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2016届高考数学一轮复习同步检测:阶段回扣练9+平面解析几何

时间:2017-03-14


阶段回扣练 9 平面解析几何
(建议用时:90 分钟) 一、选择题 x y 1.(2015?北京西城区模拟)直线 y=2x 为双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线, a b 则双曲线 C 的离心率是 A. 3 B. 3 2 C. 5 D. 5 2 ( )
2 2

b c 解析 由题意知 =2,得 b=2a,c= 5a,所以 e= = 5,故选 C. a a 答案 C 2.已知圆 C 经过 A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程是 ( A.(x-2) +y =13 C.(x+1) +y =40
2 2 2 2

)

B.(x+2) +y =17 D.(x-1) +y =20
2 2 2 2 2 2

2

2

解析 设圆心坐标为 C(a,0),则|AC|=|BC|,即 (a-5) +2 = (a+1) +4 ,解 得 a=1, 所以半径 r= (1+1) +4 = 20=2 5, 所以圆 C 的方程是(x-1) +y =20. 答案 D 3.(2014?南昌模拟)方程(x +y -2x)? x+y-3=0 表示的曲线是 A.一个圆和一条直线 C.一个圆 B.一个圆和一条射线 D.一条直线
2 2 2 2 2 2

(

)

?x+y-3≥0, ? 2 2 解析 依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0 或②? 2 2 注意到圆 x +y - ? x + y - 2x = 0. ?

2x=0 上的点均位于直线 x+y-3=0 的左下方区域,即圆 x +y -2x=0 上的点均不满 足 x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线 x+y-3=0,故 选 D. 答案 D x y 4.(2014?东北三省四市联考)以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲 8 5 线的离心率为 2 26 A. 13 2 6 B. 3 C. 8 3 D. 13 8 ( )
2 2

2

2

1

c 2 2 2 6 解析 由题意知双曲线的 a= 3,c=2 2,所以 e= = = . a 3 3 答案 B 5.(2015?九江质量检测)若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3) +(y-3) =4 相交于 A,B 两 → → 点,则CA?CB的值为 A.-1 B.0 C.1 D.10 ( )
2 2

|3-3+2| ∠ACB 解析 依题意, 圆心 C(3, 3)到直线 x-y+2=0 的距离等于 = 2, cos = 2 2 2 ∠ACB → → , =45°,∠ACB=90°,CA?CB=0,故选 B. 2 2 答案 B x 2 6.(2014?成都诊断)已知实数 1,m,4 构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y =1 的离心率 m 为 A. 2 2 B. 3 C. 2 或 3 2 1 D. 或 3 2 ( )
2

解析 由已知得 m=±2.当 m=2 时,该圆锥曲线表示椭圆,此时 a= 2,b=1,c=1, e= 2 ;当 m=-2 时,该圆锥曲线表示双曲线,此时 a=1,b= 2,c= 3,e= 3, 2

故选 C. 答案 C 7.若直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最 小值为 A.1 B.2 C.4 D.8 1 1 ?1 1? ?a b? 解析 依题意得 + =1,a+b=(a+b)? + ?=2+? + ?≥4,当且仅当 a=b=2 时取 a b ?a b? ?b a? 等号,因此 a+b 的最小值是 4,即该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是 4,故 选 C. 答案 C ( )

x y 8.(2015?长沙模拟)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),离心率 e= 2,右焦点 F(c,0).方 a b 程 ax -bx-c=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x +y =8 的位置关系 是
2
2 2 2

2

2

(

)

A.点 P 在圆外 C.点 P 在圆内 解析

B.点 P 在圆上 D.不确定

b c 2 2 2 依题意得 a=b,c= 2a,x1+x2= =1,x1x2=- =- 2,x1+x2=(x1+x2) - a a
2 2

2x1x2=1+2 2<8,因此点 P 位于圆 x +y =8 内,故选 C. 答案 C x y 9.(2014?海口调研)已知点 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P a b 为双曲线左支上的任意一点,且|PF2|=2|PF1|,若△PF1F2 为等腰三角形,则双曲线的离 心率为 A.3 解析 B. 2 C.2 ( D. 3 2 )
2 2

依题意得 |PF2| - |PF1| = 2a ,又 |PF2| = 2|PF1| ,所以 |PF2| = 4a , |PF1| = 2a. 又

c △PF1F2 为等腰三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即 4a=2c,所以双曲线的离心率为 e= =2, a 故选 C. 答案 C y 2 10.(2014?西安模拟)已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支 3 → → 上一点,则PA1?PF2的最小值为 A.-2 81 B.- 16 C.1 ( D.0
2 2

)

y 2 2 解析 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 =x -1,y = 3 → → 2 2 2 2 3(x -1),PA1?PF2=(-1-x,-y)?(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y =x +3(x -1) 2 → → ? 1? 81 2 -x-2=4x -x-5=4?x- ? - ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时,PA1?PF2取得最小值 ? 8? 16 -2,选 A. 答案 A

二、填空题 11.(2014?成都诊断)已知直线 l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:2x-y=0.若 l1⊥l2,则实数 a 的值为________.

3

a 1 解析 依题意得 =- ,解得 a=1. a-3 2 答案 1 12.(2015?济南模拟)已知直线 3x-4y+a=0 与圆 x -4x+y -2y+1=0 相切,则实数 a 的值为________. 解析 圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =4,由直线 3x-4y+a=0 与圆(x-2) +(y- |6-4+a| 2 1) =4 相切得圆心(2,1)到直线的距离 d 等于半径,所以 d= =2,解得 a=- 5 12 或 8. 答案 -12 或 8 x y 3 13. (2015?陕西统一检测)已知双曲线 S 与椭圆 + =1 的焦点相同, 如果 y= x 是双曲 9 34 4 线 S 的一条渐近线,那么双曲线 S 的方程为________. 3 解析 由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是(0, ±5). 又 y= x 是双曲线 S 的一条渐近线, 4 a 3 2 y x 2 2 所以 c=5, = ,a +b =c ,解得 a=3,b=4,所以双曲线 S 的标准方程为 - =1. b 4 9 16 答案 y x - =1 9 16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y 14.(2015?湖北七市(州)联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F a b 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的左支没有公共点,则此双曲线离心率的取值范围是 ________. b 解析 依题意,0< ≤tan 45°=1,所以双曲线的离心率 e= a 答案 (1, 2] x y 15.(2014?山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 a b x =2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双 曲线的渐近线方程为________. 解析 c =a +b .① 由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知, p? ? 双曲线过点?c,- ?, 2? ? c p 即 2- 2=1.② a 4b
2 2 2 2 2 2 2 2

2 ?b? 1+? ? ∈(1, 2]. ?a?

4

p 2 2 由|FA|=c,得 c =a + ,③ 4 由①③得 p =4b .④ c 将④代入②,得 2=2. a a +b b ∴ 2 =2,即 =1, a a 故双曲线的渐近线方程为 y=±x,即 x±y=0. 答案 x±y=0 三、解答题 16.(2014?东北三省四市联考)圆 M 和圆 P:x +y -2 2x-10=0 相内切,且过定点 Q(- 2,0). (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经 1? ? 过点?0,- ?,求直线 l 的方程. 2? ? 解 (1)由已知|MP|=2 3-|MQ|, 即|MP|+|MQ|=2 3, 且 2 3大于|PQ|, x 所以 M 的轨迹是以(- 2,0),( 2,0)为焦点,2 3为长轴长的椭圆,即其方程为 + 3 y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3x+m,代入椭圆方程得 10x +6 3mx+3m -3=0, 3 3 所以 x1+x2=- m, 5 则 AB 的中点为?-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

? 3 ? 10

1 3m, m? , 10 ? ?

AB 的垂直平分线方程为 3 1 3? y- m=- ?x+ 10 3 ? 10 3m? ?,

?

1? 5 ? 将?0,- ?代入得 m= , 2? 2 ? 5 所以直线 l 的方程为 y= 3x+ . 2 x y 17.(2014?安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的 a b
5
2 2

直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|= 2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得, |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得, |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|?|BF2|cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)?(2a-k). 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0, 而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2| =|F2A| +|AB| , 可得 F1A⊥F2A, △AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2
2 2 2 2 2 2

x y 3 18.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的 b a 2 距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为 直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. a=2, ? ? 解 (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得?c 3 = , ? a 2 ?

2

2

6

?a=2, 2 2 2 解得? 所以 b =a -c =4-3=1, ?c= 3,
y 2 故所求椭圆 C 的方程为 +x =1. 4 (2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), y 2 将直线 l 的方程 y=kx+ 3代入 +x =1, 4 并整理,得(k +4)x +2 3kx-1=0.(*) 2 3k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, → → 所以OA?OB=0,即 x1x2+y1y2=0. 又 y1y2=k x1x2+ 3k(x1+x2)+3, 1+k 6k 11 于是- 2 - 2 +3=0,解得 k=± , k +4 k +4 2 经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意. 所以当 k=± 11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2
2 2 2 2 2 2 2

19.(2014?浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x =4y → → 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点,PF=3FM. → (1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2,所以 P(2 2,2)或 P(-2 2,2).

2

? 2 2 2? ? 2 2 2? → → 由PF=3FM,分别得 M ?- , ?或 M ? , ?. 3 3 ? ? ? 3 3?
(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
?y=kx+m, ? 2 由? 2 得 x -4kx-4m=0. ? x = 4y , ? 7

于是 Δ =16k +16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k +m). → → 2 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k +m-1),
? ?x0=-6k, 所以? 2 ?y0=4-6k -3m. ?
2

2

1 4 2 2 由 x0=4y0,得 k =- m+ . 5 15 1 4 2 由 Δ >0,k ≥0,得- <m≤ . 3 3 又因为|AB|=4 1+k ? k +m, 点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d= 所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1| k +m = 16 15 3m -5m +m+1.
3 2 2 2 2

|m-1| 1+k

2

.

4? ? 1 3 2 记 f(m)=3m -5m +m+1?- <m≤ ?. 3? ? 3 令 f′(m)=9m -10m+1=0, 1 解得 m1= ,m2=1. 9
2

? 1 1? ?1 ? ? 4? 可得 f(m)在?- , ?上是增函数,在? ,1?上是减函数,在?1, ?上是增函数. ? 3 9? ?9 ? ? 3? ?1? 256 ?4? 又 f? ?= >f? ?. ?9? 243 ?3?
1 256 所以,当 m= 时,f(m)取到最大值 , 9 243 此时 k=± 55 . 15

256 5 所以,△ABP 面积的最大值为 . 135

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