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概率(教师版)

时间:2015-07-19


高三 学生姓名:
专 目 题 标

年级

数学

科辅导讲义(第 讲) 授课时间:

授课教师:
概率、随机变量及其分布 几何概型、古典概型、条件概率

重 难 点 常 考 点

离散型随机变量的分布列、期望、方差,常与相互独立事件的概率、

n 次独立重复试验 统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列 第一部分 基础知识梳理

1.随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围:0≤P(A)≤1;必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)= = . n 基本事件总数 (3)几何概型的概率 P(A)= 构成事件A .

(理)2.条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率: P AB P(B|A)= . P A 3.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B). 4.独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Cnp (1-p) 5.超几何分布 CMCN-M 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 P(X=k)= n ,k=0,1,2,?,m, CN 其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N .此时称随机变量 X 服从超几何分布.超几何分布的模型 是不放回抽样,超几何分布中的参数是 M,N,n. (理)6.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi 的概率为 P(X=xi)=pi, 则称下表:
* k n-k k k n-k

,k=0,1,2,?,n.

1

X P 为离散型随机变量 X 的分布列.

x1 p1

x2 p2

x3 p3

? ?

xi pi

? ?

xn pn

(2)离散型随机变量 X 的分布列具有两个性质:①pi≥0,②p1+p2+?+pi+?+pn=1(i=1,2,3,?,n). (3)E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为 X 的均值或数学期望(简称期望). D(X)=(x1-E(X)) ·p1+(x2-E(X)) ·p2+?+(xi-E(X)) ·pi+?+(xn-E(X)) ·pn 叫做随机变量ξ 的方 差. (4)性质 ①E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a D(X); ②X~B(n,p),则数学期望 E(X)=np,方差 D(X)=np(1-p); ③X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p). (理)7.正态分布 若 X~N(μ ,σ ),则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ -σ < X ≤μ +σ )=0.682 6; ②P(μ -2σ < X ≤μ +2σ )=0.954 4; ③P(μ -3σ < X ≤μ +3σ )=0.997 4. 第二部分 考点解析 热点一 古典概型与几何概型 例 1、 (1)集合 A={2,3},B={1, 2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是( ) 2 1 1 1 A. B. C. D. [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 3 2 3 6 2 1 解析:所有情形有六种,满足要求的只有(2,2)和(3,1),所以概率为 = ,故选 C. 6 3 答案:C (2)右图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内 的概率为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 解析: 10 个数据落在区间[22,30)内的数据有 22,22,27,29, 共 4 个, 4 因此,所求的频率为 =0.4.故选 B. 10 答案:B (3) .设 a 是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x +ax+2=0 有两个不相等的实数根的概率为( ) 2 1 1 5 A. B. C. D. 3 3 2 12 答案:A 2 2 4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为 P 点的坐标,则点 P 落在圆 x +y =16 内的概率是 ____________. 解析:基本事件的总数为 6×6=36 个,记事件 A={点 P(m,n)落在圆 x +y =16 内},则 A 所包含的
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 2 基本事件为(1,1),(2,2),(1,3),(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(2,1),共 8 个,P(A)= = . 36 9 2 答案: [来源:www.shulihua.net] 9 例 2 (1)在 1,2,3,4 共 4 个数字中,任取两个数字(允许重复),其中一个数字是另一个数字的 2 倍的概 率是________. 思维启迪 (1)符合古典概型特点, 求 4 个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的 2 1 倍的方法数;答案 (1) 4 (2)在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,使得 1∈{x|2x +ax-a >0}的概率为________. 3 2 2 2 解析:由 1∈{x|2x +ax-a >0},得 a -a-2<0? -1<a<2,所以所 求概率为 . 10 答案:0.3 2 2 (3)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为 (x,y)(x,y∈R),则 P 满足(x-2) +(y-2) ≤4 的概率是 __________. 2 2 解析:如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界),满足(x-2) +(y-2) ≤4 的点的区域 为以(2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界). 1 2 π ×2 4 π 所以所求的概率 P1= = . 4×4 16
2 2

π 答案: 16 思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件

数,这常用到计数原理与排列、组合的相关知识. (2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数 的求法与基本事件总数的求法的一致性. (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (1)(2014·广东)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的 概率为________. (2)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得函数 f(x)= 1-x+ x+3-1 有意义的概率为________. 1 答案 (1) 6 2 (2) 3
7

解析 (1)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,基本事件总数共有 C10=120(个),记事件“七个 20 1 3 3 数的中位数为 6”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件的个数为 C6C3=20,故所求概率 P(A)= = . 120 6
3

?1-x≥0, ? (2)由? ? ?x+3≥0,

1 得 f(x)的定义域为[-3,1], 由几何概型的概率公式, 得所求概率为 P= 3

3 = 3

2 . 3 (理)3、节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们 第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( A. 1 4 1 B. 2 3 C. 4 ) 7 D. 8

思维启迪 由几何概型的特点,利用数形结合求解.C 解析 (1)任取两个数字(可重复)共有 4×4=16(种)排列方法, 一个数字是另一个数字 4 1 的 2 倍的所有可能情况有 12、21、24、42 共 4 种,所以所求概率为 P= = . 16 4 (2)如图所示,设在通电后的 4 秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 x、y, 0≤x≤4 ? ? x、y 相互独立,由题意可知?0≤y≤4 ? ?|x-y|≤2

,所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超

1 S正方形-2S△ABC 4×4-2× ×2×2 2 12 3 过 2 秒的概率为 P(|x-y|≤2)= = = = . S正方形 4×4 16 4 热点二 相互独立事件和独立重复试验 例 3 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均 合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同 学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是 0.6、0.5、0.4,能通过面试的概率分 别是 0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (理)(2)求经过两次考试后,至少有一人被该高校预录取的概率. 思维启迪 本题主要考查相互独立事件的概率求法,(1)的关键是利用转化与化归思想,把欲求概率的事

件分解为 3 个互斥事件进行计算;(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解. 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件 A1、A2、A3;E 表示事件“恰有一人通过笔试” ,
2

则 P(E)=P(A1 A

A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A

1

A 2A3)

=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是 0.38. (2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件 A、B、C,则 P(A)=0.6×0.6=0.36,
4

P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3. 事件 F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取” . 则 F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取, 即F=A B C,

于是 P(F)=1-P( F )=1-P( A )P( B )P( C ) =1-0.64×0.7×0.7=0.686 4. 即经过两次考试后,至少有一人被预录取的概率是 0.686 4. 思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点: (1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件 还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况比较少,则一般利用对立事件进行求解.对于“至少” “至 多”等问题往往也用这种方法求解. (3)注意辨别独立重复试验的基本特征:①在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;②在每 次试验中,事件发生的概率相同. 热点三 随机变量的分布列 例 4 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; 3 (理)(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对 5 4 每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数 5 学期望. 思维启迪 (1)利用对立事件求概率;(2)计算每个 X 的值所对应的概率. 解 (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题” ,则有 A =“张同学所取的 3 道题都是甲类

题” . 因为 P( A )= C6 1 5 3 = ,所以 P(A)=1-P( A )= . C10 6 6
3

(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.

?3?0 ?2?2 1 4 0 P(X=0)=C2·? ? ·? ? · = ; ?5? ?5? 5 125 ?3?1 ?2?1 1 0?3?0 ?2?2 4 28 1 P(X=1)=C2·? ? ·? ? · +C2? ? ·? ? · = ; ?5? ?5? 5 ?5? ?5? 5 125 ?3?2 ?2?0 1 1?3?1 ?2?1 4 57 2 P(X=2)=C2·? ? ·? ? · +C2? ? ·? ? · = ; ?5? ?5? 5 ?5? ?5? 5 125
5

?3?2 ?2?0 4 36 2 P(X=3)=C2·? ? ·? ? · = . ?5? ?5? 5 125
所以 X 的分布列为 X P 所以 E(X)=0× 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125

思维升华 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路: (1)明确随机变量可能取哪些值. (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值. (3)根据分布列和期望、方差公式求解. (理)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的 小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的数学 期望 E(X)等于( A. 126 125 6 B. 5 ) 168 C. 125 7 D. 5

答案 (1)B 解析 (1)125 个小正方体中 8 个三面涂漆,36 个两面涂漆,54 个一面涂漆,27 个没有涂漆, ∴从中随机取一个正方体,涂漆面数 X 的数学期望 54 36 8 150 6 E(X)= ×1+ ×2+ ×3= = . 125 125 125 125 5 高考真题 1 .若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被 录用的概率为 ( ) A.

2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10
( C . )

【答案】D 2 .从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 A.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.

1 4

1 6

【答案】B 3 .对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长 度在区间 [20,25) 上的为一等品 , 在区间 [15,20) 和区间 [25,30) 上的为二等品 , 在区间 [10,15) 和 [30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为
6

( A.0.09 【答案】D B.0.20 C.0.25 D.0.45



(理)4.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的编号互不相 同的概率为( A. 5 21 ) 2 B. 7 1 C. 3 D. 8 21

答案 D 解析 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,有 C10=210 种不同的结果, 由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的;设事件 A 为“取出球的编号互不相同, ” 则事件 A 包含了 C5·C2·C2·C2·C2=80 个基本事件, 80 8 所以 P(A)= = . 210 21 (理)5.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回, 如果两球号码之积是 4 的倍数, 则获奖. 现有 4 人参与摸奖(每人一次), 则恰好有 3 人获奖的概率是( A. 16 625 96 B. 625 C. 624 625 4 D. 625 )
1 1 1 1 1 4

答案 B 解析 由题意得任取两球有 C6种情况, 取出两球号码之积是 4 的倍数的情况为(1,4), (2,4), (3,4), (2,6), 6 2 3 3 2 3 (4,6), (4,5)共 6 种情况, 故每人摸球一次中奖的概率为 2= , 故 4 人中有 3 人中奖的概率为 C4( ) × = C6 5 5 5 96 .故选 B. 625 第三部分 课堂练习 一、选择题 1.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两 球颜色为一白一黑的概率等于 (A)
2

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

【答案】B
7

2.设不等式组 ? 2 的概率是 (A)

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 ?0 ? y ? 2

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

【答案】D 3.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目 相同的概率是 【 答案】 (结果用最简分数表示)

2 . 3

4.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为( A. 1 8 ) 3 B. 8 5 C. 8 7 D. 8

答案 D 解析 4 名同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 2 =16(种), 其中仅在周六(周日) 1+1 7 参加的各有 1 种,∴所求概率为 1- = . 16 8 5.已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大 于 1 的概率为( A. π 4 ) π B.1- 4 π C. 8 π D.1- 8
4

答案 D 4×4×sin 150°-π ×1 π 解析 P= =1- . 4×4×sin 150° 8 (理)6.已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下, 第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率是( A. 3 10 2 B. 9 ) 7 C. 8 D. 7 9
2

答案 D 解析 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ,事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” , 3 3 7 7 则 P(A)= ,P(AB)= × = . 10 10 9 30

8

7 30 7 P AB 则所求概率为 P(B|A)= = = . P A 3 9 10 (理)7.将三个骰子各掷一次,设事件 A 为“三个骰子掷出的点数都不同” ,事件 B 为“至少有一个骰子 掷出 3 点” ,则条件概率 P(A|B),P(B|A)分别是( A. C. 60 1 , 91 2 5 60 , 18 91 1 60 B. , 2 91 D. 91 1 , 216 2 )

答案 A 解析 根据条件概率的含义,P(A|B)的含义为在 B 发生的情况下,A 发生的概率,即在“至少有一个骰子 掷出 3 点”的情况下, “三个骰子掷出的点数都不同”的概率.因为“至少有一个骰子掷出 3 点”的情况 共有 6×6×6-5×5×5=91(种), “三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个 3 点”的情况共有 C3×5×4 =60(种), 60 所以 P(A|B)= . 91 P(B|A)的含义为在 A 发生的情况下,B 发生的概率,即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下, “至少 C3×5×4 1 有一个骰子掷出 3 点”的概率,所以 P(B|A)= = ,故选 A. 6×5×4 2 (理)8.设随机变量ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ >c)=P(ξ <c-2),则 c 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 因为ξ 服从正态分布 N(2,9)即μ =2 为图象的对称轴,而 P(ξ >c)=P(ξ <c-2)即 c 与 c-2 关于 2 c+c-2 对称,则有 =2? c=3. 2 二、填空题 9.从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同学的概率等于_________. 【答案】 )
1 1

1 5
5 ,则 m ? __________. 6

10.在区间 [ ?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为

【答案】3 11.利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为_______ 【答案】

1 3

12.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.
9

【答案】

2 3

【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 13.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________. 【答案】

1 5

14.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 答案 1 2
4 1 3

解析 从 10 件产品中取 4 件,共有 C10种取法,取到 1 件次品的取法为 C3C7种,由古典概型概率计算公式 C3C7 3×35 1 得 P= 4 = = . C10 210 2 1 (理)15.随机变量ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 D(ξ )=________. 5 答案 2 5
1 3

解析 设 P(ξ =1)=a,P(ξ =2)=b, 1 ? ? +a+b=1, 则?5 ? ?a+2b=1, 3 ? ?a=5, 解得? 1 ?b=5, ?

1 3 1 2 所以 D(ξ )= + ×0+ ×1= . 5 5 5 5 三、解答题 15.一个袋子中装有 7 个小球,其中红球 4 个,编号分别为 1,2,3,4,黄球 3 个,编号分别为 2,4,6,从 袋子中任取 4 个小球(假设取到任一小球的可能性相等). (1)求取出的小球中有相同编号的概率; (理)(2)记取出的小球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为 A,编号相同可分成一个相同和两个相同.
1 1 2

2 C2C3+C3 P(A)= 4 C7

1 19 = . 35

(2)随机变量 X 的可能取值为 3,4,6. 1 1 P(X=3)= 4= , C7 35 C2C4+C4 2 P(X=4)= = , 4 C7 5 C6 4 P(X=6)= 4= . C7 7
10
3 1 3 2

所以随机变量 X 的分布列为 X P 3 1 35 4 2 5 6 4 7

1 2 4 179 所以随机变量 X 的数学期望 E(X)=3× +4× +6× = . 35 5 7 35 16.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客 的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件[来 源:学 科网] 30 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以 上

顾客数(人)

x

25

y [ 来 10
源 :Z*xx *k.Com]

结算时间(分 钟/人)

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并 估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次购物的结算时 间组成一个 总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客 一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1 , A2 , A3 分别表示事件“该顾客一次 购物的结算时间为 1 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间 为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

A ? A1

A2

A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件, A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

? P( A) ? P( A1

3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10
17.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售 出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内 的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
11

(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

【答案】

18.某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 ) 如下表所示:
2

A 身高 体重指标 1.69 19.2

B 1.73 25.1

C 1.75 18.5

D 1.79 23.3

E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的 概率 【答案】

12

19.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局 当裁判,设各局中双方获胜的概率均为

1 , 各局比赛的结果都相互独立,第1 局甲当裁判. 2

(I)求第 4 局甲当裁判的概率;(II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率. 【答案】(Ⅰ)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”,

A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”,
A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 则 A=A 1?A 2.

P( A)=P(A1 ? A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ?

1 . 4

(Ⅱ)记 B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜”,

B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果为乙胜”,

B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”,
B 表示事件“前 4 局中恰好当 1 次裁判”. 则 B ? B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 .

P(B) ? P(B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 ) ? P(B1 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 ) ? P(B1 ) ? P(B3 ) ? P(B1 ) ? P(B2 ) ? P(B3 ) ? P(B1 ) ? P(B2 )
? 1 1 1 ? ? 4 8 4 5 ? . 8

13

(理)20.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进 2 者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是 . 3 (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 解 2 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知,X~B(6, ) 3

2 k 1 6-k k P(X=k)=C6·( ) ·( ) (k=0,1,2,3,4,5,6) 3 3 X 的分布列为 X P E(X)= 0 1 729 1 12 729 2 60 729 3 160 729 4 240 729 5 192 729 6 64 729

1 2 916 (0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64)= =4. 729 729 即 X 的数学期望为 4.

2 2 或因为 X~B(6, ),所以 E(X)=6× =4. 3 3 (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,则

1 2 2 4 1 1 2 5 2 6 32 2 P(A)=C4·( ) ·( ) +C4· ·( ) +( ) = . 3 3 3 3 3 81 答 32 教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . 81

14


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