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3.2.1复数的四则运算(修改

时间:2014-06-23


3.2.1 复数的四则运算

一。复习
(一).基本概念

1.虚数单位i

i2??1

2. 复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.

全体复数所形成的集合叫做复数集,
一般用字母C表示 .
通常用字母 z 表示,即 3.复数的代数形式



z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。

4.复数的分类

?实数b ? 0 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

a=0是z=a+bi(a、b?R)为 纯虚数的
必要不充分条件

(二).两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

特别地,a+bi=0? a=b=0

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ?
.

当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.

(三).

复数的几何意义 y轴------虚轴

1.复平面 x轴------实轴

复数z=a+bi
一一对应

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

平面向量

OZ

一一对应

y

z=a+bi Z(a,b)
a b

o

x

2.复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。

| z | = a 2 ? b2

z =a +b i Z (a,b)
O

y

x

(四).当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这 两个复数叫做互为共轭复数。 z的共轭复数用

z 表示,即 z ? a ? bi时, z ? a ? bi
y

( z ? z ? 2a)

当 b ? 0时,z 与z也叫共轭虚数 , 当 b ? 0时,z ? z ? a

共轭复数的性质
1. 复平面内表示两个互为共轭复数 的点Z与 Z 关于实轴对称。
0

Z(a,b)

x
Z(a,-b)

2. |

z |?| z | ? a ? b 2 2 | z | ?| z | ? z ? z
2 2

3.复数z是实数的充要条件

4.复数z是纯虚数的充要条件 z ? z ? 0( z ? 0)

z?z

二 新课

1.复数加减法的运算法则:
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与

实部,虚部与虚部分 别相加(减).

(2)复数的加法满足交换律、结合律,

即对任何z1,z2,z3∈C,有

z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

例1(1).计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i) 解: (5 ? 6 i ) ? ( ?2 ? i ) ? (3 ? 4 i )

? (5 ? 2 ? 3) ? ( ?6 ? 1 ? 4) i ? ?11i
(2)已知

练习1:P109:1
求证:

z1 , z 2 ? C

z1 ? z2 ? z1 ? z2

2.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

3.复数减法运算的几何意义?
复数z2-z1

y

向量Z1Z2

符合 向量 减法 的三 角形 法则.

Z2(c,d)

Z1(a,b)

o
|z1-z2|表示什么?

x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

4.复数加减法的几何意义的结论
(1)、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1

C

z1+z2

B

(2)、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o

z1 A

(3)、 |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2|

平行四边形OABC是 正方形

例2:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示 的几何意义.

(1)|z-(1+2i)|点A到点(1,2)的距离

(2)|z-1| 点A到点(1,0)的距离
(3) | z ? 2i |?| z ? 2 ? 3i | (4)

| z ? 2i | ? | z ? 2i |? 2

练习2:P109:2


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