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成都外国语学校高中招生数学试题2009年


成都外国语学校 2009 年高中招生考试 数学试卷
y

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图是关于 x 的函数 y ? kx ? b?k ? 0? 的图象,则不等式 kx ? b ? 0 的解集 在数轴上可表示为()
0 2
o -1 2

y =kx+b x

A

/>
0

B

2

0 C

2

-2 -1 0 D

2.一个由若干个相同的小正方形组成的几何体的三视图如图所示, 则组成这个几何体的小正方形的 个数是()

主视图

左视图

俯视图

A. 11

B. 12

C. 9

D. 8
A F G E D

3.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 5, BC ? 8 , ?ABC , ?BCD 的角平分 线分别交 AD 于 E 和 F,BE 与 CF 交于点 G,则△EFG 与△BCG 面积之比是() A. 5:8 B. 25:64 C. 1:4 D. 1:16 各年级人数分布情况 4.某公布了反映该校各年级学生体育达标情况的两 张统计图, 该校七、 八、 九三个年级共有学生 800 人。 260 八年级 七年级 甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后,甲说: 250 33% 37% “七年级的体育达标率最高。 ”乙说: “八年级共有 235 九年级 学生 264 人。 ”丙说: “九年级的体育达标率最高。 ” 30% 甲、乙、丙三个同学中,说法正确的是() A.甲和乙及丙 B.甲和乙 C.甲和丙 D.乙和丙
B

C

七年级

八年级

九年级

5.已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的系数满足 2b ? c ? 5 ,则这条抛物线一定经过点() A. ?? 1, ? 2? B. ?? 2, ? 1? C. ?2, ? 1? D. ?? 2, 1?

6.已知⊙ O1 半径为 3cm ,⊙ O2 半径为 7cm ,若⊙ O1 和⊙ O2 的公共点不超过 1 个,则两圆的圆心距 不可能为() A. 0cm B. 4cm C. 8cm D. 12 cm 7.如图,在菱形 ABCD 中, ?A ? 100 ? ,M,N 分别是 AB,BC 的中点, MP ? CD 于 P,则 ?NPC 的度数为() A. 40°B. 50°C. 60°D. 70° n ?1 8.若 n 为整数,则能使 也为整数的 n 的个数有() n ?1 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
A

D

M P B N C

9.如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, ?DAB ? 90? ,顶点 A 的坐标是 ?0, 2? ,但 B、C、D 的坐标 分别是 ?2, 2? 、 ?1, 4? 、 ?0, 4? ,一次函数 y ? x ? t 的图象 l 随 t 的不同取值变化时,位于 l 的右下 方由 l 和梯形的边围成的图形面积为 S(阴影部分). 则能反映 S 与 t 之间的函数图像是()
s

s

s

s

D

C

o

A

t

o

B

t

o

C

t

o

A

B

D

t
O

10.已知抛物线 y ? ax2 ? 2ax ? 4?0 ? a ? 3? , A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? 是抛物线上两点,若 x1 ? x 2 , 且 x1 ? x2 ? 1 ? a ,则() A. y1 ? y2 B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D.的大小不能确定 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 11.某超市开展促销活动,凡一次性消费不超过 200 元一律按九折优惠,消费超过 200 元的,其中 200 元按九折算,超过 200 元的部分按八折算. 某消费者一次付款时发现比不搞活动时节省了 32 元,则该消费者实际付款元.

?3 ? 2 x ? 1 12.已知关于 x 的不等式组 ? 无解,则 a 的取值范围是. ?x ? a ? 0
13.从-1,1,2 这三个数中,任取两个不同的数作为一次函数 y ? ax ? b 的系数 a , b ,则一次函数
y ? ax ? b 的图象不经过第三象限的概率是.

14.以 O 为圆心的两个同心圆的半径分为 则⊙ O1 的半径是 cm .

?

3 ? 2 cm 和

?

2

?

3 ? 2 cm ,⊙ O1 与这两个圆都相切,

?

2

y

15.如图,直角梯形 OABC 的底边 OC 位于 x 轴上,腰 OA 位于 y 轴上, 点 B 的坐标为 ?10, 5? . 将△OAB 沿直线 OB 翻折,使得点 A 落在点 A'处,则点 A'的坐标为. 16. a , b 为实数,且满足 b ? a ? 0 , a 2 ? b 2 ? 4ab ,
a?b 的值等于. a?b 17.如图,在 Rt△ABC 中,D 为斜边 AB 上一点, AD ? 2 , BD ? 1 ,四边形 CEDF 为正方形, 则图中阴影部分的面积为.

A o A'

B C x



C F E

A

D

B

18. 如图,在平面直角坐标系上有个点 P?0, 1? ,点 P 第 1 次向右跳动 1 个 单位至点 P1 ?1, 1? ,紧接着第 2 次向下跳动 2 个单位至点 P2 ?1, ? 1?,第 3 次 向右跳动 1 个单位,第 4 次向上跳动 3 个单位,第 5 次又向右跳动 1 个单位, 第 6 次向下跳动 4 个单位??依此规律跳动下去,点 P 第 100 次跳动至 点 P100 的坐标是. 19.如图,点 E,F 分别为等边△ABC 的边 BC,AC 上的动点, 且 AF ? CE ,AE,BF 交于点 D, BH ? AE 于 H. 当点 E,F 在边 BC, AC 上运动时,下列结论中:① BD ? CF ;② S ?ADF : S ?AEC ? DF 2 :
1 ;④ ?HBC ? ?HAC ? 40? ;⑤当点 E,F 2 分别为边 BC,AC 的中点时,四边形 DECF 的面积最大. 其中正确结论的序号为.
B

y 3 2 1 P O -1 -2 1 P2 P1 2 P3 3 4 x P4

A F D H E C

AF 2 ;③ cos ?FBH ?

20.如图,在平面直角坐标系中有 A,B 两点,其坐标分别为 ?? 3, 0? 和 ?0, 4? ,点 P 在直线 y ? x 上,且 A,B, P 三点构成直角三角形, 则点 P 的坐标为. 三、解答题(每题 10 分,共 30 分) 21.(每小题 5 分,共 10 分)
A

y

B

O

x

27 ? 1? 2009 (1)计算: ? ? ? ? sin 60? ? tan45? ? ? ?? 1? . 3 4 ? ?
? x ? 3?x ? 1? ? 6 ? (2)解不等式组 ? 2 x ? 9 1 ,并写出该不等式组的正整数解. 1 ? ? x ? 6 3 ?
22.(10 分)先化简,再求值: ?

?2

b ? ? a2 ? b2 ? 1 ? a 2 2 ? ,其中 a ? 4ab ? 5b ? b ? ? 0 . ? 1? ??? 2 2 ? ? 4 2ab ? a ? ab ? ? ? ab ? b

23.(10 分)如图,甲、乙两捕捞船同时从 A 港出海捕鱼,甲船以每小时 15 2 千米的速度沿北偏西 60°方向前 进,乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进. 甲船航行 2 小时后到达 C 处,此时甲船发现渔具忘在乙船上 了,于是甲船调转航向,加快速度沿北偏东 75°方向快速追赶乙船(追赶速度是匀速的) ,结果两船在 B 处相遇. (1)甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间? (2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
B C

A

四、解答题(每题 10 分,共 30 分) 24.(10 分)已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,以对角线 BD 为边做正三角形 BDE,过 E 作 DA 的延长线的

垂线 EF,垂足为 F. (1)求证: EF ? AF ; (2)求 AF 之长.
E A F D

B

C

25.(10 分)杨老师珍藏了一份“08 奥运”纪念品,决定奖给班上同学. 他设计了一个摸卡片的游戏:把背面完 全相同、正面分别标有数字 1、2、3、4 的四张卡片,背面朝上洗匀后任意摸出一张,放回洗匀后再摸出一张, 两次卡片上的数字分别为 a 和 b ,若点( a , b )在以原点 O 为圆心,半径为 2 2 的圆内,则获得纪

念品. (1)用画树状图或列表的方法,求玩一次游戏能获得纪念品的概率; (2)小明与小亮两人都想获得这份纪念品,为了增加获奖机会, 闹着要杨老师改游戏规则:将⊙ O 的半径改为 13 ,如果点( a , b ) 在⊙ O 内,则小明获得纪念品,如果点( a , b )在⊙ O 外, 则小亮获得纪念品. 你认为新的游戏规则对两人公平吗?如果公平, 请说明理由;如果不公平,请说明⊙的半径在什么范围内对两人才是公平的.

y

1 O 1

x

26.(10 分)一家化工厂原来每月利润为 120 万元,从今年 1 月起安装使用回收净化设备(安装时 间不计) ,一方面改善了环境,另一方面大大降低原料成本. 据则算,使用回收净化设备后的 1 至 x 月 ?1 ? x ? 12? 的利润的月平均值 w (万元)满足 w ? 10 x ? 90 ,第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 月的水平. (1)设使用回收净化设备后的 1 至 x 月 ?1 ? x ? 12? 的利润和为 y (万元),写出 y 关于 x 的函数关系 式,并求前几个月的利润和恰为 700 万元? (2)当 x 为何值时,使用回收净化设备后的 1 至 x 月 ?1 ? x ? 12? 的利润和与不安装回收净化设备时

x 个月的利润和相等?
(3)求使用回收净化设备后两年的利润总和. 五、解答题(每题 10 分,共 30 分) 27.(10 分)如图,直线 y ? ? x ? 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于 B,A 两点,E,F 是线段 AB 上的两个 动点(点 E 比 F 更靠近点 A) ,且满足 ?EOF ? 45? . (1)求证:△ AOF ∽△ BEO ; (2) 作 EM ? OA 于 M,FN ? OB 于 N, ME, NF 的延长线交于点 P , 求过点 P 的双曲线的解析式; ( 3 ) 求 线 段 EF 的 最 小 值 . ( 提 示 : 必 要 时 可 以 参 考 以 下 公 式 : 当 x ? 0 , y ? 0 时 ,
x? y ?

?

x? y

?

2

1 ? 1 ? ? 2 xy 或 x ? ? ? x? ? ? ? ? 2) x ? x?

2

y

A M E P F O N B x

28.(10 分)已知:AB 是半圆 O 的直径,点 C 在 BA 的延长线上运动(点 C 与点 A 不重合) ,以 OC 为直径的半圆 M 与半圆 O 交于点 D, ?DCB 的平分线与半圆 M 交于点 E. (1)求证:CD 是半圆 O 的切线(图 1) ; (2)作 EF ? AB 于点 F(图 2) ,猜想 EF 与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明; (3) 在 (2 ) 的条件下, 过点 E 作 CB 的平行线交 CD 于点 N, 当 NA 与半圆 O 相切时 (图 3) , 求 ?EOC 的正切值.
D E C M 图1 A O B C
M 图2 A D E FO B C
AM 图3 D N E F O B

29.(10 分)如图,已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,D 为 OC 的中点,直线 AD 交抛物线于点 E?2, 6? ,且△ABE 与△ABC 的面积之比为 3:2. (1)求该抛物线的解析式; (2)设 BC 与直线 AD 交于点 M,点 N 在直线 AD 上(不与点 M 重合) ,且使得以 A,B,N 为顶点 的三角形与△ABM 相似,求点 N 的坐标; (3)过点 O 作 CB 的平行线 l ,点 P 事直线 l 上的一个动点,在对称轴右侧的该抛物线上是否存在 点 Q,使得四边形 COPQ 为直角梯形?若存在,请求出 P ,Q 两点的坐标;若不存在,请说明理由.
y E C D A O B x

M


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