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2014-2015学年点拨高中数学必修4(R-A版)过关测试卷:模块过关测试卷


必修 4 模块过关测试卷 (150 分,120 分钟) 一 、选择题(每题5分,共 60 分) 1.sin390°等于( A.
1 2

)
1 2

B. -

C.

3 2

D. -

3 2

1 π? 2. 〈

温州高三第一次适应性测试〉已知 sin 2? ? ,则 cos2 ? ?? ? ? 等于 3

?

4?

( A.
1 3

) B. ?
1 3

C.

2 3

D. ?

2 3

3.〈2014 年温州市高三第一次适应性测试〉已知∠ ? 的终边与单位圆
4 3? 交于点 ? ? ? , ? ,则 tan ? 等于( ? 5 5?

) C. ?
3 5

A. ?

4 3

B. ?

4 5

D. ? )

3 4

4.已知 a =(x,3), b =(3,1), 且 a ⊥ b , 则 x 等于( A.-1 B.-9 C.9

D.1

5.已知角 ? 的正弦线和余弦线长度相等,且 ? 的终边在第二象限,则 tan ? 等于( A.0 ) B.1 C.-1 D. 3
1 2

6.把函数 y ? sin x?x ? R ? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐 标不变) ,再把图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到的图象 所对应的函数解析式是(
π? A. y ? sin? ? 2 x ? ??x ? R ? ? 3?
π 6

)

x π? B. y ? sin? ? ? ??x ? R ? ?2 6? π? C. y ? sin? ? 2 x ? ??x ? R ? ? 3?

D. y ? sin? ? 2x ?
?

2π ? ??x ? R ? 3 ?

7.若向量 a 与 b 的夹角为 120°,且 a =1, b =2, c = a + b ,则有( A. c ⊥ a C. c ∥ b B. c ⊥ b D. c ∥ a )

)

8.已知 a =2, b =1, a ? b =1,则向量 a 在 b 方向上的投影是( A. ?
1 2

B. ? 1

C.

1 2

D.1
1 3

CD ? CA ? ? CB , 9.在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD ? 2DB ,

则 ? 等于( A.
2 3

) B.
1 3

C. ?

1 3

D. ? )

2 3

10.下列函数中,其图象的一部分是图 1 的是(

图1
π? A. y ? sin? ?x ? ? ? 6? π? B. y ? sin? ? 2x ? ? ? 6? π? C. y ? cos? ? 2x ? ? ? 6?

π? D. y ? cos? ? 4x ? ? ? 3? 2 cos?π ? 2? ? = - ,则 cos ? +sin ? 等于( π? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

11.已知

)

A. ?

7 2

B.

7 2

C.

1 2

D. ?

1 2

π? π? ? 12.在函数 y=|tanx|, y ? sin? ? x ? ? , y ? sin 2 x , y ? sin? 2 x ? ? 四 ? 2?
? 2? π? 个函数中,既是以π 为周期的偶函数,又是区间 ? ? 0, ? 上的增函数的 ? 2?

个数是( A.1

) B.2 C.3 D.4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知 tan ? =3,计算
4 sin ? ? 2 cos ? 的值是 5 cos ? ? 3 sin ?


5 , 5

? 满足 sin ? = 14. 〈湖州中学第一学期高三期中考试〉 已知锐角 ? 、

cos ? =

3 10 ,则 ? + ? = 10

.

15.甲、乙两位同学共同提起一个行李包(如图 2 所示).设他们所用 的力分别为 F1 ,F2 ,行李包所受重力为 G ,若 F1 ? F2 ?
F2 的夹角 ? 的大小为
2 G ,则 F1 与 2

.

图2

π? 16. 设 函 数 y ? 2 sin ? ? 2 x ? ? 的 图 象 关 于 点 P?x0 ,0? 成 中 心 对 称 , 若 ? 3? ? π ? x0 ? ?? ,0? ,则 x0 = ? 2 ?



三、解答题(1 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤)
π ? ? 3π ? ? sin ? ? ? ? cos? ? ? ? tan?π ? ? ? 2? ? 2 ? 17.已知 ? 为第三象限角,f( ? )= ? . tan?? ? ? π ?sin ?? ? ? π ?

(1)化简 f( ? );

(2)若 cos? ?? ?
?

3π ? 1 ? ? ,求 f( ? )的值. 2 ? 5

? ? ? ? π? π ?? π? π ?? ? ? 18.已知向量 m ? ? ? sin? x ? ?,? 3 cos? x ? ? ? ?, n ? ? ? sin? x ? ?, cos? x ? ? ? ? ,函 ? ? 4? ? 4 ?? ? ? 4? ? 4 ??

数 f(x)= m ? n, x ? R . (1)求函数 f(x)的图象的对称中心的坐标;

(2)将函数 f(x)图象向下平移 个单位,再向左平移 个单位得函数 g(x)的图象,试写出 g(x)的解析式并作出它在 ? ?? ,
π 5π ? 上的图象. ? 6 6? ?

1 2

π 3

? π ?? ? 19.设函数 f(x)= a ? b ,其中向量 a ? ?sin 2 x, 3 ?, b ? ? ? ? 1, sin? 2 x ? ? ? ?, x ? R . ? ? 6 ??

(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合;

(2) 将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 ? 个单位长度 ( ? >0) , 则? 最 小为多少时,才能使得到的函数 g(x)的图象关于 y 轴对称?

20.已知 a =(1,2), b =(-3,2),当 k 为何值时, (1)k a + b 与 a -3 b 垂直?

(2) k a + b 与 a -3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

21.人的心脏跳动时,血压在增加或减少.心脏每完成一次跳动,血压 就完成一次改变,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压 . 已知某人在某时段的血压 P(t) (单位:mmHg)与时间 t(单位:min) 的函数关系可以用函数 P(t)= A sin ?t ? b 表示,其图象如图 3 所示. (1)根据图象求函数 P(t)的解析式;

图3

(2)求此人在该时段的收缩压和舒张压,以及每分钟心跳的次数.

22.已知 a =( 3 sinx,m+cosx), b =(cosx,-m+cosx), 且 f(x)= a ? b . (1)求函数 f(x)的解析式;

? (2) 当 x ? ? ? , ? 时, f(x)的最小值是-4 , 求此时函数 f(x)的最大 ? ? 6 3? ππ

值, 并求出相应的 x 的值.

参考答案及点拨 一、1.A 点拨:sin390°=sin30°= .
π? ? 1 1 ? cos? 2? ? ? 1? π? 2 ? 1 ? sin 2? ? 3 ? 2 ,故选 C. 点拨: cos2 ? ? ? ?? ? ? ? 4? 2 2 2 3 ?
1 2

2.C

考点:1.二倍角的余弦公式;2.诱导公式. 3.D
3 y 3 点拨:根据三角函数的定义, tan? ? ? 5 ? ? ,故选 D. x ?4 5 5

考点:任意角的三角函数的定义. 4.A 点拨:∵ a ? b ,∴ 3x+3=0,∴ x ? ?1 . 5.C 点拨: 因为角 ? 的正弦线和余弦线长度相等, 并且 ? 的终边在第 二象限,所以 sin ? = ? cos? .又因为 tan ? =
sin ? ,所以 tan ? ? ?1 .故选 cos ?

C.解决本题的关键是明白正弦线与余弦线长度相等不代表正弦值与 余弦值相等.
? π ?? 6.A 点拨: y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin ?2? ? x ? ?? . ? ? 6 ??
2

7.A 点拨: 由题意得 a ? c ? a ?a ? b ? ? a 2 ? a ? b ? a ? a ? b ? cos 120 ? ? 1 ? 1 ? 0 , 则c ? a. 考点:向量的模及数量积运算. 8.D 点 拨 : 因 为 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 是 a cos a, b , 且
a ?b .所以 a cos a, b =1.故选 D.解决本题关键是理解一个向量 a?b

cos a, b ?

在另一个向量的方向上的投影的含义. 考点:1.向量的数量积;2.投影的概念.

9.A 10.C
??

点 拨 : 由 函 数 图 像 知 函 数 的 周 期 为 T ? 4? ?

π ? ? 12

π? ??π ,则 6?

2π π ? 2 ,排除 A、D,当 x ? 时,函数值为 1,则 C 正确. π 12

考点:三角函数的图像及性质. 11.D 点拨:
cos?π ? 2? ? ? cos2? ? π? ? 2 sin ? ? ? ? ?sin ? ? cos? ? 4? ? 2

?

1 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos? ? sin ? 2 ,所以 sin ? ? cos ? ? ? . ? ?? 2 2 2 2 ?sin ? ? cos? ? 2 2

?

?

考点:三角函数运算. 12.B 二、13.
5 7

点拨:显然 cos ? ≠0,

4 sin ? ? 2 cos? 4 sin ? ? 2 cos? 4 tan? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos? ∴ ? ? ? ? . 5 cos? ? 3 sin ? 5 cos? ? 3 sin ? 5 ? 3 tan? 5 ? 3 ? 3 7 cos?

14.

π 4

点 拨 : 由 题 意 易 得 cos? ?

2 5 10 , sin ? ? , ∴ 5 10

cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ?

π 2 ? 为锐角, , 又∵ ? 、 ∴? ? ? ? . 4 2

考点:三角函数运算. 15.
π 2

点拨: 由力的平衡可知 F1 ? F2 ? G ? 0 ,F1 ? F2 ? ?G , 两边平方,

可得 F12 ? F22 ? 2F1 ? F2 ? ?? G?2 ,由条件得 F1 ? F2 =0,故 F1与F2 的夹角 ? 的 大小为 . 16. ?
π 3 π π? 点 拨 : 当 y ? 2s i ? n2 x ? ? ? 0 时 , 2 x ? ? kπ?k ? Z ? , 即 ? π 2

?

3?

3

x?

kπ π π ? ?k ? Z ? ,当 k ? ?1 时, x0 ? ? . 2 6 3

π ? ? 3π ? ? sin ? ? ? ? cos? ? ? ? tan?π ? ? ? 2? ? 2 ? 三、17.解: (1) f ?? ? ? ? tan?? ? ? π ?sin ?? ? ? π ?

=

?? cos? ??sin ? ??? tan? ? = ? cos? . ?? tan? ?sin ?
?
1 1 3π ? 1 ? ? ,∴ ? sin ? ? ,从而 sin ? ? ? .又 ? 为第三象限 5 5 2 ? 5

(2)∵ cos? ?? ?

角,∴ cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 6 2 6 ,∴ f ?? ? ? ? cos? ? . 5 5

π? π? ? π? ? 18.解: (1) f ?x ? ? m ? n ? sin 2 ? ? x ? ? ? 3 cos? x ? ? cos? x ? ? ? 4? ? 4? ? 4?

?

1 ?? 1 ?1 ? sin 2 x? ? 3 cos2 x ? sin? ? 2x ? ? ? . 2 2 3? 2 ?

π 1 π π? 由 sin ? ? 2 x ? ? ? 0 得: 2 x ? ? kπ, k ? Z ,所以 x ? kπ ? , k ? Z .

?

3?

3

2

6

1 π 1? 所以 f(x)的图像的对称中心的坐标为 ? ? kπ ? , ?, k ? Z . ?2 6 2? π? (2)g(x)= sin ? ? 2 x ? ? ,列表: ? 3?
2x ? π 3

0
? π 6

x
g ?x ?

π 2 π 12

π
π 3

3π 2 7π 12



5π 6

0

1

0

-1

0

描点、连线得函数 y ? g ?x ? 在 ? ?? ,

π 5π ? 上的图象如答图 1 所示: ? 6 6? ?

答图 1
π? 1 3 19.解: (1) f ?x? ? a ? b ? ? sin 2 x ? 3 sin? cos2 x ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? 6? 2 2
π? ? ? sin ? 2 x ? ? . 3? ?

故函数 f(x)的最小值为 ? 1 ,此时 2 x ? ? 2kπ ? ,故 x ? kπ ? 故使 f(x)取得最小值的 x 的集合为 ? ? x | x ? kπ ?
? π ? , k ? Z? . 12 ?

π 3

π 2

π ?k ? Z ? , 12

π? (2)由条件可得 g ?x ? ? sin? ? 2 x ? 2? ? ? ,因为其图象关于 y 轴对称,所 ? 3?

以 2? ? ? kπ ? ,? ? 值

π 3

π 2

kπ π ? ?k ? Z ? ,又 ? >0,故当 k=0 时,? 取得最小 2 12

π π , 即 ? 最小为 时, 才能使得到的函数 g(x)的图象关于 y 轴对称. 12 12

20.解: ka ? b ? k ?1,2? ? ?? 3,2? ? ?k ? 3,2k ? 2?, a ? 3b ? ?1,2? ? 3?? 3,2? ? ?10,?4? . (1) 由 ?ka ? b? ? ?a ? 3b? , 得 ?ka ? b? ? ?a ? 3b? ? 10?k ? 3? ? 4?2k ? 2? ? 2k ? 38 ? 0 , 所以 k=19. (2) ?ka ? b?//?a ? 3b? ,得 ? 4?k ? 3? ? 10?2k ? 2? ,所以 k ? ? . 此时 ka ? b ? ? ??
10 4 ? 1 , ? ? ? ?10,?4? ,所以它们方向相反. 3 ? 3 3?
1 3

21.解: (1)由题图知,A=20,b=90, 周期 T ? 2 ? ? ?
2π 1 1 ? 1 ,所以 ? ? ? 180 π . ? ?? T ? 120 360? 90

所以 P?t ? ? 20sin180πt ? 90 .

(2)因为 P(t)的最大值为 110,最小值为 70,频率 f ?

1 =90. T

故此人在该时段的收缩压是 110 mmHg,舒张压是 70 mmHg,每分钟 心跳的次数是 90 次. 22.解: (1) f ?x? ? a ? b ? ? 3 sin x, m ? cosx?? ?cosx,?m ? cosx? , 即 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 . (2) f ?x ? ?
3 sin 2 x 1 ? cos2 x π? 1 ? ? ? m2 = sin ? 2 x ? ? ? ? m2 , 2 2 6? 2 ? π π π π 5π ? , ? ?

? ? ∵x?? ? , ?? 6 , 3 ?, ∴ 2 x ? 6 ? ? ? 6 6 ? ? π? ? 1 ? ∴ sin? ? 2 x ? ? ? ?? ,1? , 6? ? 2 ? ?

∴ ? ? ? m 2 ? ?4, ∴ m 2 ? 4 . ∴ f ?x ?max ? 1 ? ? 4 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? .
1 2 5 2 π 6 π 2 π 6

1 2

1 2


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