组 ? 得 x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0 ,① ? y ? 1 x ? m, ? ? 2
2 方程①的判别式为 ? ? 4(2 ? m ) ,由 ? ? ? ,即 2 ? m ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 2 .

2

由①得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 2 . 所以 M 点坐标为 ( ? m,

m 1 ) ,直线 OM 方程为 y ? ? x , 2 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 2 2 ?4 由方程组 ? 得 C (? 2, ), D( 2, ? ). 2 2 ? y ? ? 1 x, ? ? 2
所以 MC ? MD ? 又 MA ? MB ?

5 5 5 (?m ? 2) ? ( 2 ? m) ? (2 ? m2 ) . 2 2 4

1 1 5 2 AB ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 4 4 16 5 5 ? [4m2 ? 4(2m 2 ? 2)] ? (2 ? m 2 ) . 16 4

所以 MA ? MB = MC ? MD .

6、(2016 年天津高考)设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 a2 3

1 1 3e ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. ? ? | OF | | OA | | FA |
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率. 解析: (1) 解: 设 F (c, 0) , 由

1 1 3 c 1 1 3 c 2 2 2 ? ? , 即 ? ? , 可得 a ? c ? 3c , |O F | |O A| | F A| c a a (a ? c)
2

又 a ? c ? b ? 3 ,所以 c ? 1 ,因此 a ? 4 ,所以椭圆的方程为
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设直线的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 设 B( xB , yB ) ,由方程组 ? 4 消去 y , 3 ? y ? k ( x ? 2), ?
整理得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ?

8k 2 ? 6 , 4k 2 ? 3

由题意得 xB ?

?12k 8k 2 ? 6 ,从而 yB ? , 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

由(1)知 F (1, 0) ,设 H (0, yH ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

????

??? ?

9 ? 4k 2 12k , ), 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3

由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以

??? ? ????

4k 2 ? 9 12kyH ? ? 0, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

解得 yH ?

9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 ,因此直线 MH 的方程为 y ? ? x ? , 12k k 12k

? 1 9 ? 4k 2 , 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? y 设 M ( xM , yM ) ,由方程组 ? 消去 ,得 , x ? k 12k M 2 12( k ? 1) ? y ? k ( x ? 2), ?
在 ?MAO 中, ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,

2 2 2 即 ( xM ? 2)2 ? yM ,化简得 xM ? 1 ,即 ? xM ? yM

20k 2 ? 9 ? 1, 12(k 2 ? 1)

解得 k ? ?

6 6 或k ? , 4 4 6 6 或k ? . 4 4

所以直线 l 的斜率为 k ? ?

7、(2016 年全国 I 卷高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物 线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (I)求

OH ON



(II)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 【解析】(Ⅰ)由已知可得 M (0, t ) , P (

t2 , t) 2p t2 , t) p

又∵ N 与 M 关于点 P 对称,故 N ( ∴ 直线 ON 的方程为 y ?
2 2

p x ,代入 y 2 ? 2 px ,得: t

2t 2 px ? 2t x ? 0 解得: x1 ? 0 , x2 ? p
∴ H(

2t 2 , 2t ) . p
OH ON ? 2.

∴ N 是 OH 的中点,即

(Ⅱ)直线 MH 与曲线 C 除 H 外没有其它公共点.理由如下: 直线 MH 的方程为 y ? t ?

2t p x ,即 x ? ( y ? t ) ,代入 y 2 ? 2 px ,得 2t p

y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 ,解得 y1 ? y2 ? 2t ,
即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 外没有其它公共点.

8、 (2016 年全国 II 卷高考)已知 A 是椭圆 E : 的直线交 E 与 A , M 两点,点 N 在 E 上,

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点,斜率为 k ? k>0? 4 3

MA ? NA .
(Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 解析:(Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 . 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 将 x ? y ? 2 代入 解得 y ? 0 或 y ?

? , 4

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 4 3

12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
(2)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

12 1 ? k 2 16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 2 x ? 得 ,故 . | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

12k 1 ? k 2 1 由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2
由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k 3 2 ? ,即 4k ? 6k ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 , 所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 .

9、(2016 年全国 III 卷高考)已知抛物线 C : y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条 直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S?PQF ? 2 2 2 2
1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去), x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 .

....12 分

10、(2016 年浙江高考)如图,设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y
2

轴的距离等于|AF|-1. (I)求 p 的值; (II)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点

N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.

解析:(Ⅰ)由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离. 由抛物线的第一得

p ? 1 ,即 p=2. 2
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为 y ? 4 x, F ?1, 0 ? ,可设 A t 2 , 2t , t ? 0, t ? ?1 .

?

?

? y2 ? 4x 因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1, ? s ? 0 ? ,由 ? 消去 x 得 ? x ? sy ? 1
? 1 2? y 2 ? 4sy ? 4 ? 0 ,故 y1 y2 ? ?4 ,所以 B ? 2 , ? ? . t? ?t
又直线 AB 的斜率为

t 2 ?1 2t ,故直线 FN 的斜率为 , ? 2t t 2?1 t 2 ?1 2 ? x ? 1? ,直线 BN: y ? ? , 2t t

从而的直线 FN: y ? ?

所以 N ?

? t2 ? 3 2 ? ,? ?, 2 ? t ?1 t ?
2 t , 2 t ? 3 t2 ? 2 t ?1 2t ?

2t 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得: 2 ? t ?m

于是 m ?

2t 2 ,经检验,m<0 或 m>2 满足题意. t 2 ?1

综上,点 M 的横坐标的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? 2, ?? ? .


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