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比较全面的等差等比数列的性质总结

时间:2012-01-09


数学

一、等差数列
1.等差数列的定义: a n ? a n ?1 = d (d为常数) n ≥ 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式: 等差数列通项公式:

an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d (n ∈ N * )
推广: 推广: a n = a m + ( n ? m) d . 3.等

差中项 等差中项

, 首项: a1 ,公差:d,末项: an

从而 d =

an ? am ; n?m
a+b 或 2A = a + b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A =

(2)等差中项:数列 {a n } 是等差数列 ? 2a n = a n -1 + a n +1 ( n ≥ 2) ? 2a n +1 = a n + a n + 2 4.等差数列的前 n 项和公式: 等差数列的前 项和公式:

Sn =

n(a1 + an ) n(n ? 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 ? d )n = An 2 + Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地, 特别地,当项数为奇数 2n + 1 时, an +1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S 2 n +1 =

( 2n + 1)( a1 + a2 n +1 ) =
2

( 2n + 1) an+1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

5.等差数列的判定方法 等差数列的判定方法 ? (1) 定义法:若 a n ? a n ?1 = d 或 a n +1 ? a n = d (常数 n ∈ N ) ? ⑶数列 {a n } 是等差数列 ? a n = kn + b (其中 k , b 是常数)。
2

(2) 等差中项:数列 {a n } 是等差数列 ? 2a n = a n -1 + a n +1 ( n ≥ 2) ? 2a n +1 = a n + a n + 2 . (4)数列 {a n } 是等差数列 ? S n = An + Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 等差数列的证明方法 ? 定义法:若 a n ? a n ?1 = d 或 a n +1 ? a n = d (常数 n ∈ N ) ?

{a n }是等差数列.

{a n }是等差数列.

7.提醒 7.提醒: 提醒 (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 设项技巧: (2)设项技巧: ①一般可设通项 an = a1 + ( n ? 1) d ; ②奇数个数成等差,可设为…, a ? 2d , a ? d , a, a + d , a + 2d …(公差为 d ) 注意; ③偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ,…(注意;公差为 2 d ) 注意 8..等差数列的性质: 8..等差数列的性质: 等差数列的性质 (1)当公差 d ≠ 0 时, 等差数列的通项公式 an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 S n = na1 +

n(n ? 1) d d d = n 2 + (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)若公差 d > 0 ,则为递增等差数列,若公差 d < 0 ,则为递减等差数列,若公差 d = 0 ,则为常数列。 (3)当 m + n = p + q 时,则有 a m + a n = a p + a q ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有 am + an = 2a p . 注: a1 + an = a2 + an ?1 = a3 + an ? 2 = ??? ,

-1-

数学 (4)若 {an } 、 {bn } 为等差数列,则 {λ an + b},λ1an + λ2bn } 都为等差数列 { (5) 若{ a n }是等差数列,则 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,…也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ∈ N )项取出一项( am , am + k , am + 2 k , am +3k , ??? )仍为等差数列
*

(7)设数列 {a n } 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 = a1 + a3 + a5 + ??? + a2 n ?1 =

= nan 2 n ( a2 + a2 n ) S偶 = a2 + a4 + a6 + ??? + a2 n = = nan +1 2 S偶 ? S奇 = nan +1 ? nan = n ( an +1 ? an )

n ( a1 + a2 n ?1 )

S奇 S偶

=

nan a = n nan +1 an +1

2、当项数为奇数 2n + 1 时,则

? S 2 n +1 = S奇 + S偶 = (2n + 1) an+1 ? S奇 = (n + 1)an+1 ? S n +1 ? ?? ? 奇 = ? S奇 ? S偶 = an+1 S偶 n ? S偶 = nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 、 则

an (2n ? 1)an A2 n ?1 = = = f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

An = f ( n) , Bn

(9)等差数列 {an } 的前 n 项和 S m = n ,前 m 项和 S n = m ,则前 m+n 项和 S m + n = ? ( m + n ) (10)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n∈ N* 。
法二: “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 (1) 即当 a1 > 0,d < 0,由 ?

?a n ≥ 0 可得 S n 达到最大值 最大值时的 n 值. 最大值 ?a n +1 ≤ 0 ?a n ≤ 0 可得 S n 达到最小值 最小值时的 n 值. 最小值 ?an +1 ≥ 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 < 0,d > 0,由 ? 或求 {an }中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对 称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) S p = S q则其对称轴为 n = 。若 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: 等差数列问题时 的方程; 基本量法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量. 巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量. 等差数列的性质

p+q 2

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数学

二、等比数列
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an = q ( q ≠ 0 ) ( n ≥ 2, 且n ∈ N * ) , q 称为公比 公比 an ?1

an = a1q n ?1 =

a1 n q = A ? B n ( a1 ? q ≠ 0, A ? B ≠ 0 ) , q
n?m

首项: a1 ;公比: q

推广: an = am q 3. 等比中项



从而得 q

n?m

=

a an 或 q = n?m n am am
2

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A = ab 或 A = ± ab 注意:同号的 同号的两个数才有 才有等比中项,并且它们的等比中项有两个 有两个(两个等比中项互为相反数) 同号的 才有 有两个 2 (2)数列 {a n } 是等比数列 ? an = an ?1 ? an +1 4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q = 1 时, S n = na1 (2) 当 q ≠ 1 时, S n =

a1 (1 ? q n )
1? q
=

=

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n = A ? A ? B n = A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 an +1 = qan或
2

an +1 = q (q为常数,an ≠ 0) ? {an } 为等比数列 an

(2) 等比中项: an = an +1an ?1 ( an +1an ?1 ≠ 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an = A ? B
n

( A ? B ≠ 0 ) ? {an } 为等比数列
n n

(4) 前 n 项和公式: S n = A ? A ? B 或S n = A ' B ? A ' A, B, A ', B ' 为常数 ? {an } 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

(

)

an = q ( q ≠ 0 ) ( n ≥ 2, 且n ∈ N * ) 或 an +1 = qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an = a1q 如奇数个数成等差,可设为…,
n ?1

a a , , a, aq, aq 2 …(公比为 q ,中间项用 a 表示) ; q2 q
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数学

8. 等比数列的性质 (1) 当 q ≠ 1 时
①等比数列通项公式 an = a1q
n ?1

=

a1 n q = A ? B n ( A ? B ≠ 0 ) 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q q

②前 n 项和 Sn =

a1 (1 ? q n ) 1? q

=

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n = A ? A ? B n = A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q

数的类指数函数,底数为公比 q

(2) 对任何 m,n ∈ N * ,在等比数列{an } 中,有 an = am q n ? m ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公 式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ∈ N * ),则 an ? am = as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am = ak 2 注: a1 ? an = a2 ? an ?1 = a3 an ? 2 ???
a k (4) 列{an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数 an bn

列. (5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ∈ N * )项取出一项( am , am + k , am + 2 k , am +3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列 等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 等比数列 等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , (9) ①当 q > 1 时,
>0,则{an }为递增数列 {a1 <0,则{an }为递减数列 , a1

an +1 ? an + 2 ????? a2 n ,

a2 n +1 ? a2 n + 2 ??????a3n 成等比数列

②当 0<q < 1 时,
> 0,则{a }为递减数列 {a1 <0,则{ann }为递增数列 a1

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ∈ N * )时,

S奇 S偶

=

1 ,. q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 S n + m = S n + q n ? S m
例 1、 (1)设 {a n } 是等差数列,且 a1 ? a 4 ? a8 ? a12 + a15 = 2 ,求 a 3 + a13 及 S15 值。 (2)等比数列 {a n } 中, a1 + a n = 66 , a 2 a n ?1 = 128 ,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 (3)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99; (4)项数为奇数的等差数列 {a n } 中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项与项数。
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解: (1)由已知可得 a8 = ?2 ,所以 a 3 + a13 =2 a8 = ?4 ,S15=

15(a1 + a15 ) = 15a8 = ?30 2 ? a = 2 ?a1 = 64 或? ( 2 ) 由题 a1a n = 128, a1 + a n = 66 ,所以 ? 1 ?a n = 64 ? a n = 2 a ? an q ?q = 2 ?q = 1 ? 又 Sn = 1 或? = 126 ,所以 ? 2 1? q ?n = 6 ? n = 6 ?

数学

( 3) Q S99 = ( a1 + a4 + L + a97 ) + ( a2 + a6 + L + a98 ) + ( a3 + a6 + L + a99 )
? 1 1 ? = ? 2 + + 1? ( a3 + a6 + L + a99 ) q ? ?q ∴ a3 + a6 + L + a99 = 44

评注:分解重组,引导发现( a1 + a4 + L + a97 )( a2 + a6 + L + a98 )与( a3 + a6 + L + a99 )的关系,从而 、 使问题获得简单的解法。

(a1 + a 2n?1 )n
S奇 S偶 =

(4) 设等差数列共 2n-1 项,则

(a 2 + a 2n? 2 )(n ? 1)
2

2

=

n 80 = ? n = 16 n ? 1 75

所以此数列共 31 项.中间项 = S 奇 ? S 偶 = 80 ? 75 = 5 评注:(1)在项数为 2n + 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n +1)a中 ,S偶 =na中 ,S 2n +1 =(2n +1)a中 ; (2)在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan +1 ,S 2n +1 =n(an + an +1 ) . 变式: (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 ,则这个数列有 13 项; (2)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ∈ N , a3 a5 + 2a4 a6 + a5 a7 = 81 ,则
*

a4 + a6 =

9 .

(3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . (4) 等差数列{an}和{bn}的前 n 项之和之比为(3n+1):(2n+3),求. 例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0, (1)求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 解: (1) S12 = 12a1 +

a15 88 。 (= ) b15 61

?2a1 + 11d > 0 12 × 11 12 × 13 d > 0 , S13 = 13a1 + d < 0 ,即 ? , 2 2 ? a1 + 6d < 0

24 < d < ?3 。 7 (2)解一:由 S12 = 6(a 6 + a 7 ) > 0 , S13 = 13a 7 < 0 可知 a 6 > 0 , a 7 < 0 ,所以 S6 最大。
由 a 3 = a1 + 2d = 12 ,代入得: ? 解二:S n =

24 d 2 ? 5d ? < d < ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的 n + ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?
2

点,根据图象可知 S6 最大。

24 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 解三: S n = ? n ? ) ,由 ? < d < ?3 得 ? ? ( 7 2? 2d ? 2 2d 5d ? 24 13 6< < 。又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 2d 2
评注: 评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的 性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 经过原点) (经过原点 经过原点 变式:(1) 已知等差数列{an}中, a1 > 0, S 5 = S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大。
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数学 (2) 数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 的等比数列,数列 {b n } 满足 10

1 bk = (lg a1 + lg a2 +L+ lg ak ) ( k ∈ N * ) , k
(1)求数列 {b n } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n′ . 略解: (1)由题得 an = 10
4?n

,∴ lg an = 4 ? n ,∴ {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的 AP。

∴ lg a1 + lg a2 + L + lg ak = 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]= ,∴ bn = [3n ? 2 n 2 2 ?bn ≥ 0 21 由? ,得 6 ≤ n ≤ 7 ,∴数列 {b n } 的前 n 项和的最大值为 S6 = S7 = 2 ?bn +1 ≤ 0
3+

(2)由(1)当 n ≤ 7 时, bn ≥ 0 ,当 n > 7 时, bn < 0 ,

7?n 2 )n = ? 1 n 2 + 13 n ∴当 n ≤ 7 时, S n′ = b1 + b2 + L + bn = ( 2 4 4 1 2 13 当 n > 7 时, S n′ = b1 + L + b7 ? b8 ? L ? bn = 2 S 7 ? S n = n ? n + 21 4 4 ? 1 2 13 (n ≤ 7) ?? n + 4 n ′=? 4 ∴ Sn . ? ? 1 n 2 ? 13 n + 21 (n > 7) ?4 ? 4 例 3、(1) 由正数组成的等比数列 {an } ,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4
项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 {an } 的通项公式.

? a1 (1 ? q 2 n ) 11a1q (1 ? q 2 n ) ① = ? 1? q2 解:当 q = 1 时,得 2na1 = 11na1 不成立,∴ q ≠ 1 ,∴ ? 1 ? q ?a q 2 + a q3 = 11a q ? a q 3 ② ? 1 1 1 1 1 1 n? 2 由①得 q = ,代入②得 a1 = 10 ,∴ an = ( ) . 10 10 说明:用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为 1. (2) 若数列 {an } 成等差数列,且 S m = n, S n = m( m ≠ n) ,求 S n + m .
解: (法一)基本量法(略) ;

? An 2 + Bn = m ? (法二)设 S n = An + Bn ,则 ? 2 ? Am + Bm = n ?
2
2 2

(1) (2)

(1) ? (2) 得: (n ? m ) A + (n ? m) B = m ? n ,Q m ≠ n , ∴ (m + n) A + B = ?1 ,
∴ S n + m = ( n + m) A + ( n + m) B = ? ( n + m ) .
2

评注:法二抓住了等差数列前 n 项和的特征 S n = An + Bn 。
2

变式: 变式:设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{
7×6 ? ?S = 7a 1 + 2 d = 7 ? 7 解:法一: (基本量法)设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S = 15a + 15 × 14 d = 75 1 ? 15 2 ?

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

?a = ?2 ∴ ? 1 ?d = 1

∴ S n = ?2 +

S n ( n ? 1) n ?1 n 5 ,∴ n = ?2 + = ? 2 n 2 2 2

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数学 ∴ 此式为 n 的一次函数, ∴ {
Sn 1 a }为等差数列,∴ Tn = n 2 ? n 。 n 4 4

?S 7 = A × 7 2 + 7 B = 7 ? 法二:{an}为等差数列,设 Sn=An2+Bn,∴ ? ?S15 = A × 15 2 + 15B = 75 ?
1 ? ?A = 2 ? 解之得: ? ?B = ? 5 ? 2 ? 1 2 5 n ? n ,下略。 2 2

∴ Sn =

例 4、已知等差数列 110,116,122,L , (1)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和. 解: an = 110 + 6( n ? 1) = 6n + 104 , (1)由 450 ≤ 6n + 104 ≤ 600 ,得 58 ≤ n ≤ 82 ,又 n ∈ N ,
*

∴ 该数列在 [450, 600] 上有 25 项, 其和 S n =

1 (a58 + a82 ) × 25 = 13100 . 2 (2)∵ an = 110 + 6( n ? 1) ,∴要使 an 能被 5 整除,只要 n ? 1 能被 5 整除,即 n ? 1 = 5k ,

∴ n = 5k + 1 ,∴ 58 ≤ 5k + 1 ≤ 82 ,∴ 12 ≤ k ≤ 16 ,∴在区间 [450, 600] 上该数列中能被 5 整除的项共有 5 项 即第 61, 66, 71, 76,81 项,其和 S =

5(a61 + a81 ) = 2650 . 2

等差、 等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题 1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 2 f (n) + n 3.设函数 f(x)满足 f(n+1)= (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( ) 2 A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 > 0, a2003 + a2004 > 0, a2003 .a2004 < 0 ,则使前 n 项和

S n > 0 成立的最大自然数 n 是:





) (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (:)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 8. 现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数 为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 ) 9.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列
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A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 * 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 o,命题乙:△AB: 的三个内角的度数成等差数列.那么( 6. 设命题甲:△AB: 的一个内角为 60

数学 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 10.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题 2a n 2 11.在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则 是这个数列的第_________项. an + 2 7 12.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 13.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. S a 2n 14.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 n = ,则 11 =_________. Tn 3n + 1 b11 15. 已知等差数列{a n}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 16. 若数列 {an } 是等差数列,则数列 ?
a1 + a 3 + a 9 的值是 a 2 + a 4 + a 10

? a1 + a2 + L + an ? ? 也为等差数列,类比上述性质,相应地:若 {c n } n ? ? 是等比数列,且 cn >0 ,则{ d n }是等比数列,其中 d n = .
17. 设 m∈m+,log2m 的整数部分用 F(m)表示,则 F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,问它们有多少相同的项?

19. 在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大.

20. 已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1), a2=- (1)求 x 值; (2)求 a2+a5+a8+…+a26 的值.

3 ,a3=f(x). 2

21.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=

1 . 2

1 }是等差数列; (2)求 an 表达式; Sn (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.
(1)求证:{

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数学

13、 等差、等比数列性质及应用复习题参考答案 13、14 等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题: 1、 C 2、D 二、填空提: 11、6 3、B 4、C 5、C 14、 6、C 15、 7、A 8、B 9、B 10、B 17、8204

12、-110

13、5

21 32

13 16

16、 n C1 ? C2 L Cn

三、解答题: 18. 设这两个数列分别为{an}、{bn},则 an=3n+2,bn=4n-1,令 ak=bm,则 3k+2=4m-1. ∴3k=3(m-1)+m,∴m 被 3 整除. 设 m=3p(p∈N*),则 k=4p-1. ∵k、m∈[1,100]. 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴它们共有 25 个相同的项. 19. ∵S9=S17,a1=25,∴9×25+ ∴Sn=25n+

n(n ? 1) (-2)=-(n-13)2+169.由二次函数性质知前 13 项和最大. 2 20.、 (1)∵f(x-1)=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4 ∴f(x)=(x-1)2-4,∴a1=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4, 又 a1+a3=2a2,解得 x=0 或 x=3. 3 3 (2)∵ a1、a2、a3 分别为 0、- 、-3 或-3、- 、0 2 2 3 3 ∴an=- (n-1)或 an= (n-3) 2 2 3 9 351 ① 当 an=- (n-1)时,a2+a5+…+a26= (a2+a26)= 2 2 2 3 9 297 ② 当 an= (n-3)时,a2+a5+…+a26= (a2+a26)= . 2 2 2 21、 (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2),又 Sn≠0, 1 1 1 1 1 ∴ - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S1 a1 Sn 1 1 1 (2)由(1) =2+(n-1)2=2n,∴Sn= ,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- Sn 2n 2n(n ? 1)
?1 (n = 1) ?2 1 ? n=1 时,a1=S1= ,∴an= ? 1 2 ?( n ≥ 2) ? 2n(n - 1) ?
(3) 由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴b22+b32+…+bn2=

9 × (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17×25+ d,解得 d=-2, 2 2

1 n

1 1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ 2 (n ? 1)n 2 3 n 1× 2 2 × 3 1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n ?1 n n

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