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参数方程的概念

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1、参数方程的概念

(1)在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数,即 ? x ? f (t )

? ? y ? g (t )

并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程组就叫做这 条曲线的参数方程 ,联系x、y之间关系的变数叫做参 变数,简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几 何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数。 (2) 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲 线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。

思考1:圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程?

观察1

如果点P的坐标为( x, y ),圆半径为r , ?P0OP ? ? , 根据三角函数定义点P的横坐标x、 , 纵坐标y都是?的函数,即
P(x,y)
5

x ? r cos? y ? r sin ?

r

?



o
-5

p0
5

并且对于 ? 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5

我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的 参数方程, 是参数. ?

思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P ( x1 , y1 )平移得到的, 1 由平移公式, 有 ? x ? x1 ? a ? ? y ? y1 ? b
r
-5

观察2

(a,b)
5

O1

P(x,y)

v(a,b)

P ( x1 , y1 ) 1
5

o

? x1 ? r cos ? ? x ? a ? r cos? 又 ? 所以 ? ? y1 ? r sin ? ? y ? b ? r sin ?

-5

(3)参数方程与普通方程的互化

x2+y2=r2
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

x ? r cos? y ? r sin ?
? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ?

注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时,通过参数建立间接的联系。

? x ? 3t ? 已知曲线C的参数方程是2 ? y ? 2t ? 1 (1)判断点(0,1),(5,4)是否在C上.
(2)已知点(6,a)在曲线C上,求a.

例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它 化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,

(x+1)2+(y-3)2=1,
∴参数方程为

? x ? ?1 ? cos? ? ? y ? 3 ? sin ?

(θ为参数)

练习:

1.填空:已知圆O的参数方程是

? x ? 5 cos? ? ? y ? 5 sin ?

(0≤ ? ? <2 )

⑴如果圆上点P所对应的参数? ? 5? ,则点P的坐标是
3

?5 5 3? ? ,? ? ?2 2 ? ? ?

? 5 5 3? ? 2 ? 如果圆上点Q所对应的坐标是 ? ? , ? , 则点Q对应 ? 2 2 ? ? ? 2? 的参数? 等于 3

? x ? ?2 cos ? 2.选择题:参数方程 ? (? 为参数)表示的曲线是 ? ? A ? y ? 2sin ? A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能

3、填空题 : ? x ? 2 ? cos? (1)参数方程? 表示圆心为(2,-2) ? y ? ?2 ? sin ? 2 2 的圆,化为标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? 1 半径为 1
( 2 ) 把圆方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 化为参数方程为
? x ? ?1 ? 2 cos? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

观察3

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?

解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)

y

P
M

O

A x

x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?

解:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

y

例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点,求(1) x2+y2 的最值,
(2)x+y的最值,

(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1, 用参数方程表示为

? x ? 3 ? cos? ? ? y ? 2 ? sin ?

由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ) (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4 sinθ +6cosθ=14+2

sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)

∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ,最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2 sin(θ +
? ) 4

∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 - 2 。

(3)

? 4 ? 2 sin(? ? ) 3 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 1 4 d? ? 2 2
?
)= 4

显然当sin(θ+

?1时,d取最大值,最

小值,分别为 1? 2 2 ,2 2 ? 1 。

例4、将下列参数方程化为普通方程:
(1)

? x ? 2 ? 3 cos? ? ? y ? 3 sin ?
x=t+1/t

(2)

? x ? sin ? ? ? y ? cos 2?

步骤:(1)消参; (2)求定义域。

(3)

y=t2+1/t2 (1)(x-2)2+y2=9

(2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念

3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法:⑴相关点点问 题(代入法); ⑵参数法;⑶定义法 5、求最值

x ? 100t 1 2 (t为参数,表示时间 1、 { ) y ? h ? gt 2
2、设经过时间t,动点的位置是 ( x, y ), 则 M x ? 2 ? 3t , y ? 1 ? 4t , 于是点M的轨迹的参数方程为 x ? 2 ? 3t { (以时间t为参数) y ? 1 ? 4t

y

B

O

A

x

C

3、解:不妨设?ABC的外接圆的半径为,建立 1 如图的平面直角坐标系 ,时点B, C关于x轴对称 x ? cos? 那么外接圆的参数方程 { 是 (?为参数) y ? sin ? 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为1,0), (? , ), (? ,? ( ) 2 2 2 2 设点M (cos? , sin ? )则 MA ? MB ? MC ? [(cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? ] ?
2 2 2

1 2 3 2 1 2 [(cos? ? ) ? (sin ? ? ) ] ? [(cos? ? ) ? 2 2 2 3 2 (sin ? ? ) ]?6 2

4、解; (1)2 x ? y ? 7 ? 0, 直线; (2)y ? 2 x , x ? [?1,1],以(?1,2), (1,2)为端点的
2

一段抛物线; (3)x ? y ? 4, 双曲线;
2 2

x ? t ? 3t ? 1 5、 ){ (1 (t为参数) y ? t ?1
2

x ? a cos ? (2){ (?为参数) 4 y ? a sin ?
4


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