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(人教A版)高考数学复习:7.2《空间几何体的表面积与体积》ppt课件


第七章 立体几何

第2讲

空间几何体的表面积与体积

第七章 立体几何

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台

侧面 展开图

侧面 积公式

S圆柱侧= 2πrl __________

>S圆锥侧= πrl __________

S圆台侧= π(r+r′)l _______________
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第七章 立体几何

2.空间几何体的表面积与体积公式 名称

几何体 柱体(棱柱和 圆柱) 锥体(棱锥和 圆锥) 台体(棱台和 圆台) 球

表面积 S表面积=S侧+2S底 S表面积=S侧+S底

体积 Sh V=__________

1 Sh V=_________ 3
V=(S上+S下+)h
4 3 π R V=__________ 3

S表面积=S侧+S上+S下 S=__________ 4πR2

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第七章 立体几何

[做一做] 1.(2014· 高考福建卷)以边长为 1 的正方形的一边所在直线 为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( A ) A.2π C.2 B.π D.1

解析:以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半 径r=1,高h=1,所以侧面积S=2πrh=2π.

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第七章 立体几何

2. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( B )

A.6 C.2 3

B.3 3 D.3
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第七章 立体几何

解析:由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面 为侧视图,该侧视图是底边为 2,高为 3的三角形,正视 图的长为三棱柱的高,故 h=3,所以几何体的体积 V=S· h 1 ? =?2×2× 3? ?×3=3 3.

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第七章 立体几何

1.辨明两个易误点 (1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理. (2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别 时要紧扣定义,以防出错.

2.求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面

和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.
(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分 割或补形,转化为可计算体积的几何体.
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第七章 立体几何

3.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a; ②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球 的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.

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第七章 立体几何

[做一做] 3.(2014· 高考陕西卷)已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正 四棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的体积为( D ) 32π A. 3 C.2π B.4π 4π D. 3

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第七章 立体几何

解析:正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的 中点,所以球的半径 r= 4π 3 4π = r= .故选 D. 3 3

? 2? +? 2? =1,球的体积 V ?2? ?2?

2

2

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第七章 立体几何

4. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图 如图所示,则该四棱锥的侧面积和体积分别是( B )

A.4 5,8 8 C.4( 5+1), 3

8 B.4 5, 3 D.8,8

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第七章 立体几何

解析:由正视图知:四棱锥的底面是边长为 2 的正方形, 1 8 四棱锥的高为 2,∴V= ×22×2= .四棱锥的侧面是全等 3 3 1 的等腰三角形,底为 2,高为 5,∴S 侧=4× ×2× 5= 2 4 5.

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第七章 立体几何

考点一

空间几何体的表面积

考点二
考点三

空间几何体的体积(高频考点)
球与空间几何体的接、切问题

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第七章 立体几何

考点一 空间几何体的表面积

(1)(2014· 高考浙江卷)某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示,则此几何体的表面积是( D )

A.90 cm2 C.132 cm2

B.129 cm2 D.138 cm2
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第七章 立体几何

(2)(2015· 长春市调研)某几何体的三视图如图所示,则它的表 面积为( A )

1+ 5 A.2+ π 2 C.2+(1+ 5)π

1+2 5 B.2+ π 2 2+ 5 D.2+ π 2
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第七章 立体几何

[解析] (1)该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别 为 6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边 长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,所以表面积 S=[2×(4×6+ 1 ? 4×3)+3×6+3×3]+?5×3+4×3+2×2×4×3? ? =99+39=138(cm2).

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第七章 立体几何

(2)由几何体的三视图可知,该几何体是一个沿旋转轴作截 面,截取的半个圆锥,底面半径是 1,高是 2,所以母线长 为 5,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一 1 1 1 半以及截面三角形的面积的和, 即 π + π × 5+ ×2×2 2 2 2 1+ 5 =2+ π ,故选 A. 2

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第七章 立体几何

[规律方法] (1)多面体的表面积的求法: 求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图 形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角 三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁, 从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的 联系. (2)旋转体的表面积的求法: 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲 面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积 之和.

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第七章 立体几何

1.(1)(2014· 高考安徽卷 )一个多面体的三视图如 图所示,则该多面体的表面积为( A )

A.21+ 3 C.21

B.18+ 3 D.18
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(2)(2015· 江西八校联考) 若一个圆台的正视图如图所示, 则

5π +3 5π 其表面积等于__________________ .

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第七章 立体几何

解析:(1)由几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图 所示.

1? 3 ? 因此该几何体的表面积为 6×?4-2?+ 2× ×( 2)2= 21 4 + 3.故选 A. (2)由图知圆台的上、下底面半径分别为 r=1,r′=2,母 线长为 l= 5, 则圆台表面积为π (r+r′)l+π (r2+r′2)=5π +3 5π .
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第七章 立体几何

考点二

空间几何体的体积(高频考点)

空间几何体的体积是每年高考的热点,考查时多与三视图 结合考查,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度 偏小,属于容易题. 高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度: (1)求简单几何体的体积 (2)求组合体的体积; (3)求以三视图为背景的几何体的体积.

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第七章 立体几何

(1)(2014· 高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示, 则 该几何体的体积为( B )

A.8-2π π C.8- 2

B.8-π π D.8- 4
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第七章 立体几何

(2)(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面 边长为 2, 侧棱长为 的体积为( C ) A.3 C.1 3 B. 2 3 D. 2 3, D 为 BC 中点, 则三棱锥 AB1DC1

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第七章 立体几何

(3)(2014· 高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:
20π 3 m),则该几何体的体积为________m . 3

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第七章 立体几何

[ 解析 ]

1 (1) 这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何 4
3

1 体,如图,几何体的高为 2,V=2 - ×π ×12×2×2=8 4 -π .

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第七章 立体几何

(2) 在正△ABC 中,D 为 BC 中点, 3 则有 AD= AB= 3, 2 1 S△DB1C1= ×2× 3= 3. 2 又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC, AD⊥BC,AD?平面 ABC, ∴AD⊥平面 BB1C1C,即 AD 为三棱锥 AB1DC1 底面上的 高. 1 1 ∴V 三棱锥 A-B1DC1= S△DB1C1·AD= × 3× 3=1. 3 3

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第七章 立体几何

(3)根据三视图知,该几何体上部是一个底面直径为 4,高 为 2 的圆锥,下部是一个底面直径为 2,高为 4 的圆柱. 20π 1 2 2 故该几何体的体积 V= π ×2 ×2+π ×1 ×4= . 3 3

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第七章 立体几何

[规律方法] 求空间几何体体积的解题策略 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或 台体,则可直接利用公式求解. (2)求组合体的体积.若所给定的几何体是组合体,不能直 接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等进行 求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得 到几何体的直观图,然后根据条件求解.

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第七章 立体几何

2.(1)(2015· 太原市模拟 ) 一个几何体的三视图如 图所示(单位:cm),则该几何体的体积为( C )

π? 3 ? A. 32+ cm 4? ? π? 3 ? C. 41+ cm 4? ?

π? 3 ? B. 32+ cm 2? ? π? 3 ? D. 41+ cm 2? ?
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第七章 立体几何

(2)(2013· 高考江苏卷) 如图, 在三棱柱 A1B1C1?ABC 中, D, E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点.设三棱锥 FADE 的 体积为 V1,三棱柱 A1B1C1?ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2

1∶24 =________.

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第七章 立体几何

解析:(1)根据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图 是两个长方体和一个圆柱的组合体,∴所求几何体的体积 2 1 π? 3 ? ? ? V=4×4×2+π ×?2? ×1+3×3×1= 41+ cm . 4? ? (2)设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以△ADE 的 1 面积等于 S.又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 FADE 4 1 1 1 1 的高等于 h,于是三棱锥 FADE 的体积 V1= × S· h= 2 3 4 2 1 1 Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24. 24 24
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第七章 立体几何

考点三

球与空间几何体的接、切问题

(2015· 唐山市统一考试)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB= AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为( C )

A.2 C. 2

B.1 2 D. 2
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第七章 立体几何

[解析] 由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠BAC=90°,△ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点,同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中 x 点. 设正方形 BCC1B1 边长为 x, 在 Rt△OMC1 中, OM= , 2
2 2 x x x ? +? ? =1,即 MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径),∴? ?2? ?2? 2

x= 2,则 AB=AC=1,∴S 矩形 ABB1A1= 2×1= 2.

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第七章 立体几何

[规律方法] 解决球与其他几何体的切、 接问题, 关键在于 仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准 最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何 体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问 题平面化的目的.

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第七章 立体几何

3.(2015· 长春模拟 )若一个正四面体的表面积为 6 3 S1 S1,其内切球的表面积为 S2,则 =________ . π S2
解析:设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1= 3 2 1 2 4· ·a = 3a ,其内切球半径为正四面体高的 ,即 r= 4 4 2 π a S1 1 6 6 2 · a= a, 因此内切球表面积为 S2=4π r = , 则 4 3 12 6 S2 3a2 6 3 = = . π 2 π a 6
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第七章 立体几何

方法思想——求空间几何体的体积、面积问题(补形法)
(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( B )

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π
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第七章 立体几何

(2)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的 球面上, 若 PA, PB, PC 两两相互垂直, 则球心到截面 ABC 3 3 的距离为________ .

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第七章 立体几何

[解析] (1)由三视图可知,此几何体是底面半径为 1,高为 1 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ,根据对称性, 4 3 可补全此圆柱如图,故体积 V= ×π ×12×4=3π . 4

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第七章 立体几何

(2) 由于正三棱锥的侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,故 以 PA,PB,PC 为棱补成正方体如图,可知球心 O 为体对 角线 PD 的中点,且 PO= 3,又 P 到平面 ABC 的距离为 1 3 1 1 2 h,则 × ×(2 2) ·h= × ×2×2×2. 3 4 3 2 2 3 ∴h= . 3 2 3 3 ∴球心到截面 ABC 的距离为 3- = . 3 3

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第七章 立体几何

[名师点评] (1)对称补形求体积 某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的 方法进行补形,把它们放入一个规则几何体中加以解决. (2)联系补形 某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求 解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为 这个规则几何体的一部分来求解. 三条侧棱两两互相垂直, 或一侧棱垂直于底面,底面为正方形或长方形,则此几何 体补形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求.
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第七章 立体几何

1.(2015· 河南洛阳模拟)一个几何体的三视图如图 所示,则该几何体的体积是( C )

1 A. 2 5 C. 6

1 B. 3 D.1
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第七章 立体几何

解析:由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角,

其直观图如图, 其中正方体的棱长为 1, 则正方体的体积为 1 1 1 1,去掉的三棱锥的体积为 × ×1×1×1= ,所以该几何 3 2 6 1 5 体的体积为 1- = . 6 6

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第七章 立体几何

2.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ改编)如图,网格纸上小正方形 的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面 体的各面中,最大的面的面积为( C )

A.8 C.12

B.4 5 D.6 2
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第七章 立体几何

解析:根据三视图可知, 该多面体是棱长为 4 的正方体内 的四面体 D1ECC1(其中 E 为棱 BB1 的中点)易得 S△ECC1=S
△D CC 1 1

=8,S△D1C1E=4 5,S△D1EC=12,故选 C.

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