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高中数学第二章 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算


2.2.2

2.2.2

向量的正交分解与向量的直角坐标运算

【学习要求】 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.
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2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区 分开来. 【学法指导】 1

.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示,沟通了向 量“数”与“形”的特征,使向量运算完全代数化.

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2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可 以任意选取,如果一个向量的起点是坐标原点,这个向量
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终点的坐标就是这个向量的坐标;若向量的起点不是原点 → 时,则向量的终点坐标并不是向量的坐标,此时AB=(xB -xA,yB-yA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差,数乘 向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个 互相垂直 的 向量,叫做把向量正交分解. (2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 单位向量 i,j 作为基底,对于平面内 的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y 使得 a= xi+yj , 则 有序数对(x,y) 叫做向量 a 的坐标, a=(x,y) 叫做向 量的坐标表示. (3)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若 A(x,y),则 → → OA= (x,y) ,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1, y2-y1) .

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2.平面向量的坐标运算 (1)若 a=(x1,y1), b=(x2, 2), a+b= (x1+x2,y1+y2) , y 则
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即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. (2)若 a=(x1, 1), y b=(x2, 2), a-b= (x1-x2,y1-y2) , y 则 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若 a=(x,y),λ∈R,则 λa= (λx,λy) ,即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

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探究点一
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平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i、j 作为基底.对于平面内的任一向量 a,由平面 向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+ yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, 叫做 a 在 y 轴上的坐标. y 显 然有,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .

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问题 1 根据下图写出向量 a,b,c,d 的坐标,其中每个小正 方形的边长是 1.

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答 a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).

2.2.2 研一研·问题探究、课堂更高效 问题 2 当向量的始点坐标为原点时,终点坐标是对应向量的 → 坐标;当向量的始点不是坐标原点时,向量AB=(xB-xA,
yB-yA).所以相等向量的坐标相同,从原点出发的向量和平 面直角坐标系的点是一一对应关系.
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请把下列坐标系中的向量的始点移到原点, 并标出向量 a, b, c,d 所对应的点 A,B,C,D.

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→ → → 其中 a=OA=(1,3);b=OB=(-5,-2);c=OC=(-2,-2); → d=OD=(2,-4).

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探究点二 问题 1

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平面向量的坐标运算 → → → 已知 a=OA,b=OB,c=OC,如下图所示,写出 a,

b,c 的坐标,并在直角坐标系内作出向量 a+b,a-b 以及
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a-3c,然后写出它们的坐标.

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易知:a=(4,1),b=(-5,3),c=(1,1), → → → OD=a+b=(-1,4),BA=a-b=(9,-2),OF=a-3c=(1, -2).

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2.2.2

问题 2 一般地,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),试写出 a+b,a -b,λa,λa+μb 的坐标. 答 ∵a=(x1,y1)=x1i+y1j,b=(x2,y2)=x2i+y2j.
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∴a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j =(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j) =(x1-x2)i+(y1-y2)j =(x1-x2,y1-y2); λa=λ(x1i+y1j)=(λx1)i+(λy1)j =(λx1,λy1);

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λa+μb=λ(x1i+y1j)+μ(x2i+y2j)
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=[(λx1)i+(λy1)j]+[(μx2)i+(μy2)j] =(λx1+μx2)i+(λy1+μy2)j =(λx1+μx2,λy1+μy2).

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[典型例题]

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例1 已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),求: → → → → → 1→ (1)AB-AC;(2)AB+2BC;(3)BC- AC. 2 解 ∵A(2,-4),B(0,6),C(-8,10). → ∴AB=(0,6)-(2,-4)=(-2,10), → AC=(-8,10)-(2,-4)=(-10,14), → BC=(-8,10)-(0,6)=(-8,4).

→ → ∴(1)AB-AC=(-2,10)-(-10,14)=(8,-4). → → (2)AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4)=(-18,18). 1 → 1→ (3)BC- AC=(-8,4)- (-10,14)=(-3,-3). 2 2 小结 (1)已知两点求向量的坐标时,一定要注意是终点坐标减去
起点坐标;(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.

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跟踪训练 1 已知 a=(-1,2),b=(2,1),求: 1 1 (1)2a+3b;(2)a-3b;(3) a- b. 2 3 解 (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
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=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
1 1 1 1 (3)2a-3b=2(-1,2)-3(2,1)
? 1 ? ?2 1? ? 7 2? =?-2,1?-?3,3?=?-6,3?. ? ? ? ? ? ?

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例 2 已知 a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),试用 a,b 表 示 c.
解 设 c=xa+yb,
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则(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1) =(-2x+3y,3x+y), ?10=-2x+3y, ? ∴? ?-4=3x+y, ?

解得 x=-2,y=2,∴c=-2a+2b.
小结 待定系数法是最基本的数学方法之一,它的实质是先 将未知量设出来,再利用方程或方程组求解,把一个向量用 其他两个向量表示,这是常用方法.

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跟踪训练 2 已知 a=(10, -5), b=(3,2), c=(-2,2), 试用 b, c 表示 a.
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解 设 a=λb+μc (λ,μ∈R). 则(10,-5)=λ(3,2)+μ(-2,2) =(3λ,2λ)+(-2μ,2μ)=(3λ-2μ,2λ+2μ).
?10=3λ-2μ ? ∴? ?-5=2λ+2μ ?

?λ=1 ? 7 ,解得? 7 ,∴a=b-2c. ?μ=-2 ?

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例 3 已知?ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6), 求顶点 D 的坐标.
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→ → 解 设 D(x,y).则AB=(4,1),DC=(5-x,6-y), ?x=1 ? ? → → ?5-x=4 ? 由AB=DC得 ,∴? . ?6-y=1 ?y=5 ? ?
∴顶点 D 的坐标为(1,5).
小结 向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形的法则 是代数运算的直观含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二 者的法则互为补充,要充分利用这一点,有效解决问题.

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跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7), (4,6),(1,-2),求第四个顶点的坐标. 解 不妨设 A(3,7), B(4,6), C(1, -2), 第四个顶点为 D(x, 则 y).
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A、B、C、D 四点构成平行四边形有以下三种情形. → → (1)当平行四边形为 ABCD 时,AB=DC,
∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), ?1-x=1, ?x=0, ? ? ∴? ∴? ∴D(0,-1); ?-2-y=-1, ?y=-1. ? ?

(2)当平行四边形为 ABDC 时, 仿(1)可得 D(2,-3);

几何画板演示

(3)当平行四边形为 ADBC 时,仿(1)可得 D(6,15).
综上所述,第四个顶点的坐标可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15).

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1. 设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于 ( A ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)

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1→ → → 2. 已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),则向量 AB的 2 坐标是
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? 1? A.?-4,2? ? ? ? 1? B.?4,-2? ? ?

( A )

C.(-8,1)
→ → → 解析 ∵AB=OB-OA=(-8,1), 1? 1→ ? ∴2AB=?-4,2?. ? ?

D.(8,1)

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3. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2), B(-1, -2), C(3,1), → → 且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为 ( A ) ? ? 7? 1? A.?2,2? B.?2,-2? C.(3,2) D. (1,3) ? ? ? ? → → 解析 设 D 点坐标为(x,y),则BC=(4,3),AD=(x,y-2),
? → → ?4=2x, 由BC=2AD得? ?3=2?y-2?, ?

?x=2 ? 7 ∴? 7 ,∴D(2, ). 2 ?y=2 ?

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4. 已知向量 a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若 p=ma+nb,

7 则 m+n=________.
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解析

?2m+n=9 ? 由? ?-3m+2n=4 ?

?m=2 ? ,解得? ?n=5 ?

.故 m+n=7.

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1.在平面直角坐标系中,平面内的点、
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以原点为起点的向量、 有序实数对三 者之间建立一一对应关系. 关系图如 图所示:
2. 向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同. 当且仅当 向量的起点在原点时,向量的坐标才和这个终点的坐标相 同.
3.向量坐标形式的运算时,要牢记公式,细心计算,防止符号 错误.


2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

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2015-2016学年高中数学 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时作业 新人教B版必修4

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2.2.2向量的正交分解与坐标运算

§2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算(学案)编辑: 胡东栋 审核: 陈祥和 学习重点: 向量的直角坐标运算 学习难点: 向量的直角坐标运算 学习过程 一、...