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2003年一道高考试题的课本探源与拓展

时间:2015-06-13


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中学数 学研 究 
= 铀   ? [ 一   1 ( c o s   一c o s   ) ]
. 

2 0 0 3年 第 1 1 期 
令g (  ) =2 x   +e   一1 —2 e x^ / ,   +e   一1 ,  
则易求得 

又 嘲 巨  : 8 i n 鲁, 故 

g  (  )  = 4 x  一  2 e(  ̄ /  2 +e 2 —1  +  

云 =  n 号 ( c o s 巨  一 s i n 号 ) .  
由双 曲线 性质有 
I   FI   I  
.  . 

( 2 )  

. .

2  

磊 ) ≤ 4 x - 2 e ' 2 x = 4 (   一 e )   < 0 ?  
故 g (   ) 在 区间( 0 , 1 ) 上是减 函数 , 且  g (   o ) =0 .   由此可知 , 在 区间( 0 ,   o ) 上, a ( x ) > 0 ,  

2 Rs i n 口  

丌 
血 口  

葡 

— 1 2 R s i n T ' - — 2 R s i n l f I  

号 c o s 号  
。 i n  

一8 i n y—s i n 卢一2 c 0 B  
C08 - --  2

厂(  ) >0 ,   ) 是增 函数 ; 在 区间(   o , 1 ) 上,  

g (   ) < 0 。 . , , (  ) < 0 ,   ) 是减函数. 故 
=X 0 时取得最大值 , (   o ) , 且 易求得  油 此可得 

) 在 
o ) =  

曼   =  ) ( 曼 =  曼   =  
e 



 





.   ( 3 )  
( 4 )  
. 

故 云 ≤  

.  
朋 c o s  ̄ -C ( C - J ̄ -1 ) .  
参考文献 

设  = 8 i I l 号 , 则   ∈ ( 0 , 1 ] . 把 ( 3 ) 代 入 ( 2 )  

等 号 成 立 当 且 仅 当  = 知 , 即8 i n 号=  

得 , 云 =  (  ̄ / X 2 + 。 _ e 2 - 1 一   ) .  
令上式 右边为  ) , 则 易求得 

e  V  一 + e一 一 I  

[ 1 】 唐永 金 . 圆锥 I 隹 l 线 焦 点 三 角 形 的 性 质探 徽 . 数 学 
通报 , 2 o o o ( 9 ) .  

令f   (  ) =0 , 则易求 得 

知   √ ^ 、 /  
知 =

, ’ 且 显 然 有 伺 知  ’ ∈ ( 0 ,   吉 ) .  

[ 2 】 徐希 扬 . 双 曲 线焦 点 三 角 形 的 几 个性 质 . 数 学 通 
报, 2 0 吆( 7 ) .  

2 0 0 3年 一 道 高 考 试 题 的 课 本 探 源 与 拓 展  
江 苏省如 皋 市 丁堰 中学
我们 先来 看课本 匕 的两道 习题 :   1 . AA B C的两 个 顶点 A、   的坐标 分别 是  ( 一 6 , 0 ) 、 ( 6 , 0 ) , 边A c 、   所 在直 线 的斜 率之 

( 2 2 6 5 2 1 )   薛爱 国

潘 建 国 

2 . AA B C一边 的两个 顶点 是 a ( o 。 一6 ) 、 C  

( 0 , 6 ) , 另 两 边 所 在 直 线 的 斜 率 之 积 是 吾 , 求 顶  
点 A 的轨 迹. ( 试验修订本 ? 必 修, 第 二 册  猜想 : AA B C的两个 顶点 A 、   的坐标分别 
?

0 8 )   积 等 于 一 吾 , 求 顶 点c 的 轨 迹 方 程 . ( 试 验 修 订   P1

本? 必修 , 第二册 P 9 6 )  

l 9 ?  

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2 O O 3年 第 l 1 期 
是( 一口 , 0 ) 、 ( 口 , 0 ) ( 口 ≠0 ) , 边A C 、 B C所在直线  的斜率 之积等于 m( m#O 且 m≠ 一1 ) , 则当 m   < 0时点 C的轨 迹 为椭 圆 , 当 m> 0时点 C的 

中 学数 学研 究 
口 ) , 适 合方 程 . 若 考生有敏 锐的观察力 , 不被 向 
量 的背 景 所 迷 惑 , 则 可 毫不 费 力 解 答 该 试 题 .  

若将该试 题 中的某些 条件 稍作改 变 , 可得 
以下 几 种 拓 展 .  

轨 迹为双曲线 ( 去掉 A、 B两点 ) .   证明 : 设 C (  。 y ) , 由题意 : 则 



①将 过原点换作过定点 (  , 0 ) , 则得 :  

.  
口 

: m
+ 口 


整理 得 :   一   :l , 故  口。 m 口。  

已知常数 口> 0 , 向量 C -( 0 , 口 ) , j =( 1 , 0 ) ,   经过定点(  , 0 ) 以c +   为方 向向量 的直线 与 
经过定点 A ( ^ , 口 ) 以i 一 2 A c 为方 向向量 的直线  相交于点 P, 其 中  ∈R, 求 点 P的轨迹 方程 .  

猜想是成立 的.  

特别地 。 当 一l <, , l <0时 , 椭 圆 的 中心 在  原点 , 焦点在  轴上 ;  
当J , I <一l 时, 椭 圆的中心在原 点 , 焦 点在 
Y轴 上 .  

( y - -  ̄ - ) 2 +  
、2  8  

-I . ]  

当两个顶点 A、 B的坐标改为 ( 0 , 口 ) 、 ( 0 , 0 )   ( 口 ≠0 ) 时, 结 论 类似 , 但 此 时轨 迹 中心偏离 原 
y — 
. 

②若将 I P EI +I P FI 为定值 , 换为 l l P EI —  

I   P Fl l 为定值 , 则得:  
已知 常 数 口>0 , 向量 c =( 0 , 口 ) , i =( 1 , 0 ) ,  

‘  



2  

删 方 酰  I 一 ● 一  I 一 蔷  一 ● 一   ,   ?  
我们再来 看今年 的高考试题 ( 新课程卷 ) 第 
已知 常 数 口>0, 向量 c =( 0 , 口 ) , i =( 1 , 0 ) ,  





目 

经过 原 点 0 以 c +   为 方 向 向量 的直线 与经  过定点 A ( 0 , 口 ) 以i + 2 A c 为方 向向量 的直线相  交于点 P, 其 中  ∈R, 试问: 是 否 存在 两个定  点 E、 F, 使得 l l P EI —I P Fl l 为定 值 . 若存 在 ,  

2 0题 :  

求出 E 、 F的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.  
的糨 撒  
、2  

经 过原 点 0 以 c+   为方 向 向量 的直 线 与经  过定 点 A ( 0 , 口 ) 以i 一2 A c 为方 向向量 的直线相  交于点 P, 其 中  ∈R, 试问 : 是 否存 在 两个 定  点 E、 F , 使得 I 咫 I +I   P FI 为 定值 . 若 存在 , 求 

一  
8  

]  

③将某一 直线 的方 向向量赋 予参 变量  ,  
又 可得 :  

出 E、 F的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.  
分 析: 本题 以平 面向量为 载体 , 考查求 轨迹  的方法 、 利 用方程判定 曲线 的性 质 、 曲线 与方程 

已知 常 数 口>0 。 向量 c =( 0 , 口 ) , i =( I , 0 ) ,  

经 过原 点 0 以 c +   为 方 向 向量 的直线 与经  过定点 A ( O , 口 ) 以 i +2 ; I k c为方 向 向量 的直线  相交 于点 P, 其 中  ∈R,  ≠0 , 试 分析 P点 的  轨迹形状 .  

的关 系等 解析 几 何 的基 本 思想 和综 合解 题 能 
力. 去 掉平面 向量 背 景 , 我们 不难 看 到 , 本 题 即 
为下题 :  

在△  

中, 0( 0 , 0 ) 、 A( 0 , 口) 为 两 个定 

点, 另两边 O P与 A P的斜 率分 别是  (  ≠0 ) ,  


的   方程是 
、2 

一 工 x 2 - 1 .  
8  

2 A a , 故其 乘 积 是 一2 口 2 为定 负 值 , 上述 它与 

课本 习题与 猜想 完全 类似 , 仿 上 马上可得 其轨 

>0 为双 曲线 ,  < 0为椭 圆]  

迹 方 程 为   ( 号 )  + 雩: 专  l ;   : 0 时 得 点 ( 0 ,  
?2 O ?  


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