nbhkdz.com冰点文库

第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛-高一年级初赛试题(B)卷及答案


第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题 一、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 1.生物课老师说: “在我实验室饲养的动物中,除了两只以外所 有的动物都是兔子,除了两只以外所 有的都是猫,除了两只以外所有的都 是鹦鹉,你猜我总共养了多少只动 物?”你的答案是 .

2.按照民行总局规定,乘坐 A 航空公司中经济仓的乘客所托运 行李的

重量 x(kg) 与其运费 y (元)的关系如右图函数所示,请问 购买 A 航空公司经济仓的乘客可免费携带行李的最大重量为 .

3.某学校食堂备有两种饭盒,大饭盒底面圆直径 16cm,小饭盒 底面圆直径 12cm,并且这两种饭盒的大小不同,形状相同,已 知小饭盒可盛米饭 3 两,那么大饭盒大约可盛米饭 两. 4.圆周率 ? 是一个极其驰名的数.古今中外一代又一代的数学 家为此献出了自己的智慧和劳动.我国南北朝时期的著名数学 家、天文学家祖冲之(公元 429 年~500 年) ,经过漫长而又繁琐 的计算得到一个结论:圆周率的值介于 3.1415926~3.1415927

之间,成为世界上最早把圆周率推算到小数点后 7 位的科学家, 直到 1000 年后西方的数学家才取得达到或超过祖冲之的成 就.现在已知 ? =3.1415926535?,设函数 f (n) ? k (其中 n ? N ) ,
*

k 是 ? 的小数点后的第 n 位数字,则

f ? f ? f [ f (10)]? ? ? ? ?? ?
2006 个



5. 我们知道, 人们对声音有不同的察觉, 这与它的强度有关系. 声 音的强度用 I (单位为:W / m )表示,但在实际测量时,常用声 音的强度水平 L1 表示,它们满足以下关系式:
?12
2

L1 ? 10 lg

I I 0 (单位为

分贝,L1 ≥ 0 ,其中 I0 ? 1?10 ,这是人们平均能听到的最小强度, 是听觉的开端) .随着城市经济的不断发展,噪音污染也日趋严 重,影响环境的同时,也影响了我们日常的学习与生活,噪音是 定义在 75 分贝以上不想听到的声音,它的声音强度 I (单位为:
W / m2 )的范围为



6.对于容斥原理,同学们不太陌生吧?其基本思想是先不考虑 重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的结果既无 遗漏,又无重复.下面这道题就用到了容斥原理.已知集合 S 的 子集 的个数记 作 n( S ) ,如 果 A,B 和 C 是三 个集合 ,满足条件
n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C )



card( A) ? card( B) ? 100

, 那 么

card ( A ? B ? C ) 可取的最小值是



二、选择题(每小题 6 分,共 24 分) 7.你爱吃薯片吗?是买大包装的,还是小包装的呢?已知每生

产 100 克某品牌薯片的原料费和加工费共 1.8 元,某食品厂采 用两种包装,其包装费及售价如下表所示: 型号 重量[来 源:学科 网 ZXXK] 包装费 售价
0.5 元 3.00 元 0.7 元 8.40 元

小包装

大包装

100 克

300 克

则下列说法中:[来源:Z.xx.k.Com] ①买小包装实惠; ②卖小包装盈利多; ③买大包装实惠; ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装还要多盈利.[来源:学科网] 所有正确的说法是( A.①② B.②③ ) C.③ D.③④

8.著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到:直觉是 数学之旅的导游,它往往引导我们发现结论,但我们也要多一点 心眼,提防个别导游会骗人.我们一起来看个问题,一定要小心 哦!一个钟 5 秒钟敲了 6 下,那么它敲 12 下需要( A.10 秒钟 秒钟 B.11 秒钟 C.12 秒钟 ) D. 13

9 .春蕾数学活动中心的同学们正在讨论一个问题,已知集合
? a a2 a3 a4 ? M ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4? T ? ?01 , , 2, 3 , 4? ?5 5 5 5 ? 现将 M ,

中的元素按 )

从大到小的顺序来个 “沙场秋点兵” , 那么第 500 个 “兵” 是 (
1 0 0 0 ? 2? 3? 4 A. 5 5 5 5 1 2 0 4 ? 2? 3? 4 C. 5 5 5 5 2 1 4 2 ? 2? 3? 4 B. 5 5 5 5 1 0 0 3 ? 2? 3? 4 D. 5 5 5 5

10.唐僧取经途中发现某地村民有人说实话,有人说谎话,唐僧 命猪八戒找来 4 个村民, “你们是说实话的人,还是说谎话的 人?” 这 4 个村民回答如下: 第一个人说: “我们 4 个人都是说谎话的人. ” 第二个人说: “我们 4 个人中只有一个人是说谎话的人. ” 第三个人说: “我们 4 个人之中有两人是说谎的人. ” 第四个人说: “我是说实话的人. ” 唐僧听后说: “真难辨. ” 孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人, 你认为孙悟空断定的是哪个人呢?( A.第一个人 D.第四个人 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 11.请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则 f ,并举 出相应的函数例子. (1) f (整) ? 零; B.第二个人 ) C.第三个人

(2) f (木)=舟; ( 3) ( 4)
?本? 末 f ? ?? ?末? 本 ; ?黑? 白 f ? ?? ?白? 黑;

(5) f (声 ? 色) ? 声 ? 色; (6) f (败) ? 胜. 12. 大雨过后, 喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴, 因为听大人说, 雨水不只滋润树木,还可以滋生蘑菇,一场雨后,11 个女孩与 n 个男孩结伴去采 蘑菇,所有这些孩子共采到 n
2

? 9n ? 2 个蘑菇,并

且每个孩子采到的个数都相同.试确定,采蘑菇的孩子中是女孩 多还是男孩多. 13. “空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神.入秋时, 雁群以 25 公里 / 小时的速度向南迁徙,在距目的地 33 公里时, 有两只大雁因为体力不支而掉队, 雁群决定留下领头雁来照看并 带着这两只病雁 继续前进. 已知领头雁带着一只病雁飞行的速度 为 20 公里/小时(最多能带一只) ,而病雁单独飞行的速度为 5 公里/小时. 请问: 这三只大雁可在 3 小时内同时到达目的地吗? 给出你的理由. 14. 同学们参加过英语沙龙活动吗?此项活动不仅可以提高我们 的口语水平,同时还可以提高我们学英语的兴趣.在一次英语沙 龙聚会中,有 7 个同学组成一组,在这一组中,其中每一位同学 在其余 6 位中都至少有 3 位校友,问:这 7 位学生的关系怎样?

试给出结论并证明. 四、开放题(本题 30 分) 15.九连环在中国已有两千年的历史,此类玩具的结构中深藏着 逻辑上的巧妙联系.现有以下三种环( 同学们不妨用铁丝做一 下) ,供大家用数学的眼光,从数学的角度加以把玩、鉴赏.图 1 是“岐中易” ,目标是把环H从套中取出;图 2 是“二阶岐中 易” ,目标仍是把 H 环完全解脱出来;图 3 是“寿环” ,目标是 将柄A从重重环扣中取出,与寿身完全分开.

1.请写出以上三种环的解开步骤. 2.请同学们反思,你的解题思路是如何形成的?由简到繁,由 易到难的转换策略是如何具体运用的? 3.此类解环的问题还有很多,请同学们自己列举出几个,并写 出他们的解法.

第六届“学用杯 ”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题答案 一、1. 3 5. [ 10 ,+∞)
?4.5

2. 20kg 6. 97

3. 7.1

4. 1

提示:1.实验室养了三只动物:一只兔子,一只猫和一只鹦鹉, 除了两只以外所有的都是兔子,除了两只以外所有的都是猫,除 了两只以外所有的都是鹦鹉. 令 x,y,z 分别为兔子、猫、鹦鹉的只数, n 为动物的总数,我们 可以写出下列四个联立方程:
n ? x?2

n? y?2
n? z?2 n? x? y?z

解此联立方程有许多标准方法.显然,根据前三个方程式,可得 出x? y? z . 由 3n ? x ? y ? z ? 6 减去第四个方程, 得到 n ? 3 , 因 x ? 2 ? 3, 所以 x ? 1 .全部答案可由 x 值求得. 3.设大饭盒盛米饭 x 两,则 3 4.经计算 f (10) ? 5 , f [ f (10)] ?
f ? f ? f ( f (10)) ?? ? f (3) ? 1
3

: 43 ? 3: x ,可得 x ? 7.1

f (5) ? 9 , f ? f [ f (10)]? ? f (9) ? 3 ,

,以后不管有多少个 f ,结果总是 f (1) ? 1 . . 个 元 素 的 集 合 有
2k

所以

f ? f ? f [ f (10)]? ? 1 ? ? ?? ?
2006 个

6 . 由 于 包 含

k

个 子 集 , 由

n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) ,得

2100 ? 2100 ? 2card(C ) ? 2cord( A? B?C ) ,即 1 ? 2card(C )?101 ? 2card( A? B?C )?101 .[来源:学*科*

网 Z*X*X*K] 易知 1 ? 2card(C )?101 是大于 1 且为 2 的方幂的数,推知 card(C ) ? 101 .从 而 card( A ? B ? C) ? 102 .[来源:Zxxk.Com] 由容斥原理,有 card( A ? B ? C) ? card( A) ? card(B) ? card(C ) ? card( A ? B ? C )
? card( A ? B) ? card( B ? C ) ? card(C ? A) .

又 card( A ? B) , card( B ? C ) , card(C ? A) ≤102 , 则 card( A ? B ? C) ≥100 ? 100 ? 101 ? 102 ? 102 ? 102 ? 102 ? 97 . 下面的例子说明 97 是可以取到的: A={1,2,?,97,98,99,100}, B={1,2,?,97,98,101,102}, C={1,2,?,97,99,100,101,102}. 故 card( A ? B ? C ) 的最小可能值是 97. 二、7.D 8.B 9.A
4

10.D

提示:9.先将 M 中每个数乘以 5 ,组成集合 N . 则
N ? ?53 a1 ? 52 a2 ? 5a3 ? a4 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4? ? ?(a1a2 a3a4 )5 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4?



其中 (a1a2 a3a4 )5 表示四位数, (a1a2a3a4 ) 是 5 进制数.
3 2 则 N 中最大数为 (4444)5 =4 ? 5 +4 ? 5 +4 ? 5+4=624 .

在十进制中,从 624 起从大到小顺序排列的第 500 个数是
3 5 624-499=125 ,而 125 ? 5 ? (1000) 将此数除以

54 ,便得 M

中的数

1 0 0 0 ? ? ? 5 5 5 5.

10.第四个人是说实话的人.由第一个人的回答可以判断:4 人

之中一定有说实话的人(若 4 人都是说谎的人,那么谁也不会说 “我们 4 人全是说谎的人” ) , 所以第一个人是说谎的人. 由第二、 三人的回答可以判断: 第二人是说谎的 (因为他的话如果是实话, 则第二、三和第四人应该是说实话的,即第二和第三人的回答应 一致,但实际上他们的回答是矛盾的,故第二人的话不可能是实 话) . 下面来看第三人,如果第三人是说谎的,则由第一个判断可知第 四人是诚实的.如果第三人说的是真话,那么由他的回答可以断 定第三、 四两人是说实话的. 既无论第三人是说实话还是说谎话, 都能推出第四人说实话. 三、11.解: (1)化整为零(2)木已成舟 (3)本末倒置(4)颠倒黑白 (5)不动声色(6)反败为胜 函数例子略. 12. 解: 由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多. 故孩子的总数 n ? 11
2 能整除蘑菇总数 n ? 9n ? 2 ? (n ?11)(n ? 2) ? 20 ,

从而 n ? 11 整除 20.由于 n ? 11 ? 11 ,故 n 只能是 9.因此,女孩比 男孩多. 13. 解: 设两只病雁分别为病雁甲、 病雁乙, 病雁乙先单独飞行,
x 领头雁带着病雁甲飞行了 x 公里,用了 20 小时,并且超过了病雁

x 3 ? (20 ? 5) ? x 4 (公里) 乙 20 .这时,领头雁让病雁甲单独飞行,自

3 1 x ? (25 ? 5) ? x 40 (小时) 己回去接病雁乙.到遇到病雁乙时用了 4 ,

x ? 3 ? x ? ? ??5 ? x 8 (公里) 病雁乙遇到领头雁时单独飞行了 ? 20 40 ? ,这时离 3 ? ? ? 33 ? x ? 8 ?(公里) 目的地还有 ? .如果领头雁带病雁乙飞行的路程与
3 x ? 33 ? x 8 ,解得 x ? 24 (公里) 带病雁甲飞行的路程相等,则 .这 x 33 ? x 24 9 ? ? ? ?3 20 5 20 5 (小时)或

样,在路上共计用的时间为

1 1 1 1 x? x? x ? ? 24 ? 3 20 40 20 8 (小时) ,即三只大雁可在

3 小时内同时

到达目的地. 14.解:7 人都是同学.假设有 A,B 不是同学,其余 5 人中至少 有 3 个是 A 的同学,还至少有 3 个是 B 的同学,3 个 A 的同学 和 3 个 B 的同学中至少有 1 个是同一个人,A,B 和同一个人是 同学, 这与 A, B 不是同学的假设矛盾 , 所以任何两人都是同学. 四、15.解: (1) “歧中易”解法:I,将 H 引入 B ;II, H 从 C 中 穿过;III, H 退回,镲即取出,套上过程:III-II-I; (2)仿照 I; (3)寿环 3 解法:将钗顶顺次穿过 2,1,4,3 环,套过 5,6, 退出 3,套过 6,5,3,退出 1,2,穿过 1,套过 5,6,3,穿 过 3,套进 6,5,退出 3,穿进 4,3,套过 5,6,退出 3,4,1, 穿进 4,3,套过 6,5,退出 3,4,套过 6,5,退出 3,再套过 6,5,钗便取下,套上过程相反.

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题
一、填空题(每小题 6 分,共 36 分)

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题
一、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 1.生物课老师说: “在我实验室饲养的动物中,除了两只以外所有的动物都是兔子,除了两 只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉,你猜我总共养了多少只动物?”你的 答案是 . 2. 按照民行总局规定, 乘坐 A 航空公司中经济仓的乘 客所托运行李的重量 x(kg) 与其运费 y (元)的关系 如右图函数所示,请问购买 A 航空公司经济仓的乘客 可免费携带行李的最大重量为 .

3.某学校食堂备有两种饭盒,大饭盒底面圆直径 16cm,小饭盒底面圆直径 12cm,并且这 两种饭盒的大小不同,形状相同,已知小饭盒可盛米饭 3 两,那么大饭盒大约可盛米饭 两. 4.圆周率 ? 是一个极其驰名的数.古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和 劳动.我国南北朝时期的著名数学家、天文学家祖冲之(公元 429 年~500 年) ,经过漫长而 又繁琐的计算得到一个结论:圆周率的值介于 3.1415926~3.141592 7 之间,成为世界上 最早把圆周率推算到小数点后 7 位的科学家,直到 1000 年后西方的数学家才取得达到或超 过祖冲之的成就.现在已知 ? =3.1415926535?,设函数 f (n) ? k (其中 n ? N ) ,k 是 ?
*

的小数点后的第 n 位数字,则 f

? f [ f (10)]? ? ? f?? ? ? ?
2006 个



5.我们知道,人们对声音有不同的察觉,这与它的强度有关系.声音的强度用 I (单位为:

W / m2 )表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平 L1 表示,它们满足以下关系式:

L1 ? 10 lg

I ?12 (单位为分贝,L1 ≥ 0 , 其中 I 0 ? 1?10 , 这是人们平均能听到的最小强度, I0

是听觉的开端) .随着城市经济的不断发展,噪音污染也日趋严重,影响环境的同时,也影 响了我们日常的学习与生活,噪音是定义在 75 分贝以上不想听到的声音,它的声音强度 I (单位为: W / m )的范围为
2



6.对于容斥原理,同学们不太陌生吧?其基本思想是先不考虑重叠的情况,把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的 结果既无遗漏,又无重复.下面这道题就用到了容斥原理.已知集合 S 的子集的个数记作

n( S ) , 如 果 A, B 和 C 是 三 个 集 合 , 满 足 条 件 n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) 和 card( A) ? card( B) ? 100 ,那么 card ( A ? B ? C ) 可取的最小值是


二、选择题(每小题 6 分,共 24 分) 7.你爱吃薯片吗?是买大包装的,还是小包装的呢?已知每生产 100 克某品牌薯片的原料 费和加工费共 1.8 元,某食品厂采用两种包装,其包装费及售价如下表所示: 型号 重量
[来源:学科网 ZXXK]

小包装

大包装

包装费 售价

100 克 0.5 元 3.00 元
[来源:Z.xx.k.Com]

300 克 0.7 元 8.40 元

则下列说法中: ①买小 包装实惠; ②卖小包装盈利多; ③买大包装实惠; ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装还要多盈利. 所有正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.③ D.③④ 8.著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到:直觉是数学之旅的导游,它往往引 导我们发现结论,但我们也要多一点心眼,提防个别导游会骗人.我们一起来看个问题,一 定要小心哦!一个钟 5 秒钟敲了 6 下,那么它敲 12 下需要( ) A.10 秒钟 B.11 秒钟 C.12 秒钟 D.13 秒钟
[来源:学科网]

9 . 春 蕾 数 学 活 动 中 心 的 同 学 们 正 在 讨 论 一 个 问 题 , 已 知 集 合 T ? ?01 , , 2, 3 , 4? ,

? a a2 a3 a4 ? M ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4? 现将 M 中的元素按从大到小的顺序来个“沙 ?5 5 5 5 ?
场秋点兵” ,那么第 500 个“兵”是( )

1 0 0 0 ? ? ? 5 52 53 54 1 2 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 5 5 5 5
A.

2 1 4 2 ? ? ? 5 52 53 54 1 0 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 5 5 5 5
B.

10. 唐僧取经途中发现某地村民有人说实话, 有人说谎话, 唐僧命猪八戒找来 4 个村民, “你 们是说实话的人,还是说谎话的人?” 这 4 个村民回答如下: 第一个人说: “我们 4 个人都是说谎话的人. ” 第二个人说: “我们 4 个人中只有一个人是说谎话的人. ” 第三个人说: “我们 4 个人之中有两人是说谎的人. ” 第四个人说: “我是说实话的人. ” 唐僧听后说: “真难辨. ”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人,你认为孙悟空断定的是哪 个人呢?( )

A.第一个人 B.第二个人 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分)

C.第三个人

D.第四个人

11.请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则 f ,并举出相应的函数例子. (1) f (整) ? 零; (2) f (木)=舟; (3) f ?

?本? 末 ; ?? ?末? 本 ?黑? 白 ?? ; ?白? 黑

(4) f ?

(5) f (声 ? 色) ? 声 ? 色; (6) f ( 败) ? 胜. 12.大雨过后,喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴,因为听大人说,雨水不只滋润树木,还可 以滋生蘑菇,一场雨后, 11 个女孩与 n 个男孩结伴去采 蘑菇,所有这些孩子共采到

n 2 ? 9n ? 2 个蘑菇,并且每个孩子采到的个数都相同.试确定,采蘑菇的孩子中是女孩多
还是男孩多. 13. “空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神.入秋时,雁群以 25 公里 / 小时的速度 向南迁徙,在距目的地 33 公里时,有两只大雁因为体力不支而掉队,雁群决定留下领头雁 来照看并带着这两只病雁 继续前进.已知领头雁带着一只病雁飞行的速度为 20 公里/小时 (最多能带一只) ,而病雁单独飞行的速度为 5 公里/小时.请问:这三只大雁可在 3 小时内 同时到达目的地吗?给出你的理由. 14. 同学们参加过英语沙龙活动吗?此项活动不仅可以提高我们的口语水平, 同时还可以提 高我们学英语的兴趣.在一次英语沙龙聚会中,有 7 个同学组成一组,在这一组中,其中每 一位同学在其余 6 位中都至少有 3 位校友, 问: 这 7 位学生的关系怎样?试给出结论并证明. 四、开放题(本题 30 分) 15.九连环在中国已有两千年的历史,此类玩具的结构中深藏着逻辑上的巧妙联系.现有以 下三种环( 同学们不妨用铁丝做一下) ,供大家用数学的眼光,从数学的角度加以把玩、鉴 赏.图 1 是“岐中易” ,目标是把环H从套中取出;图 2 是“二阶岐中易” ,目标仍是把 H 环完全解脱出来;图 3 是“寿环” ,目标是将柄A从重重环扣中取出,与寿身完全分开.

1.请写出以上三种环的解开步骤. 2.请同学们反思,你的解题思路是如何形成的?由简到繁,由易到难的转换策略是如何具 体运用的? 3.此类解环的问题还有很多,请同学们自己列举出几个,并写出他们的解法.

第六届“学用杯 ”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题答案
一、1. 3 2. 20kg 3. 7.1 4. 1 5. [ 10
?4.5

,+∞)

6. 97 提示:1.实验室养了三只动物:一只兔子,一只猫和一只鹦鹉,除了两只以外所有的都是 兔子,除了两只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉. 令 x,y,z 分别为兔子、猫、鹦鹉的只数, n 为动物的总数,我们可以写出下列四个联立方 程:

n ? x?2

n? y?2
n? z?2 n? x? y?z

解 此联立方程有许多标准方法.显然,根据前三个方程式,可得出 x ? y ? z .由

3n ? x ? y ? z ? 6 减去第四个方程,得到 n ? 3 ,因 x ? 2 ? 3 ,所以 x ? 1 .全部答案可由 x
值求得. 3.设大饭盒盛米饭 x 两,则 3 : 4 ? 3: x ,可得 x ? 7.1
3 3

4.经计算 f (10) ? 5 , f [ f (10)] ? f (5) ? 9 , f ? f [ f (10)]? ? f (9) ? 3 ,

f ? f ? f ( f (10)) ?? ? f (3) ? 1 ,以后不管有多少个 f ,结果总是 f (1) ? 1 .
所以 f

? f [ f (10)]? ? 1 . ? f?? ? ? ?
2006 个
k

6.由于包含 k 个元素的集合有 2 个子集,由 n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) ,得

2100 ? 2100 ? 2card(C ) ? 2cord( A? B?C ) ,即 1 ? 2card(C )?101 ? 2card( A? B?C )?101 .
易 知 1? 2
c a rC d? ( ) 1 0 1

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

是 大 于 1 且 为 2 的 方 幂 的 数 , 推 知 card(C ) ? 101 . 从 而
[来源:Zxxk.Com]

card( A ? B ? C ) ? 102 .

由容斥原理,有 card( A ? B ? C ) ? card( A) ? card( B) ? card(C ) ? card( A ? B ? C )

? card( A ? B) ? card( B ? C ) ? card(C ? A) .
又 card( A ? B) , card( B ? C ) , card(C ? A) ≤102 , 则 card( A ? B ? C ) ≥100 ? 100 ? 101 ? 102 ? 102 ? 102 ? 102 ? 97 . 下面的例子说明 97 是可以取到的: A={1,2,?,97,98,99,100}, B={1,2,?,97,98,101,102}, C={1,2,?,97,99,100,101,102}. 故 card( A ? B ? C ) 的最小可能值是 97. 二、7.D 8.B
4

9.A

10.D

提示:9.先将 M 中每个数乘以 5 ,组成集合 N .
3 2 , 2, 3, 4 ? (a1a2 a3a4 )5 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4 . 则 N ? 5 a1 ? 5 a2 ? 5a3 ? a4 ai ? T,i ? 1

?

? ?

?

其中 (a1a2 a3a4 )5 表示四位数, (a1a2 a3a4 ) 是 5 进制数. 则 N 中最大数为 (4444)5 =4 ? 5 +4 ? 5 +4 ? 5+4=624 .
3 2

在十进制中, 从 624 起从大到小顺序排列的第 500 个数是 624-499=125, 而125 ? 53 ? (1000)5 将此数除以 5 ,便得 M 中的数
4

1 0 0 0 ? ? ? . 5 5 5 5

10.第四个人是说实话的人.由第一个人的回答可以判断:4 人之中一定有说实话的人(若 4 人都是说谎的人, 那么谁也不会说 “我们 4 人全是说谎的人” ) , 所以第一个人是说谎的人. 由 第二、三人的回答可以判断:第二人是说谎的(因为他的话如果是实话,则第二、三和第四 人应该是说实话的,即第二和第三人的回答应一致,但实际上他们的回答是矛盾的,故第二 人的话不可能是实话) . 下面来看第三人,如果第三人是说谎的,则由第一个判断可知第四人是诚实的.如果第三人 说的是真话,那么由他的回答可以断定第三、四两人是说实话的.既无论第三人是说实话还 是说谎话,都能推出第四人说实话. 三、11.解: (1)化整为零(2)木已成舟 (3)本末倒置(4)颠倒黑白 (5)不动声色(6)反败为胜 函数例子略. 12 .解:由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多.故孩子的总数 n ? 11 能整除蘑菇总数

n2 ? 9n ? 2 ? (n ? 11)(n ? 2) ? 20 ,
从而 n ? 11 整除 20.由于 n ? 11 ? 11 ,故 n 只能是 9.因此,女孩比男孩多. 13.解:设两只病雁分别为病雁甲、病雁乙,病雁乙先单独飞行,领头雁带着病雁甲飞行了

x x 3 ? (20 ? 5) ? x (公里) 小时,并且超过了病雁乙 .这时,领头雁让病 20 20 4 3 1 x (小时) 雁甲单独飞行,自己回去接病雁乙.到遇到病雁乙时用了 x ? (25 ? 5) ? ,病 4 40

x 公里,用了

雁乙遇到领头雁时单独飞行了 ?

x ? 3 3 ? ? x ? ,这时离目的地还有 ? 33 ? x ? ? ? ? 5 ? x (公里) 8 8 ? ? 20 40 ? ?
3 x, 8

(公里) .如果领头雁带病雁乙飞行的路程与带病 雁甲飞行的路程相等,则 x ? 33 ? 解得 x ? 24 (公里) .这样,在路上共计用的时间为

x 33 ? x 24 9 ? ? ? ? 3 (小时)或 20 5 20 5

1 1 1 1 x? x? x ? ? 24 ? 3 (小时) ,即三只大雁可在 3 小时内同时到达目的地. 20 40 20 8 14.解:7 人都是同学.假设有 A, B 不是同 学,其余 5 人中至少有 3 个是 A 的同学,还至
少有 3 个是 B 的同学,3 个 A 的同学和 3 个 B 的同学中至少有 1 个是同一个人,A,B 和同 一个人是同学,这与 A,B 不是同学的假设矛盾 ,所以任何两人都是同学. 四、15.解: (1) “歧中易”解法:I,将 H 引入 B ;II, H 从 C 中穿过;III, H 退回,镲 即取出,套上过程:III-II-I; (2)仿照 I; (3)寿环 3 解法:将钗顶顺次穿过 2,1,4,3 环,套过 5,6,退出 3,套过 6,5,3,退 出 1,2,穿过 1,套过 5,6,3,穿过 3,套进 6,5,退出 3,穿进 4,3,套过 5,6,退出 3,4,1,穿进 4,3,套过 6,5,退出 3,4,套过 6,5,退出 3,再套过 6,5,钗便取下, 套上过程相反.

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题 一、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 1.生物课老师说: “在我实验室饲养的动物中,除了两只以外所有的动物都是兔子,除了两 只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉,你猜我总共养了多少只动物?”你的 答案是 . 2.按照民行总局规定,乘坐 A 航空公司中经济仓的乘客所托运行李的重量与其运费(元) 的关系如右图函数所示,请问购买 A 航空公司经济仓的乘客可免费携带行李的最大重量为 .

3.某学校食堂备有两种饭盒,大饭盒底面圆直径 16cm,小饭盒底面圆直径 12cm,并且这 两种饭盒的大小不同,形状相同,已知小饭盒可盛米饭 3 两,那么大饭盒大约可盛米饭 两. 4.圆周率是一个极其驰名的数.古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳 动.我国南北朝时期的著名数学家、天文学家祖冲之(公元 429 年~500 年) ,经过漫长而又 繁琐的计算得到一个结论:圆周率的值介于 3.1415926~3.1415927 之间,成为世界上最早 把圆周率推算到小数点后 7 位的科学家,直到 1000 年后西方的数学家才取得达到或超过祖 冲之的成就.现在已知=3.1415926535?,设函数(其中) ,是的小数点后的第位数字,则 . 5.我们知道,人们对声音有不同的察觉,这与它的强度有关系.声音的强度用(单位为: ) 表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平表示,它们满足以下关系式: (单位为分贝, , 其中,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端) .随着城市经济的不断发展,噪音 污染也日趋严重,影响环境的同时,也影响了我们日常的学习与生活,噪音是定义在 75 分 贝以上不想听到的声音,它的声音强度(单位为: )的范围为 . 6.对于容斥原理,同学们不太陌生吧?其基本思想是先不考虑重叠的情况,把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的 结果既无遗漏,又无重复.下面这道题就用到了容斥原理.已知集合的子集的个数记作,如 果和是三个集合,满足条件和,那么可取的最小值是 . 二、选择题(每小题 6 分,共 24 分) 7.你爱吃薯片吗?是买大包装的,还是小包装的呢?已知每生产 100 克某品牌薯片的原料 费和加工费共 1.8 元,某食品厂采用两种包装,其包装费及售价如下表所示: 型号 小包装 大包装 重量[来源:学科网 ZXXK] 克 克 包装费 元 元 售价 元 元 则下列说法中:[来源:Z.xx.k.Com] ①买小包装实惠; ②卖小包装盈利多; ③买大包装实惠; ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装还要多盈利.[来源:学科网] 所有正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.③ D.③④

8.著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到:直觉是数学之旅的导游,它往往引 导我们发现结论,但我们也要多一点心眼,提防个别导游会骗人.我们一起来看个问题,一 定要小心哦!一个钟 5 秒钟敲了 6 下,那么它敲 12 下需要( ) A.10 秒钟 B.11 秒钟 C.12 秒钟 D.13 秒钟 9.春蕾数学活动中心的同学们正在讨论一个问题,已知集合,现将中的元素按从大到小的 顺序来个“沙场秋点兵” ,那么第 500 个“兵”是( ) A. B. C. D. 10. 唐僧取经途中发现某地村民有人说实话, 有人说谎话, 唐僧命猪八戒找来 4 个村民, “你 们是说实话的人,还是说谎话的人?” 这 4 个村民回答如下: 第一个人说: “我们 4 个人都是说谎话的人. ” 第二个人说: “我们 4 个人中只有一个人是说谎话的人. ” 第三个人说: “我们 4 个人之中有两人是说谎的人. ” 第四个人说: “我是说实话的人. ” 唐僧听后说: “真难辨. ”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人,你认为孙悟空断定的是哪 个人呢?( ) A.第一个人 B.第二个人 C.第三个人 D.第四个人 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 11.请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则,并举出相应的函数例子. (1) (整)零; (2) (木)=舟; (3) ; (4) ; (5) (声色)声色; (6) (败)胜. 12.大雨过后,喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴,因为听大人说,雨水不只滋润树木,还可 以滋生蘑菇,一场雨后,11 个女孩与个男孩结伴去采蘑菇,所有这些孩子共采到个蘑菇, 并且每个孩子采到的个数都相同.试确定,采蘑菇的孩子中是女孩多还是男孩多. 13. “空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神.入秋时,雁群以 25 公里小时的速度向 南迁徙,在距目的地 33 公里时,有两只大雁因为体力不支而掉队,雁群决定留下领头雁来 照看并带着这两只病雁继续前进.已知领头雁带着一只病雁飞行的速度为 20 公里/小时(最 多能带一只) ,而病雁单独飞行的速度为 5 公里/小时.请问:这三只大雁可在 3 小时内同时 到达目的地吗?给出你的理由. 14. 同学们参加过英语沙龙活动吗?此项活动不仅可以提高我们的口语水平, 同时还可以提 高我们学英语的兴趣.在一次英语沙龙聚会中,有 7 个同学组成一组,在这一组中,其中每 一位同学在其余 6 位中都至少有 3 位校友, 问: 这 7 位学生的关系怎样?试给出结论并证明. 四、开放题(本题 30 分) 15.九连环在中国已有两千年的历史,此类玩具的结构中深藏着逻辑上的巧妙联系.现有以 下三种环(同学们不妨用铁丝做一下) ,供大家用数学的眼光,从数学的角度加以把玩、鉴 赏.图 1 是“岐中易” ,目标是把环H从套中取出;图 2 是“二阶岐中易” ,目标仍是把 H 环完全解脱出来;图 3 是“寿环” ,目标是将柄A从重重环扣中取出,与寿身完全分开.

1.请写出以上三种环的解开步骤. 2.请同学们反思,你的解题思路是如何形成的?由简到繁,由易到难的转换策略是如何具 体运用的? 3.此类解环的问题还有很多,请同学们自己列举出几个,并写出他们的解法. 第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题答案 一、1. 3 2. 20kg 3. 7.1 4. 1 5. [,+∞) 6. 97 提示:1.实验室养了三只动物:一只兔子,一只猫和一只鹦鹉,除了两只以外所有的都是 兔子,除了两只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉. 令分别为兔子、猫、鹦鹉的只数,为动物的总数,我们可以写出下列四个联立方程:

解此联立方程有许多标准方法.显然,根据前三个方程式,可得出.由减去第四个方程,得 到,因,所以.全部答案可由值求得. 3.设大饭盒盛米饭两,则,可得 4.经计算, , , ,以后不管有多少个,结果总是. 所以. 6.由于包含个元素的集合有个子集,由,得 ,即.[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 易知是大于 1 且为 2 的方幂的数,推知.从而.[来源:Zxxk.Com] 由容斥原理,有 . 又, , , 则. 下面的例子说明 97 是可以取到的: A={1,2,?,97,98,99,100}, B={1,2,?,97,98,101,102}, C={1,2,?,97,99,100,101,102}. 故的最小可能值是 97. 二、7.D 8.B 9.A 10.D 提示:9.先将中每个数乘以,组成集合. 则. 其中表示四位数,是 5 进制数. 则中最大数为. 在十进制中,从 624 起从大到小顺序排列的第 500 个数是 624-499=125,而将此数除以 , 便得中的数. 10.第四个人是说实话的人.由第一个人的回答可以判断:4 人之中一定有说实话的人(若 4 人都是说谎的人, 那么谁也不会说 “我们 4 人全是说谎的人” ) , 所以第一个人是说谎的人. 由 第二、三人的回答可以判断:第二人是说谎的(因为他的话如果是实话,则第二、三和第四 人应该是说实话的,即第二和第三人的回答应一致,但实际上他们的回答是矛盾的,故第二 人的话不可能是实话) . 下面来看第三人,如果第三人是说谎的,则由第一个判断可知第四人是诚实的.如果第三人 说的是真话,那么由他的回答可以断定第三、四两人是说实话的.既无论第三人是说实话还 是说谎话,都能推出第四人说实话. 三、11.解: (1)化整为零(2)木已成舟 (3)本末倒置(4)颠倒黑白 (5)不动声色(6)反败为胜 函数例子略. 12.解:由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多.故孩子的总数能整除蘑菇总数, 从而整除 20.由于,故只能是 9.因此,女孩比男孩多. 13.解:设两只病雁分别为病雁甲、病雁乙,病雁乙先单独飞行,领头雁带着病雁甲飞行了 公里,用了小时,并且超过了病雁乙(公里) .这时,领头雁让病雁甲单独飞行,自己回去 接病雁乙.到遇到病雁乙时用了(小时) ,病雁乙遇到领头雁时单独飞行了(公里) ,这时离 目的地还有(公里) .如果领头雁带病雁乙飞行的路程与带病雁甲飞行的路程相等,则,解

得(公里) .这样,在路上共计用的时间为(小时)或(小时) ,即三只大雁可在 3 小时内同 时到达目的地. 14.解:7 人都是同学.假设有不是同学,其余 5 人中至少有 3 个是 A 的同学,还至少有 3 个是 B 的同学,3 个 A 的同学和 3 个 B 的同学中至少有 1 个是同一个人,A,B 和同一个人 是同学,这与 A,B 不是同学的假设矛盾,所以任何两人都是同学. 四、15.解: (1) “歧中易”解法:I,将引入;II,从中穿过;III,退回,镲即取出,套上 过程:III-II-I; (2)仿照 I; (3)寿环 3 解法:将钗顶顺次穿过 2,1,4,3 环,套过 5,6,退出 3,套过 6,5,3,退 出 1,2,穿过 1,套过 5,6,3,穿过 3,套进 6,5,退出 3,穿进 4,3,套过 5,6,退出 3,4,1,穿进 4,3,套过 6,5,退出 3,4,套过 6,5,退出 3,再套过 6,5,钗便取下, 套上过程相反. 1.生物课老师说: “在我实验室饲养的动物中,除了两只以外所有的动物都是兔子,除了两 只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉,你猜我总共养了多少只动物?”你的 答案是 . 2. 按照民行总局规定, 乘坐 A 航空公司中经济仓的乘 客所托运行李的重量 x(kg) 与其运费 y (元)的关系 如右图函数所示,请问购买 A 航空公司经济仓的乘客 可免费携带行李的最大重量为 .

3.某学校食堂备有两种饭盒,大饭盒底面圆直径 16cm,小饭盒底面圆直径 12cm,并且这 两种饭盒的大小不同,形状相同,已知小饭盒可盛米饭 3 两,那么大饭盒大约可盛米饭 两. 4.圆周率 ? 是一个极其驰名的数.古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和 劳动.我国南北朝时期的著名数学家、天文学家祖冲之(公元 429 年~500 年) ,经过漫长而 又繁琐的计算得到一个结论:圆周率的值介于 3.1415926~3.141592 7 之间,成为世界上 最早把圆周率推算到小数点后 7 位的科学家,直到 1000 年后西方的数学家才取得达到或超 过祖冲之的成就.现在已知 ? =3.1415926535?,设函数 f (n) ? k (其中 n ? N ) ,k 是 ?
*

的小数点后的第 n 位数字,则 f

? f [ f (10)]? ? ? f?? ? ? ?
2006 个



5.我们知道,人们对声音有不同的察觉,这与它的强度有关系.声音的强度用 I (单位为:

W / m2 )表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平 L1 表示,它们满足以下关系式:

L1 ? 10 lg

I ?12 (单位为分贝,L1 ≥ 0 , 其中 I 0 ? 1?10 , 这是人们平均能听到的最小强度, I0

是听觉的开端) .随着城市经济的不断发展,噪音污染也日趋严重,影响环境的同时,也影 响了我们日常的学习与生活,噪音是定义在 75 分贝以上不想听到的声音,它的声音强度 I (单位为: W / m )的范围为
2



6.对于容斥原理,同学们不太陌生吧?其基本思想是先不考虑重叠的情况,把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的 结果既无遗漏,又无重复.下面这道题就用到了容斥原理.已知集合 S 的子集的个数记作

n( S ) , 如 果 A, B 和 C 是 三 个 集 合 , 满 足 条 件 n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) 和 card( A) ? card( B) ? 100 ,那么 card ( A ? B ? C ) 可取的最小值是


二、选择题(每小题 6 分,共 24 分) 7.你爱吃薯片吗?是买大包装的,还是小包装的呢?已知每生产 100 克某品牌薯片的原料 费和加工费共 1.8 元,某食品厂采用两种包装,其包装费及售价如下表所示: 型号 重量
[来源:学科网 ZXXK]

小包装

大包装

包装费 售价

100 克 0.5 元 3.00 元
[来源:Z.xx.k.Com]

300 克 0.7 元 8.40 元

则下列说法中: ①买小 包装实惠; ②卖小包装盈利多; ③买大包装实惠; ④卖 1 包大包装比卖 3 包小包装还要多盈利. 所有正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.③ D.③④ 8.著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到:直觉是数学之旅的导游,它往往引 导我们发现结论,但我们也要多一点心眼,提防个别导游会骗人.我们一起来看个问题,一 定要小心哦!一个钟 5 秒钟敲了 6 下,那么它敲 12 下需要( ) A.10 秒钟 B.11 秒钟 C.12 秒钟 D.13 秒钟
[来源:学科网]

9 . 春 蕾 数 学 活 动 中 心 的 同 学 们 正 在 讨 论 一 个 问 题 , 已 知 集 合 T ? ?0 , 1 , 2 , , 3? 4,

? a a2 a3 a4 ? M ?? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4? 现将 M 中的元素按从大到小的顺序来个“沙 ?5 5 5 5 ?
场秋点兵” ,那么第 500 个“兵”是( )

1 0 0 0 ? ? ? 5 52 53 54 1 2 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 5 5 5 5
A.

2 1 4 2 ? ? ? 5 52 53 54 1 0 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 5 5 5 5
B.

10. 唐僧取经途中发现某地村民有人说实话, 有人说谎话, 唐僧命猪八戒找来 4 个村民, “你 们是说实话的人,还是说谎话的人?” 这 4 个村民回答如下: 第一个人说: “我们 4 个人都是说谎话的人. ” 第二个人说: “我们 4 个人中只有一个人是说谎话的人. ” 第三个人说: “我们 4 个人之中有两人是说谎的人. ” 第四个人说: “我是说实话的人. ” 唐僧听后说: “真难辨. ”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人,你认为孙悟空断定的是哪 个人呢?( )

A.第一个人 B.第二个人 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分)

C.第三个人

D.第四个人

11.请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则 f ,并举出相应的函数例子. (1) f (整) ? 零; (2) f (木)=舟; (3) f ?

?本? 末 ; ?? ?末? 本 ?黑? 白 ?? ; ?白? 黑

(4) f ?

(5) f (声 ? 色) ? 声 ? 色; (6) f ( 败) ? 胜. 12.大雨过后,喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴,因为听大人说,雨水不只滋润树木,还可 以滋生蘑菇,一场雨后, 11 个女孩与 n 个男孩结伴去采 蘑菇,所有这些孩子共采到

n 2 ? 9n ? 2 个蘑菇,并且每个孩子采到的个数都相同.试确定,采蘑菇的孩子中是女孩多
还是男孩多. 13. “空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神.入秋时,雁群以 25 公里 / 小时的速度 向南迁徙,在距目的地 33 公里时,有两只大雁因为体力不支而掉队,雁群决定留下领头雁 来照看并带着这两只病雁 继续前进.已知领头雁带着一只病雁飞行的速度为 20 公里/小时 (最多能带一只) ,而病雁单独飞行的速度为 5 公里/小时.请问:这三只大雁可在 3 小时内 同时到达目的地吗?给出你的理由. 14. 同学们参加过英语沙龙活动吗?此项活动不仅可以提高我们的口语水平, 同时还可以提 高我们学英语的兴趣.在一次英语沙龙聚会中,有 7 个同学组成一组,在这一组中,其中每 一位同学在其余 6 位中都至少有 3 位校友, 问: 这 7 位学生的关系怎样?试给出结论并证明. 四、开放题(本题 30 分) 15.九连环在中国已有两千年的历史,此类玩具的结构中深藏着逻辑上的巧妙联系.现有以 下三种环( 同学们不妨用铁丝做一下) ,供大家用数学的眼光,从数学的角度加以把玩、鉴 赏.图 1 是“岐中易” ,目标是把环H从套中取出;图 2 是“二阶岐中易” ,目标仍是把 H 环完全解脱出来;图 3 是“寿环” ,目标是将柄A从重重环扣中取出,与寿身完全分开.

1.请写出以上三种环的解开步骤. 2.请同学们反思,你的解题思路是如何形成的?由简到繁,由易到难的转换策略是如何具 体运用的? 3.此类解环的问题还有很多,请同学们自己列举出几个,并写出他们的解法.

第六届“学用杯 ”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题答案
一、1. 3 2. 20kg 3. 7.1 4. 1 5. [ 10
?4.5

,+∞)

6. 97 提示:1.实验室养了三只动物:一只兔子,一只猫和一只鹦鹉,除了两只以外所有的都是 兔子,除了两只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉. 令 x,y,z 分别为兔子、猫、鹦鹉的只数, n 为动物的总数,我们可以写出下列四个联立方 程:

n ? x?2

n? y?2
n? z?2 n? x? y?z

解 此联立方程有许多标准方法.显然,根据前三个方程式,可得出 x ? y ? z .由

3n ? x ? y ? z ? 6 减去第四个方程,得到 n ? 3 ,因 x ? 2 ? 3 ,所以 x ? 1 .全部答案可由 x
值求得. 3.设大饭盒盛米饭 x 两,则 3 : 4 ? 3: x ,可得 x ? 7.1
3 3

4.经计算 f (10) ? 5 , f [ f (10)] ? f (5) ? 9 , f ? f [ f (10)]? ? f (9) ? 3 ,

f ? f ? f ( f (10)) ?? ? f (3) ? 1 ,以后不管有多少个 f ,结果总是 f (1) ? 1 .
所以 f

? f [ f (10)]? ? 1 . ? f?? ? ? ?
2006 个
k

6.由于包含 k 个元素的集合有 2 个子集,由 n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) ,得

2100 ? 2100 ? 2card(C ) ? 2cord( A? B?C ) ,即 1 ? 2card(C )?101 ? 2card( A? B?C )?101 .
易 知 1? 2
c a rC d? ( ) 1 0 1

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

是 大 于 1 且 为 2 的 方 幂 的 数 , 推 知 card(C ) ? 101 . 从 而
[来源:Zxxk.Com]

card( A ? B ? C ) ? 102 .

由容斥原理,有 card( A ? B ? C ) ? card( A) ? card( B) ? card(C ) ? card( A ? B ? C )

? card( A ? B) ? card( B ? C ) ? card(C ? A) .
又 card( A ? B) , card( B ? C ) , card(C ? A) ≤102 , 则 card( A ? B ? C ) ≥100 ? 100 ? 101 ? 102 ? 102 ? 102 ? 102 ? 97 . 下面的例子说明 97 是可以取到的: A={1,2,?,97,98,99,100}, B={1,2,?,97,98,101,102}, C={1,2,?,97,99,100,101,102}. 故 card( A ? B ? C ) 的最小可能值是 97. 二、7.D 8.B
4

9.A

10.D

提示:9.先将 M 中每个数乘以 5 ,组成集合 N .
3 2 , 2, 3, 4 ? (a1a2 a3a4 )5 ai ? T,i ? 1 , 2, 3, 4 . 则 N ? 5 a1 ? 5 a2 ? 5a3 ? a4 ai ? T,i ? 1

?

? ?

?

其中 (a1a2 a3a4 )5 表示四位数, (a1a2 a3a4 ) 是 5 进制数. 则 N 中最大数为 (4444)5 =4 ? 5 +4 ? 5 +4 ? 5+4=624 .
3 2

在十进制中, 从 624 起从大到小顺序排列的第 500 个数是 624-499=125, 而125 ? 53 ? (1000)5 将此数除以 5 ,便得 M 中的数
4

1 0 0 0 ? ? ? . 5 5 5 5

10.第四个人是说实话的人.由第一个人的回答可以判断:4 人之中一定有说实话的人(若 4 人都是说谎的人, 那么谁也不会说 “我们 4 人全是说谎的人” ) , 所以第一个人是说谎的人. 由 第二、三人的回答可以判断:第二人是说谎的(因为他的话如果是实话,则第二、三和第四 人应该是说实话的,即第二和第三人的回答应一致,但实际上他们的回答是矛盾的,故第二 人的话不可能是实话) . 下面来看第三人,如果第三人是说谎的,则由第一个判断可知第四人是诚实的.如果第三人 说的是真话,那么由他的回答可以断定第三、四两人是说实话的.既无论第三人是说实话还 是说谎话,都能推出第四人说实话. 三、11.解: (1)化整为零(2)木已成舟 (3)本末倒置(4)颠倒黑白 (5)不动声色(6)反败为胜 函数例子略. 12 .解:由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多.故孩子的总数 n ? 11 能整除蘑菇总数

n2 ? 9n ? 2 ? (n ? 11)(n ? 2) ? 20 ,
从而 n ? 11 整除 20.由于 n ? 11 ? 11 ,故 n 只能是 9.因此,女孩比男孩多. 13.解:设两只病雁分别为病雁甲、病雁乙,病雁乙先单独飞行,领头雁带着病雁甲飞行了

x x 3 ? (20 ? 5) ? x (公里) 小时,并且超过了病雁乙 .这时,领头雁让病 20 20 4 3 1 x (小时) 雁甲单独飞行,自己回去接病雁乙.到遇到病雁乙时用了 x ? (25 ? 5) ? ,病 4 40

x 公里,用了

雁乙遇到领头雁时单独飞行了 ?

x ? 3 3 ? ? x ? ,这时离目的地还有 ? 33 ? x ? ? ? ? 5 ? x (公里) 8 8 ? ? 20 40 ? ?
3 x, 8

(公里) .如果领头雁带病雁乙飞行的路程与带病 雁甲飞行的路程相等,则 x ? 33 ? 解得 x ? 24 (公里) .这样,在路上共计用的时间为

x 33 ? x 24 9 ? ? ? ? 3 (小时)或 20 5 20 5

1 1 1 1 x? x? x ? ? 24 ? 3 (小时) ,即三只大雁可在 3 小时内同时到达目的地. 20 40 20 8 14.解:7 人都是同学.假设有 A, B 不是同 学,其余 5 人中至少有 3 个是 A 的同学,还至
少有 3 个是 B 的同学,3 个 A 的同学和 3 个 B 的同学中至少有 1 个是同一个人,A,B 和同 一个人是同学,这与 A,B 不是同学的假设矛盾 ,所以任何两人都是同学. 四、15.解: (1) “歧中易”解法:I,将 H 引入 B ;II, H 从 C 中穿过;III, H 退回,镲 即取出,套上过程:III-II-I; (2)仿照 I; (3)寿环 3 解法:将钗顶顺次穿过 2,1,4,3 环,套过 5,6,退出 3,套过 6,5,3,退 出 1,2,穿过 1,套过 5,6,3,穿过 3,套进 6,5,退出 3,穿进 4,3,套过 5,6,退出 3,4,1,穿进 4,3,套过 6,5,退出 3,4,套过 6,5,退出 3,再套过 6,5,钗便取下, 套上过程相反.


第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(B)卷及答案

第六届数学学用杯全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(B)卷及答案第六届数学学用杯全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(B)卷及答案隐藏>> 第六届...

第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛-高一年级初赛试题(B)卷及答案

第六届数学学用杯全国数学知识应用竞赛-高一年级初赛试题(B)卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。大家一起来学习 第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 ...

第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷及答案

B,C 三 d2 个城市的人口及它们之间的距离如图 1 所示,且已知 A,B 两个 ...第六届学用杯全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷 参考答案一、...

第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案

第六届数学学用杯全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第六届数学学用杯全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试...

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题A卷(含答案)

第六届学用杯全国数学知识应用竞赛年级初赛试题A卷(含答案)_学科竞赛_初中...(A)288、561 (B)300、561 (C)288、566 (D)300、566 4.一位警察奉命...

第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(A)卷及答案

[来源:Zxxk.Com] 第七届“学用杯全国数学知识应用竞赛高一年级 初赛试题(A)卷参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.B 2.C 3.A 4.A 5....

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级初赛试题(B)

第六届学用杯全国数学知识应用竞赛年级初赛(B)卷试题一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.王老师组织学生举行了一次手抄报活动,最后把十名优秀者的...

第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(B)卷及答案

第七学用杯全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B 卷)试题一、选择题(...在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体躯干(由 脚底至肚脐的长度)与身高的比例...

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级初赛试题(A)

第六届学用杯全国数学知识应用竞赛年级初赛试题(A) 八年级数学题八年级...( ) A.9 名 B.10 名 C.11 名 D.12 名二、填空题(每小题 6 分,共...

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛七年级初赛试题A卷(含答案).doc

第六届学用杯全国数学知识应用竞赛年级初赛试题A卷(含答案).doc_学科...b 2 ? 2ab . 2 我国著名数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形少数...