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2016年北京西城高三一模数学试卷(理科答案)

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北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
2016.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.A 6.A 3.B 7.D 4.B 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 11. 3 13.21 10. 2n

? 9

?16

y??

3 x 3

12. 6 14.○ 1 ○ 4

注:第 10,11 题第一问 2 分,第二问 3 分;第 14 题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理 得 b ? 3c . 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 及 A ? 得 7 ? b2 ? c 2 ? bc ,

a b c ? ? , sin A sin B sin C
??????3 分

π ,a ? 7 , 3

??????5 分

b b2 所以 b 2 ? ( ) 2 ? ? 7 , 3 3
解得 b ? 3 . (Ⅱ)解:由 A ? 所以 sin( 即 ??????7 分

2π π ?C . ,得 B ? 3 3
??????8 分 ??????11 分

2π ? C ) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2 3 5 所以 cos C ? sin C , 2 2

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第 1 页 共 8 页

所以 tan C ?

3 . 5

??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,??????2 分 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有1000 ? (Ⅱ)解:设 “至少有 1 人体育成绩在 [60,70) ”为事件 A , 由题意,得 P( A) ? 1 ?
2 C3 3 7 ? 1? ? , 2 C5 10 10

30 ? 750 人. ??4 分 40

??????5 分

因此至少有 1 人体育成绩在 [60,70) 的概率是

7 . 10

??????9 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: a , b , c 的值分别是为 79 , 84 , 90 ;或 79 , 85 , 90 .

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由 CC1D1D 为矩形,得 CC1 //DD1 , 又因为 DD1 ? 平面 ADD1 , CC1 ? 平面 ADD1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 , 同理 BC // 平面 ADD1 , 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 // 平面 ADD1 , 又因为 BC1 ? 平面 BCC1 , 所以 BC1 // 平面 ADD1 . (Ⅱ)解:由平面 ABCD 中, AD //BC , ?BAD ? 90? ,得 AB ? BC , 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 , 所以 AB ? CC1 , ?????? 4 分 ?????? 3 分 ?????? 2 分

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第 2 页 共 8 页

又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, 所以 CC1 ? 平面 ABCD , 因为 CC1 //DD1 , 所以 DD1 ? 平面 ABCD . 过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD ,所以 DA, DM , DD1 两两垂直,以 DA, DM , DD1 分 别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, ?????? 6 分

则 D (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B (4, 2, 0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, 2) , D1 (0, 0, 2) , 所以 AC1 ? (?1, 2, 2) , AD1 ? (?4, 0, 2) . 设平面 AC1D1 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

????

????

???? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 由 m ? AC1 ? 0 , m ? AD1 ? 0 ,得 ? ??4 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?3, 4) . ??????8 分 易得平面 ADD1 的法向量 n ? (0,1, 0) . 所以 cos ? m, n ??
x A

z D1 C1 P D

m?n 3 29 . ?? | m || n | 29

B

C

y

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (Ⅲ)结论:直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

3 29 . 29

??????10 分 ??????11 分

??? ? ???? ? 证明:设 DD1 ? m(m ? 0) , DP ? ? DC1 (? ? (0,1)) ,
由 B(4, 2,0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, m) , D(0,0,0) ,

???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 得 BC1 ? (?1,0, m) , DC1 ? (3,2, m) , DP ? ? DC1 ? (3?,2?, ?m) , CD ? (?3, ?2,0) , ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CD ? DP ? (3? ? 3,2? ? 2, ?m) .
??????12 分

???? ? ??? ? 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? ?(3? ? 3) ? ?m2 ? 0 ,即 (m2 ? 3)? ? ?3 ,
因为 ? ? 0 ,

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所以 m2 ? ?

3

?

? 3 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,这与 0 ? ? ? 1 矛盾.
??????14 分

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? (1 ? x)e x ? ae x?1 , 所以 f ?(1) ? 2e ? a ? e , 解得 a ? e . 故 f ( x) ? xex ? ex , f ?( x) ? xex . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示: ??????2 分 ??????3 分

x

(??, 0)

0 0

(0, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


?
↗ ??????5 分

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) ,单调增区间为 (0, ??) . (Ⅱ)解:方程 f ( x) ? kx2 ? 2 ,即为 ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 ? 0 , 设函数 g ( x) ? ( x ?1)e x ? kx 2 ? 2 . 求导,得 g?( x) ? xex ? 2kx ? x(e x ? 2k ) . 由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? ln(2k ) . 所以当 x ? (0, ??) 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化情况如下表所示:

??????6 分

??????7 分

x
g ?( x )
g ( x)

(0, ln(2k ))

ln(2k )

(ln(2k ), ??)

?


0

?
↗ ??????9 分

所以函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减,在 (ln(2k ), ??) 上单调递增. 由 k ? 2 ,得 ln(2k ) ? ln 4 ? 1 . 又因为 g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 g (ln(2k )) ? 0 . 不妨设 x1 ? x2 (其中 x1 , x2 为 f ( x) ? kx2 ? 2 的两个正实数根) ,

因为函数 g ( x) 在 (0, ln 2k ) 单调递减,且 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? ?k ? 2 ? 0 ,
高三数学(理)试题答案 第 4 页 共 8 页

所以 0 ? x1 ? 1. 同理根据函数 g ( x) 在 (ln 2k , ??) 上单调递增,且 g (ln(2 k)) ? 0 , 可得 x2 ? ln(2k ) ? ln 4 ,

??????11 分

4 所以 | x1 ? x2 |? x2 ? x1 ? ln 4 ? 1 ? ln , e
即 | x1 ? x2 |? ln

4 . e

??????13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,椭圆 C:
x2 y2 ? ?1, 1 1 m 3m

??????1 分

所以 a 2 ? 故 2a ? 2

1 1 , b2 ? , m 3m
1 1 ? 2 6 ,解得 m ? , m 6
x2 y 2 ? ?1. 6 2
??????3 分

所以椭圆 C 的方程为

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ?
c 6 ? . a 3

??????5 分

(Ⅱ)解:设线段 AP 的中点为 D , 因为 | BA |?| BP | ,所以 BD ? AP , 由题意,直线 BD 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则点 D 的坐标为 ( ??????7 分

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
y0 , x0 ? 3 3 ? x0 1 ? , k AP y0 y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ). 2 y0 2
??????10 分 ??????8 分

且直线 AP 的斜率 k AP ?

所以直线 BD 的斜率为 ?

所以直线 BD 的方程为: y ?

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第 5 页 共 8 页

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 x0 ? y0 ?9 x 2 ? y0 ?9 ,则 B(0, 0 ), 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 , ? 6 ? 3 y0 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

??????11 分

所以四边形 OPAB 的面积 SOPAB ? S?OAP ? S?OAB
?
2 ?2 y0 ?3 1 1 ? 3? | y0 | ? ? 3? | | 2 2 2 y0

??????12 分

2 ?2 y0 ?3 3 ? (| y0 | ? | |) 2 2 y0

3 3 ? (2 | y0 | ? ) 2 2 | y0 |
3 3 ≥ ? 2 2 | y0 | ? 2 2 | y0 |
? 3 3.

当且仅当 2 y0 ?

3 3 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 y0 2
??????14 分

所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 3 .

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离为 7. (Ⅱ)解:设 a1 ? p ,其中 p ? 0 ,且 p ? ?1 .
1 ? an 1? p 1 p ?1 由 an ?1 ? 1 ? a ,得 a2 ? , a3 ? ? , a4 ? , a5 ? p , 1 ? p p p ?1 n

??????2 分

所以 a1 ? a5 , 因此 A 中数列的项周期性重复, 且每隔 4 项重复一次. 所以 {bn } 中, b4k ?3 ? 2 , b4 k ? 2 ? ?3 , b4k ?1 ? ? , b4k ? ??????4 分

1 2

1 ( k ? N* ) , 3

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第 6 页 共 8 页

所以 {cn } 中, c4k ?3 ? 3 , c4 k ? 2 ? ?2 , c4 k ?1 ? ? , c4 k ?
k ?1 i ?1 k

1 3

1 ( k ? N* ). ?????5 分 2

由 ? | bi ? ci |≥? | bi ? ci | ,得项数 m 越大,数列 {bn } 和 {cn } 的距离越大.
i ?1 4

由 ? | bi ? ci | ?
i ?1 3456 i ?1

7 , 3
4?864 i ?1

??????6 分

得 ? | bi ? ci | ?

? | b ? c | ? 3 ? 864 ? 2016 .
i i m i ?1

7

所以当 m ? 3456 时, ? | bi ? ci | ? 2016 . 故 m 的最大值为 3455 . (Ⅲ)证明:假设 T 中的元素个数大于或等于 17 个. 因为数列 {an } 中, ai ? 0 或 1 , 所以仅由数列前三项组成的数组 (a1 , a2 , a3 ) 有且只有 8 个: (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , ??????8 分

(0,0,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1) .
那么这 17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的 a1 , a2 , a3 . ??????10 分

设这三个数列分别为 {cn }:c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 ; {dn }:d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 , d7 ;

{ f n }:f1 , f 2 , f 3 , f 4f, f c1 ? d1 ? f1 , c2 ? d 2 ? f 2 , c3 ? d3 ? f3 . 5 , f6 ,,其中 7
因为这三个数列中每两个的距离大于或等于 3, 所以 {cn } 与 {dn } 中, ci ? di (i ? 4,5,6,7) 中至少有 3 个成立. 不妨设 c4 ? d4 , c5 ? d5 , c6 ? d6 . 由题意,得 c4 , d 4 中一个等于 0,而另一个等于 1. 又因为 f 4 ? 0 或 1 , 所以 f 4 ? c4 和 f 4 ? d 4 中必有一个成立, 同理,得 f5 ? c5 和 f5 ? d5 中必有一个成立, f6 ? c6 和 f6 ? d6 中必有一个成立, 所以“ fi ? ci (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”或“ fi ? di (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”

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第 7 页 共 8 页

中必有一个成立. 所以 ? | fi ? ci |≤2 和 ? | fi ? di |≤2 中必有一个成立.
i ?1 i ?1 7 7

这与题意矛盾, 所以 T 中的元素个数小于或等于 16. ??????13 分

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