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抛物线的参数方程


3、抛物线的参数方程

y

M(x,y)

?
o x

设抛物线的普通方程为y ? 2 px.......... 5) .(
2

因为点M在?的终边上,根据三角函 数的 y 定义可得 ? tan? .......... .......... .....

..... 6) ....( x 2p ? ? x ? tan2 ? ? 由(5), (6)解出x, y,得到? (?为参数) ?y ? 2 p ? tan? ? 这就是抛物线 5)(不包括顶点 的参数方程 ( )

1 如果令t ? , t ? (??,0) ? (0,??),则有 tan? ? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt 当t ? 0时,由参数方程表示的 点正好就是抛物线 的顶点(0,0)因此当t ? (??,??)时,参数方程就表 示抛物线。参数表示抛物线上除顶点外 t 的任意 一点与原点连线的斜率 的倒数。

思考:怎样根据抛物线 的定义选取参数, 建立抛物线设抛物线的 普通方程为 x ? 2 py( p ? 0)的参数方程?
2

? x ? 2 pt 2 1、若曲线? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是1 , t 2 , 则弦 t M 1M 2所在直线的斜率是 ( A、t1 ? t2 , 1 C、 , t1 ? t2
c
)

B、t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt ,2 pt1 ), M 2 (2 pt ,2 pt2 ) ? k M 1M 2 2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt2 t1 ? t 2
2 1 2 2

例3、如图O是直角坐标原点, , B是抛物线 A y ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动点, 且
2

OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于点M,求点 M的轨迹方程。

y

A
M o x B

解:根据条件,设点 , A, B的坐标分别为 x, y ) M ( (2 pt ,2 pt1 ), (2 pt ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)则
2 1 2 2 ? ? ?

OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt ,2 pt1 ), OB ? (2 pt ,2 pt2 )
2 1 2 2

AB ? (2 p (t ? t ),2 p (t 2 ? t1 ))
2 2 2 1

?

因为OA ? OB, 所以OA? OB ? 0, 即 (2 pt1t 2 ) ? (2 p ) t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1.......... 8) .(
2 2

?

?

?

?

因为OM ? AB, 所以OM ? OB ? 0, 即 2 px(t ? t ) ? 2 py(t 2 ? t1 ) ? 0
2 2 2 1

?

?

?

?

所以x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, y 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0)......... .......... .......... 9) ...( x 因为 AM ? ( x ? 2 pt , y ? 2 pt1 ),
2 1 ? ?

MB ? (2 pt ? x,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线,
2 2

所以( x ? 2 pt )(2 pt2 ? y ) ? (2 pt ? x)( y ? 2 pt1 )
2 1 2 2

化简,得y (t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0.......... 10) .....( 将(8), (9)代入(10), 得到 y y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x 2 2 即x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0) 这就是点M的轨迹方程

探究: 在例3中,点A, B在什么位置时, AOB的面积 ? 最小?最小值是多少 ?

由例3可得 OA= (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1 OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 ) ? 2 p t 2 t ? 1
2 2 2 2 2 2

所以,?AOB的面积为 S ?AOB ? 2 p t1t 2 (t ? 1) ? (t ? 1)
2 2 1 2 2

? 2p

2

t ?t ?2 ? 2p
2 1 2 2

2

(t1 ? t 2 ) ? 4 ? 4 p
2 2

2

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, ?AOB的面积最小,最小值为 p . 4

小节:
1、抛物线的参数方程的形式

2、抛物线参数的意义

2、设M为抛物线y ? 2 x上的动点,给定点
2

M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,求点 P的轨迹方程。


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