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吉林省实验中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


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吉林省实验中学 2015 届高三上学期第二次模拟考试数学 (理) 试题

3. " 等式

sin(? ? ? ) ? sin 2 ? 成立 " 是 " ? , ? , ? 成等差数列 " 的(
A.

充分而不必要 C. 充分必要 B. 必要而不充分 D. 既不充分又不必要

)条件

4 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A

2或0

B

?2 或 2
x

? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于( 6 6 6 0 C D ?2 或 0

?

?

?

)

5.若当 x ? R 时,函数 f ? x ? ? a 始终满足 0 ? f ? x ? ? 1 ,则函数 y ? log a ( )

1 的图象大致为 x

6 . 已 知 f ( x) 是 周 期 为

2

的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lg x. 设 ) C. c ? b ? a
a

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( 5 2 2
A. a ? b ? c D. c ? a ? b B. b ? a ? c

a

a

a

7.一个几何体的三视图如图示,则这个几何体的体积
正(主)视图 侧(左)视图


a

(

)
a

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俯视图

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A. a 3

B.

a3 3

a3 C. 6

5a 3 D. 6

8. 已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最 大值是 ( A.1 9. 若 f ( x ) ? x ? 2
2

) B.2 C. 2
1

D. ) D.1

2 2

?

1

0

f ( x )dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

A. ?1

B. ?

1 3

C.

1 3

10.数列 ?an ? 是正项等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a6 ? b7 ,则有 ( A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a3 ? a9 ? b4 ? b10
3 2

)

B . a3 ? a9 ? b4 ? b10 D . a3 ? a9 与 b4 ? b10 大小不确定

11. 设 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d ,又 K 是一个常数。已知当 K<0 或 K>4 时, f ? x ? ? k ? 0 只有 一个实根;当 0<K<4 时, f ? x ? ? k ? 0 有三个相异实根,现给出下列命题: A. f ? x ? ? 4 ? 0 和 f B. f ? x ? ? 0 和 f
' '

? x ? ? 0 有一个相同的实根

? x ? ? 0 有一个相同的实根

C. f ? x ? +3 ? 0 的任一实根大于 f ? x ? -1 ? 0 的任一实根 D . f ? x ? +5 ? 0 的任一实根小于 f ? x ? -2 ? 0 的任一实根。 其中错误的命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1、F2 ,这两条曲 线在第一象限的交点为 P , ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形。若 PF1 =10 ,椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1、e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是( )

? ?? A. ? 0,

B. ? , ? ??

?1 ?3

? ?

C. ? , ? ??

?1 ?5

? ?

D. ? , ? ??

?1 ?9

? ?

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第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第( 21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 顶点在原点,经过圆 C:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 2 y ? 0 的圆心且准线与 x 轴垂直的抛物线方程 为 .

? x, y ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围 ? x? y ?3 ?



15. 已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点, O 是坐标原点,向量 OA 、 OB 满

OA+OB = OA ? OB ,则实数 a 的值是



16. 已知函数 f ? x ? ? 2ae ( a ? 0, e 为自然对数的底数)的图像与直线 x ? 0 的交点为 M ,函
x

数 g ? x ? ? ln 数 g ? x ? ? ln

x ? a ? 0 ? 的图像与直线 y ? 0 的交点为 N , MN 恰好是点 M 到函 a x ? a ? 0 ? 图像上任意一点的线段长的最小值,则实数 a 的值是 a


三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c . tan A ?

1 , 4

3 tan B ? . 5
(Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长及 △ ABC 的面积.

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18.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a1 ? 且 n? N* ) . (Ⅰ )求证:数列 {

1 , an ? ?2S n ? S n ?1 ( n ? 2 2

1 } 是等差数列; Sn

(Ⅱ )求 S n 和 an .

19.(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,AD∥ BC,∠ BAD=90° ,AC⊥ BD, BC=1,AD=AA1 =3. (Ⅰ )证明:AC⊥ B 1 D; (Ⅱ )求直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为

1 ,且经过点 2

? 3? M ?1, ? . ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 P ? 2,1? 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B ,满足 PA ? PB ? PM ?若
2

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存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.

(21). (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间;

1? a (a ? R) . x

(Ⅲ)若在 ?1, e ? (e ? 2.718...) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

请考生从第( 22) 、 ( 23) 、 ( 24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直 线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC, MB,OT.

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(Ⅰ )求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (Ⅱ )若 ?DOT ? 60 ? ,试求 ?BMC 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P ( ,1) ,倾斜角 ? ?

1 2

?
6

,圆 C 的极坐标方程为 ? ?

2 cos(? ?

?
4

)

(Ⅰ )写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ )设 l 与圆 C 相交于两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a ? a ? 0 ? 和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? M a 恒成立,记实数 M 的最大值是

m。
(Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m.

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. 【答案】 (1) C ?

3 2 3 π (2) BC ? 2 . S ?ABC ? 4 4
C ? π ? ( A ? B) ,

【解析】试题解析: (1)

1 3 ? 4 5 ? ?1 .………………………2 分 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? 4 5 又 0 ? C ? π ,…………………………………………………4 分
?C ? 3 π .…………………………………………………6 分 4

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【答案】

?1 , ( n ? 1, n ? N ? ) ? 1 ?2 (1)详见解析; (2) S n ? ; an ? ? . 1 2n ?? , ( n ? 2, n ? N ? ) ? ? 2n(n ? 1)
【解析】试题解析: (1)证明:当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ?2 sn sn ?1 ,①……… 2分

? sn (1 ? 2sn ?1 ) ? sn ?1

由上式知若 sn ?1 ? 0 ,则 sn ? 0

s1 ? a1 ? 0 ,由递推关系知 sn ? 0(n ? N ? ) ,
∴由①式可得:当 n ? 2 时,

1 1 ? ? 2 ……………………………………………4 分 sn sn ?1

∴{

1 1 1 } 是等差数列,其中首项为 ? ? 2 ,公差为 2 .………………………… 6 分 sn s1 a1
1 1 1 1 ? ? 2(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) , ? sn ? . ……………………………8 分 2n sn s1 a1

(2)

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ? 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ?

1 , 2n(n ? 1)

…………………………………

10 分

1 不适合上式, 2
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?1 , ( n ? 1, n ? N ? ) ? ?2 ∴ an ? ? 1 ?? , ( n ? 2, n ? N ? ) ? ? 2n(n ? 1)
⊥BD,BC=1,AD=AA 1 =3. (Ⅰ)证明:AC⊥B 1 D;

…………………………………… 12 分

(19)(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,AD∥BC,∠BAD=90° ,AC

(Ⅱ)求直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 方法一 (1) 证 明 如 图 , 因 为 BB1 ⊥ 平 面 ABCD , AC? 平 面 ABCD , 所 以 AC ⊥

BB 1. ………………………………3 分 又 AC⊥BD,所以 AC⊥平面 BB 1 D,………………………………5 分 而 B 1 D? 平面 BB 1 D,所以 AC⊥B 1 D. ………………………………6 分 (2)解 因为 B 1 C1 ∥AD,所以直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成

的角(记为 θ). ………………………………7 分 如图,连接 A 1 D,因为棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 是直棱柱,且∠B 1A 1 D1 =∠BAD=90° , 所以 A 1 B1 ⊥平面 ADD1A 1 ,从而 A 1 B1 ⊥AD1. 又 AD=AA 1 =3,所以四边形 ADD1A 1 是正方形. 于 是 A 1 D⊥AD1 ,故 AD1 ⊥平面 A 1B 1 D,于是 AD1 ⊥B1 D. 由(1)知,AC⊥B1 D,所以 B1 D⊥平面 ACD1. 故∠ADB 1 =90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB. 从而 Rt△ABC∽Rt△DAB ,故 = , DA AB 即 AB = DA · BC= 3. ………………………………8 分
2 2 2 2 连接 AB1 ,易知△AB 1 D 是直角三角形,且 B1 D2 =BB2 1 +BD =BB1 +AB +AD =21,即 B 1 D=

AD 3 21 21. 在 Rt△AB 1 D 中,cos ∠ADB1 = = = ,………………………………10 分 B1D 7 21 即 cos(90° -θ)= 21 21 . 从而 sin θ= . 7 7 21 . …………………………………………12 分 7

即直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 方法二 (1)证明

易知,AB ,AD,AA 1 两两垂直. 如图,以 A 为坐标原点,AB ,AD,AA 1 所
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在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. ………………………………7 分 设 AB =t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B(t, 0,0),B 1 (t, 0,3), D1 (0,3,3). 从而=(-t, 3,-3),=(t, 1,0),=(-t, 3,0). 因为 AC⊥BD,所以· =-t +3+0=0,解得 t= 3或 t=- 3(舍去).
2

C(t, 1,0),C1 (t, 1,3),D(0,3,0),

于是=(- 3,3,-3),=( 3,1,0), 因为· =-3+3+0=0, (2)解 所以⊥,即 AC⊥B1 D.

由(1)知,=(0,3,3),=( 3,1,0),=(0,1,0).

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3). 设直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos 〈n, 〉|== 3 7 = 21 . 7 21 . ………………………12 分 7

即直线 B 1 C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

(20). (本小题满分 12 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 过点 M ? 1,

1 ,且经 2

? 3? ?. ? 2?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 过 点 P ? 2,1? 的 直 线 l1 与 椭 圆 C 相 交 于 不 同 的 两 点 A, B , 满 足

PA ? PB ? PM ?若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.
解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2 =1(a>b>0),………………………………… 2 分 a b

2

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+ =1, ? ?a 4b 由题意得?c 1 = , a 2 ? ? a =b + c , 1 9
2 2 2 2 2

………………………………… 4 分

x y 解得 a2 =4,b2 =3. 故椭圆 C 的方程为 + =1. ………………………………… 6 分 4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k 1(x-2)+1,
2 2 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k2 1 ) x -8k 1(2k1 -1) x+16k1 -16k 1 -8=0. ………………………

2

2

7分

因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A ,B , 设 A ,B 两点的坐标分别为(x1 ,y1),(x2 ,y2), 1 所以 Δ=[-8k1 (2k 1 -1)]2 -4(3+4k2 (16k2 1)· 1 -16k 1 -8) =32(6k 1 +3)>0,所以 k 1 >- . …8 分 2 8k 1 k 1 - 16k2 1 -16k 1 -8 又 x1 +x2 = ,………………………………… 9 分 2 ,x1 x2 = 2 3+4k1 3+4k1 因为· =, 5 5 2 2 即(x1 -2)(x2 -2)+(y1 -1)(y2 -1)= ,所以(x1 -2)(x2 -2)(1+k1 )= = . 4 4 5 即[x1 x2 -2(x1 +x2 )+4](1+k2 1 )= . 4 所以[ 16k1 -16k 1 -8 8k 1 k 1 - 4+4k1 5 -2· (1+k2 10 分 2 2 +4]· 1) = 2 = ,………………………………… 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4
2 2 2

1 1 1 1 解得 k1 =± . 因为 k 1 >- ,所以 k1 = . 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. …12 分 2 2 2 2 (21). (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1, e ? (e ? 2.718...) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a ? R) . x

+? ? , 【答案】试题解析: (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? 0,
' 当 a ? 1 时, f ? x ? =x ? ln x , f ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ,……………………………2 分 x x

f ?1? =1 , f ' ?1? =0 , 切点 ?1,1? ,斜率 k ? 0
∴曲线 f ? x ? 在点 ?1,1? 处的切线方程为 y ? 1 ………………………………… 4 分

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(Ⅱ) h ? x ? ? x ?

1? a ? a ln x , x

h?( x) ? 1 ?

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? ? ? x2 x x2 x2 …………………………5 分
' '

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 ? 0,1 ? a ? 上 h ? x ? ? 0 ,在 ?1 ? a, ?? ? 上 h ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增;………………………6 分

+? ? 上 h ? x ? ? 0 ,所以,函数 h ? x ? 在 ? 0, +? ? 上单调递 ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 ? 0,
'

增.

………………………………… 8 分

(Ⅲ)在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使得

h ? x0 ? ? 0 ,即函数 h ? x ? ? x ?

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零.……9 分 x

由(Ⅱ)可知:①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递减, 所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ?

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ;………………………………… 10 分 ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递增, 所以 h ? x ? 最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ;…………………11 分 ③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h ? x ? 最小值为 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? , 因为 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 ,所以, 0 ? a ln ?1 ? a ? ? a 故 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成立.

e2 ? 1 综上可得所求 a 的范围是: a ? 或 a ? ?2 .………………12 分 e ?1
请考生从第( 22) 、 ( 23) 、 ( 24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑。 (22) . (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直 线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC, MB,OT.
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(Ⅰ)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (Ⅱ)若 ?DOT ? 60 ? ,试求 ?BMC 的大小.

(Ⅰ)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定理 DN 2 ? DT ? DM ,DN 2 ? DB ? DA , 得 DT ? DM ? DB ? DA ,…………………………………………2 分

r , 2 3r 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r 2 , DO ? DC ? 2r ? ? 3r 2 , 2 所以 DT ? DM ? DO ? DC. ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ; ………………………… 8 分 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 ?. …………… 10 分
设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB ,且 BC=OC= (23). (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P ( ,1) ,倾斜角 ? ?

1 2

?

6

,圆 C 的极坐标方程为 ? ?

2 cos(? ?

?
4

)

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 相交于两点 A,B ,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.

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也就

| a?b| ?| a?b| 是 的最小值是 2。? M ? 2, m ? 2 |a|

…………………5 分

(2)解法 1:当 x ? 1时, 原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, 解得x ? 所以 x 的取值范围是

1 , 2

1 ? x ? 1. 2

………………………………7 分

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当1 ? x ? 2时, 原不等式化为( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, 得x的取值范围是1 ? x ? 2. 当x ? 2时, 原不等式化不( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, 解得x ? 5 所以x的取值范围是2 ? x ? . 2 1 5 综上所述:x的取值范围是 ? x ? . 2 2
………………………………10 分

5 , 2

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