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浙江2015单考单招数学试卷

时间:2016-12-29


2015 年浙江省高等职业技术教育招生考试 数学试卷
一、单项选择题(本大题共 18 小题,每小题 2 分,共 36 分) 在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分. 2 1.已知集合 M={x|x +x+3=0},则下列结论正确的是( ) A.集合 M 中共有 2 个元素 B.集合 M 中共有 2 个相同元素 C.集合 M 中共有 1 个元素 D.集合 M 为空集 2.命题甲“a<b”是命题乙“a-b<0”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 f(x)= lg(x-2) 的定义域是( x )

A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 4.下列函数在定义域上为单调递减的函数是( 3 A.f(x)=( )x 2 C.f(x)=2-x B.f(x)=lnx D.f(x)=sinx

)

π 5.已知角 α= ,将其终边绕着端点按顺时针方向旋转 2 周得到角 β,则 β=( 4 9π A. 4 15π C.- 4 17π B. 4 D.- 17π 4

)

6.已知直线 x+y-4=0 与圆(x-2)2+(y+4)2=17,则直线与圆的位置关系是( A.相切 B.相离 C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心 7.若 β∈(0,π ),则方程 x2+y2sinβ =1 所表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.椭圆或圆 8.在下列命题中,真命题的个数是( ) ①a∥α,b⊥α?a⊥b ②a∥α,b∥α?a∥b ③a⊥α,b⊥α?a∥b ④a⊥b,b?α?a⊥α A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 π π 2 9.若 cos( -θ)cos( +θ)= ,则 cos2θ =( 4 4 6 A. 2 3 B. 7 3 C. 7 6 ) D. 34 6 )

)

2 2 10.在等比数列{an}中,若 a1+a2+?+an=2n-1,则 a2 1+a2+?+an=(

A.(2n-1)2 C.4n-1

1 n B. (2 -1)2 3 1 n D. (4 -1) 3

11.下列计算结果不正确的 是( ....
4 3 A.C4 10-C9=C9

) P5 8 8! ) 5π D. 6 ) 9 D.- 2 )

10 B.P10 =P9 10

C.0!=1

D.C5 8=

12.直线 3x+y+2015=0 的倾斜角为( π A. 6 π B. 3 2π C. 3

13.二次函数 f(x)=ax2+4x-3 的最大值为 5,则 f(3)=( A.2 9 B.-2 C. 2

π π 3 14.已知 sinα = ,且 α∈( ,π),则 tan(α+ )=( 5 2 4 A.-7 B.7 1 C.- 7 1 D. 7

15.在△ABC 中,若三角之比 A∶B∶C=1∶1∶4,则 sinA∶sinB∶sinC=( A.1∶1∶4 B.1∶1∶ 3 C.1∶1∶2 D.1∶1∶3 16.已知(x-2)(x+2)+y2=0,则 3xy 的最小值为( A.-2 B.2

)

)

C.-6 D. -6 2 17.下列各点中与点 M(-1,0)关于点 H(2,3)中心对称的是( ) A.(0,1) B.(5,6) C.(-1,1) D.(-5,6) 18.焦点在 x 轴上,焦距为 8 的双曲线,其离心率 e=2.则双曲线的标准方程为( x y x y A. - =1 B. - =1 4 12 12 4 y2 x2 C. - =1 4 12 y2 x2 D. - =1 12 4
2 2 2 2

)

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 19.不等式|2x-7|>7 的解集为________.(用区间表示) b 20.若 tanα = (a≠0),则 acos2α +bsin2α =________. a ??? ? ??? ? ??? ? 21.已知 AB =(0,-7),则 AB ? 3BA =________. 22.当且仅当 x∈________时,三个数 4,x-1,9 成等比数列. 23.在“剪刀、石头、布”游戏中,两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率 P=________. 2 3 24.二项式( x2+ 3)12 展开式的中间一项为________. x 25.体对角线为 3cm 的正方体,其体积 V=________. 26. 如图所示, 在所给的直角坐标系中, 半径为 2, 且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________.

第 26 题图

三、解答题(本大题共 8 小题,共 60 分) 解答应写出文字说明及演算步骤 27.(本题满分 7 分)平面内,过点 A(-1,n), B(n,6)的直线与直线 x+2y-1=0 垂直,求 n 的 值.

2 ? ?x -1, x≥0 ? 28.(本题满分 7 分)已知函数 f(x)= ,求值: ? ?3-2x, x<0

1 (1)f(- ); (2 分) 2 (2)f(2 0.5); (3 分) (3)f(t-1); (2 分)


29.(本题满分 7 分)某班数学课外兴趣小组共有 15 人,9 名男生,6 名女生,其中 1 名为组长, 现要选 3 人参加数学竞赛,分别求出满足下列各条件的不同选法数. (1)要求组长必须参加; (2 分) (2)要求选出的 3 人中至少有 1 名女生; (2 分) (3)要求选出的 3 人中至少有 1 名女生和 1 名男生. (3 分)

30.(本题满分 9 分)根据表中所给的数字填空格,要求每行的数成等差数列,每列的数成等比数 列. 求: (1)a, b, c 的值; (3 分) (2)按要求填满其余各空格中的数; (3 分) (3)表格中各数之和.(3 分)

第 30 题图

2 31.(本题满分 6 分)已知 f(x)=3sin(ax-π )+4cos(ax-3π )+2(a≠0)的最小正周期为 . 3 (1)求 a 的值; (4 分) (2)求 f(x)的值域. (2 分)

π 3 32.(本题满分 7 分)在△ABC 中,若 BC=1,∠B= ,S△ABC= ,求角 C. 3 2

33.(本题满分 7 分)如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 AD1C 把正方体 分成两部分. 求: (1)直线 C1B 与平面 AD1C 所成的角; (2 分) (2)平面 C1D 与平面 AD1C 所成二面角的平面角的余弦值; (3 分) (3)两部分中体积大的部分的体积.(2 分)

第 33 题图

34.(本题满分 10 分)已知抛物线 x2=4y, 斜率为 k 的直线 L, 过其焦点 F 且与抛物线相交于点 A(x1, y1),B(x2,y2). (1)求直线 L 的一般式方程; (3 分) (2)求△AOB 的面积 S;(4 分) (3)由(2)判断, 当直线斜率 k 为何值时△AOB 的面积 S 有最大值; 当直线斜率 k 为何值时△AOB 的面积 S 有最小值.(3 分)

第 34 题图

2015 年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷参考答案及评分标准 一、单项选择题(本大题共 18 小题,每小题 2 分,共 36 分) 1.【答案】 D 【解析】 x2+x+3=0,其中Δ=1-4×1×3=-11<0 从而方程无解,即 集合 M 为空集.∴答案选 D. 2.【答案】 C 【解析】 一方面,由 a<b 得 a-b<0;另一方面,由 a-b<0 可得 a<b,故 甲是乙的充分且必要条件.∴答案选 C. x≠0, ? ? 3.【答案】 A 【解析】 由?lg(x-2)≥0,得 x≥3,答案选 A. ? ?x-2>0. 4.【答案】 C 【解析】 A,B 为单调递增函数,D 项中 sinx 为周期函数.∴答案选 C. 5.【答案】 C 【解析】 由题意 β=α-2×2π= π 15 -4π=- π,答案选 C. 4 4 =3 2> 17=半径,∴直线与圆

6.【答案】 B 【解析】

圆心到直线的距离 d=

|2-4-4|
12+12

相离,故选 B. 7.【答案】 D 【解析】 ∵β∈(0,π),∴sinβ∈(0,1],当 sinβ=1 时,得 x2+y2=1 它表示圆;当 sinβ≠1 时,由 sinβ>0∴此时它表示的是椭圆.答案选 D. 8.【答案】 C 【解析】 ②a,b 有可能相交,④a 有可能在 α 内,①③正确.答案选 C. π π π π π 9.【答案】 A 【解析】 ∵cos( -θ)cos( +θ)=(cos cosθ+sin sinθ)· (cos cosθ- 4 4 4 4 4 sin π 1 1 1 1 2 2 sinθ)= cos2θ- sin2θ= (cos2θ-sin2θ)= cos2θ= ,∴cos2θ= .故答案选 A. 4 2 2 2 2 6 3 a1(1-qn) n 2 10.【答案】 D 【解析】 ∵a1+a2+?+an= =2 -1,∴q=2,a1=1,又 a1 1-q
2 2 2 2 2 2 1 n +a2 2+?+an是以 a1=1 为首项,q =4 为公比的等比数列,∴a1+a2+?+an= (4 -1),故选 D. 3 5 P5 P8 8 11.【答案】 D 【解析】 C5 ,∴答案选 D. 8= 5= P5 5!

12.【答案】 C 【解析】 直线 3x+y+2015=0 转化为 y=- 3x-2015,k=tanθ = 2π - 3,∴θ= . 3 4×a×(-3)-42 1 13.【答案】 C 【解析】 函数 f(x)的最大值为 =5,解得 a=- ,即 f(x) 2 4×a 1 9 =- x2+4x-3∴f(3)= .答案选 C. 2 2 14.【答案】 D 【解析】 π 3 4 3 ∵sinα= ,且 α∈( ,π)∴cosα=- ,tanα=- ,tan(α 5 2 5 4

π tanα+tan 4 π 1 + )= = .答案选 D. 4 π 7 1-tanα·tan 4

π 15. 【答案】 B 【解析】 ∵三角之比 A∶B∶C=1∶1∶4, 且 A+B+C=π, ∴A=B= , 6 2π C= .故 sinA∶sinB∶sinC=1∶1∶ 3.答案选 B. 3 16.【答案】 C 【解析】 ∵4=(x-2)(x+2)+y2=x2+y2≥2|xy|,即 2|xy|≤4,3|xy|≤6, 得 3xy≤-6 或 3xy≥6,故 3xy 的最小值为-6,答案选 C. x-1 17.【答案】 B 【解析】 设 P(x,y)与点 M(-1,0)关于点 H(2,3)中心对称,则 =2, 2 y+0 =3.∴x=5,y=6.答案选 B. 2 c 18.【答案】 A 【解析】 ∵双曲线的焦距为 8,∴c=4,又离心率为 e= =2,∴a=2, a x2 y2 即得 b2=c2-a2=12,故双曲线的标准方程为 - =1,答案选 A. 4 12 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 19.【答案】 (-∞,0)∪(7,+∞) 【解析】 ∵|2x-7|>7∴2x-7>7 或 2x-7<-7,即 x<0 或 x>7,故解集为(-∞,0)∪(7,+∞) b b a 20.【答案】 a 【解析】 ∵tanα= ,∴sinα= 2 2,cosα= 2 2,代入即可解 a a +b a +b 得 acos2α+bsin2α=a(cos2α-sin2α)+2bsinαcosα=a. → → → → 21.【答案】 28 【解析】 ∵BA=-AB=(0,7),∴ AB -3BA =|(0,-28)|=28.

|

|

22.【答案】 {-5,7} 【解析】 ∵三个数 4,x-1,9 成等比数列,∴有(x-1)2=4×9 =36,解得 x=-5 或 x=7. 23.【答案】 2 9 【解析】 两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能,且各自出“石

1 1 1 2 头”与“剪刀”的概率为 ,P=2× × = . 3 3 3 9 24.【答案】 26C6 12x
3
-5

5 【解析】 ∵展开式的中间一项为第 7 项,∴中间一项为 26C6 12x .


25.【答案】

32 cm3

【解析】
3

设正方体的边长为 a,∵体对角线为 3cm,∴( 2a)2+a2

=32,得 a= 3,∴体积 V=32 cm3. 26.【答案】 (x+2)2+(y+2)2=4 【解析】 因为圆与第三象限的 x,y 轴相切,所以圆心 为(-2,-2),半径为 2,故圆的标准方程为(x+2)2+(y+2)2=4. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 60 分) 1 27.【解】因为直线 x+2y-1=0 的斜率 K1=- (1 分) 2 所以由题意得过点 A、B 的直线斜率为 2(2 分) 6-n 由斜率公式得:2= (2 分) n-(-1) 4 解得 n= (2 分) 3 1 1 1 28.【解】(1)∵- <0,f(- )=3-2×(- )=4(2 分) 2 2 2

(2)∵2 ∴f(2

-0.5

1 1 2 =2- = = >0(1 分) 2 2 2
-0.5

-0.5

)=(2

1 1 - )2-1=2 1-1= -1=- (2 分) 2 2

(3)当 t-1≥0 时,即 t≥1 时,f(t-1)=(t-1)2-1=t2-2t (1 分) 当 t-1<0 时,即 t<1 时,f(t-1)=3-2(t-1)=5-2t (1 分) 29.【解】(1)组长必须参加,只要从剩下的 14 人中任取 2 人即可完成事件,选法总数为 C2 14 = 14×13 =91 种 (2 分) 2×1

(2)3 人中至少有 1 名女生分为三类选法:1 女 2 男,2 女 1 男,3 女 0 男,选法总数为: 2 2 1 3 C1 6C9+C6C9+C6=216+135+20=371 种(2 分) 2 (3)3 人中至少有 1 名女生和 1 名男生分为 2 类选法:1 女 2 男,2 女 1 男,选法总数为:C1 6C9 1 +C2 6C9=216+135=351 种(3 分) 1 30.【解】(1)因为每列的数成等比数列,即 2,1,a 成等比数列,所以 a = (1 分) 2 3 又因为每行的数成等差数列,即可求出第二列第五行的数字为 ,同理可求出第二列第四行的 2 3 5 数字为 ,依次可求得 b = (1 分) 4 16 c = (2) 1 16 1 8 1 4 1 2 1 3 32 3 16 3 8 3 4 3 2 1 8 1 4 a 1 2 5 32 b 5 8 5 4 5 2 c 3 8 3 4 3 2 3 3 (1 分) 16

(答全对得 3 分,每行或每列答对得 0.5 分) (3)由(1)(2)可得: 1 3 1 5 3 20 5 第一行各数和为: + + + + = = , 16 32 8 32 16 32 8 1 3 1 5 3 5 第二行各数和为: + + + + = , 8 16 4 16 8 4 5 同样的方法可分别求得第三行各数之和为 ,第四行各数之和为 5,第五行各数之和为 10. 所 2 5 5 5 115 以各数之和为 10+5+ + + = (3 分) 2 4 8 8 31.【解】(1)f(x)=3sin(ax-π )+4cos(ax-3π )+2 =-3sinax-4cosax+2

=5sin(ax+β)+2 (2 分) 2π 2 由题意有 =? ? (1 分) 3 ? a ? 解得:a=± 3π (1 分) (2)因为 sin(ax+β)∈[-1,1](1 分) 所以 f(x)的值域为:f(x)∈[-3,7](1 分) 1 32.【解】∵ S△ABC= BC×AB×sinB?AB=2(1 分) 2 由余弦定理:AC2=AB2+BC2-2BC×AB×cosB(1 分) ∴ AC= 3 (1 分) ∵BC2+AC2=AB2(1 分) ∴△ABC 是直角三角形 (1 分) ∴ ∠C=90°(2 分) 33.【解】(1)因为直线 C1B∥AD1, 且 AD1?平面 AD1C,推知直线 C1B∥平面 AD1C(1 分) 所以直线 C1B 与平面 AD1C 所成的角为 0°(1 分) (2)连接 C1D,交 C1D 于 E, 连接 AE, 因为 E 是对角线交点,三角形 ACD1 是等边三角形,所 以 DE⊥CD1,AE⊥CD1, 所以∠AED 是平面 C1D 与平面 AD1C 所成二面角的平面角(1 分) 在三角形 ADE 中,DE= 2 6 a,AE= a, 2 2

2 a DE 2 3 所以 cos∠AED= = = . (2 分) AE 3 6 a 2 (3)设两部分中体积大的部分体积为 V1, 体积小的部分的体积为 V2, 正方体体积为 V,则有 V= a3 a3,V2=VA-D1DC= (1 分) 6 a3 5 所以所求部分的体积 V1=V-V2=a3- = a3(1 分) 6 6

第 33 题图 34.【解】(1)由题意抛物线 x2=4y 的焦点 F(0,1),因为直线 L 的斜率为 k, 所以直线 L 的 方程为 y-1=kx 化为一般式即为:kx-y+1=0(3 分)
?x2=4y ① ? (2)联立方程得:? , 将②代入①得:x2-4kx-4=0, ? kx - y + 1 = 0 ② ?

x1+x2=4k, x1x2=-4, |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2

= 1+k2 (4k)2+16= 1+k2 16k2+16 =4(1+k2) (2 分) 又因为原点(0,0) 到直线 kx-y+1=0 的距离为:d= 1 (1 分) 1+k2

1 1 1 所以△AOB 的面积 S= d|AB|= × ×4(1+k2)=2 1+k2(1 分) 2 2 1+k2 (3)由(2)得 x2-4kx-4=0, Δ =16k2+16>0, ∴k∈R(1 分) 因为 S=2 1+k2,所以无论 k 取何值,面积 S 无最大值(1 分) k=0 时,S=2 为最小值 (1 分)


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