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3.2.1几个常用函数的导数


3.2.1 几个常用函数的导数
教学目标: 1. 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、y ? x 、y ? x2 、y ? 的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

1 x

1 的导数公式及应用 x 1 教学难点: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y

? 的导数公式 x
教学重点:四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 教学过程: 一.创设情景 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某 一时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所 以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某 些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函 数的导数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

y? ? 0 表示函数 y ? c 图象(图 3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程 关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止
状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0
函数 导数

y?x

y? ? 1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象(图 3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程 关于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

3.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x 2 2 2 x ? 2 x?x ? (?x) ? x ? ? 2 x ? ?x ?x ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
因为 函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图象(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x
的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表 明: 当 x ? 0 时, 随着 x 的增加, 函数 y ? x2 减少得越来越慢; 当 x ? 0 时, 随着 x 的增加, 函数 y ? x2 增加得越来越快.若 y ? x2 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为 某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x x ? ( x ? ?x) 1 ? ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x ?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? x ? ?x x
函数 导数

y?
5.函数 y ? f ( x) ? 因为

1 x

y? ? ?

1 x2

x 的导数

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?x ?x ?x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ? ?x( x ? ?x ? x ) ( x ? ?x) ? x ? ?x( x ? ?x ? x ) ?y 1 1 ? lim ? 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

函数

导数

y? x

y? ?

1 2 x

(2)推广:若 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) ,则 f ?( x) ? nxn?1 三.课堂练习

四.回顾总结 函数 导数

y?c y?x

y' ? 0
y' ? 1

y ? x2
y? 1 x

y' ? 2x
y' ? ? 1 x2 1

y? x
y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y? ?

2 x

y' ? nxn?1

五.布置作业


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