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山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学(理)试卷


启用前绝密

山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练

理 科 数 学试题
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟。 满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科

类写在答 题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:统计中 ? 的公式: ? ?
2
2

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 ,其中 n?1 ? n11 ? n21 , n?2 ? n12 ? n22 , n1? n2? n?1n?2

n1? ? n11 ? n12 , n2? ? n21 ? n22 , n ? n11 ? n21 ? n12 ? n22
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? {x log 2 x ? 2} ,则 A ? B ? A. (?1,3) 2. 若复数 A. ? 2 B. (0, 4) C . (0,3) D. (?1, 4)

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i B. 4 C .?6 D. 6

3. 函数 y ? 2 sin(

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

2

? 2 x) 是

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为
·1·

?

2

的偶函数

4. 等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?12 , S13 ? 0 ,使得 an ? 0 的最小正整数 n 为 A.7 B.8 C .9 D.10 5. 为了解疾病 A 是否与性别有关, 在一医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 20 5 25 男 10 15 25 女 30 20 50 合计 请计算出统计量 ? ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关 下面的临界值表供参考:
2

A. 95%

P( ? 2 ? k ) k B. 99%

0.05

0.010

0.005

0.001 10.828 D. 99.9%

3.841 6.635 7.879 C. 99.5%

6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 asinA+csinC- 2 asinC=bsinB.

则 ?B ? ? A. 6

B.

?
4

C.

?
3

D.

3? 4

7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节课,数学 不排在第四节课,则这天课表的不同排法种数为 A. 600 B. 288 C. 480 D. 504 8. 设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是 ... A.当 m ? ? 时,“ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时,“ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 9. 函数 y ? x 2 ?

ln | x | 的图象大致为 x

开始 输入 a , b

a?b




S?b
·2· 输出 S 结束

S?a

10.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如图 所示. 设 f ( x) ? 1 ? x . f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为. A -2 B -1 C 0 D 2 11. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为 A C

?

1 5 6 ? 5

B

1 5
D

6 5

12. 若椭圆 C1 :

? 2 ? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 : 2 ? 2 ? 1 ( a 2 ? b2 ? 0 ) 2 a1 b1 a2 b2 的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: a1 b1 ? ; ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点; ② a2 b2
2 2 2 2

x2

y2

x2

y2

③ a1 ? a 2 ? b1 ? b2 ; 其中,所有正确结论的序号是 A ①③ B①③④ C ①②④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . D ②③④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

?x ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? y ? 0 表示平面区域为 ? ,在区域 ? 内任取一点 P ? x, y ? , ?x ? y ? 0 ?
则 P 点的坐标满足不等式 x ? y ? 2 的概率为
2 2

. . .

14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 15. 设 则二项式 ? x ? ? ? (2x ? 1)dx , x? ?
0 2

?

a?

4

的展开式中的常数项为

16.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 a 2 b2

的直线与双曲线的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的 离心率为 .

·3·

16 题图

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4sin ? x cos ? ? x ? 为? . ⑴求 f (x) 的解析式; (2)求 f (x) 在区间 ??

? ?

??

? ? 3 ?? ? 0 ? 的最小正周期 3?

? ? ?? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ? 4 6? ?
an . 3n

18(本题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 3n (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ? (1)证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

19. (本题满分 12 分) 某企业计划投资 A,B 两个项目, 根据市场分析,A,B 两个项目的利润率分 别为随机变量 X1 和 X2,X1 和 X2 的分布列分别为: X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(1)若在 A,B 两个项目上各投资 1000 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求 利润的期望 E ?Y1 ? , E ?Y2 ? 和方差 D ?Y1 ? , D ?Y2 ? ; (2)由于资金限制,企业只能将 x(0≤x≤1000)万元投资 A 项目,1000-x 万元投资 B 项目,f(x)表示 投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出 x 为何 值时,f(x)取到最小值. 20. (本题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 是菱形, BAD ? 600 ? 四边形 BDEF 是矩形 , 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,G、H 分 别是 CE、CF 的中点. (1)求证 : 平面 AEF / / 平面 BDGH (2)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 600 , 求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值 20 题图

21. (本题满分 12 分)设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) 是抛物线
·4·

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上相异两点, Q、P 到 y 轴的距离的积为 4 且 OP ?OQ ? 0 .
(1)求该抛物线的标准方程. (2)过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 x 轴交点为 T,且 Q 为线段 RT 的中点,试求弦 PR 长度的最小值. 22.( 本 题 满 分 14 分 ) 设 f ( x) ?

( x ? a ) ln x , 曲 线 y ? f (x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x ?1

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直.
(1)求 a 的值; (2) 若 ?x ? [1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (3)求证: ln 4 2n ? 1 ?

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

·5·

2013.4 济南市高三理科数学参考答案
一、选择题: :(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 .

?
8

14.

16 ? 4? 3

15. 24

16.

13

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.解

? ?? ? f ? x ? ? 4sin ? x ? cos ? x cos ? sin ? x sin ? ? 3 ----------------------------1 分 3 3? ?
? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ? sin 2? x ? 3 cos 2? x
-----------------------------------------------------------3 分 -----------------------------------------------------4 分 -----------------------------------------5 分 ---------------------------------------------------------6 分

?? ? ? 2sin ? 2? x ? ? 3? ? 2? ?T ? ? ? ,?? ? 1 2? ?? ? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 3? ?
(2)? ?

?

??

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,即 ?1 ? f ? x ? ? 2 ,-------------------9 分 2 3? ?

4

?x?

?

6

,??

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? 3

当 2x ? 当 2x ?

?

?

3

??

?

3

?

?
2

6

,即 x ? ?

?

,即x ?

?
12

4

时, f ? x ?min ? ?1 , ---------------------------------12 分

时, f ? x ?max ? 2 .

18.解(1)证明:由 bn ? ∴ bn ?1 ? bn ?

an an ?1 ,得 bn ?1 ? n ?1 , n 3 3
---------------------2 分

an ?1 an 1 ? ? 3n ?1 3n 3

所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为

1 -----------4 分 3

·6·

∴ bn ? 1 ?

1 n?2 (n ? 1) ? 3 3

------------------------6 分 -------------------------7 分

(2) an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n ?1

? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ? 1 ? 4 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 3n?1 ----①
? 3S n ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? (n ? 2) ? 3n -------------------②----------9 分
①-②得 ? 2 S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n
? 3n ? 3 ? (n ? 2) ? 3n -----------------------------------11 分 2

3n ? 3 (n ? 2)3n ------------------------------------------12 分 ? Sn ? ? ? 4 2
19. 解: (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 Y1 P 50 0.8 100 0.2 Y2 P 20 0.2 80 0.5 120 0.3 --------------2 分 E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60,----------------------------------3 分 D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400,------------------------4 分 E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80,---------------------------------------5 分 D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1200.-------------------6 分 (2) f ? x ? ? D ? =
2 ? x ? ? 1000 ? x ? 1 ? 2 Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 6 x D ?Y1 ? ? ?1000 ? x ? D ?Y2 ? ? ? ? 1000 ? ? 1000 ? 10 ?

4 4 [x2+3(1000-x)2]= 4 (4x2-6000x+3×106).--------------------------------10 分 4 10 10 6000 ? 750 时,f(x)=300 为最小值.-------------------------------12 分 2? 4

当x?

20. 解: (1) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / / GH ------------① ---------------1 分 连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 O 是 AC 的中点
·7·

连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 --------------3 分 OG / / AE ---------② 由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH --------------4 分 (2) BF ? BD, 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 BF ? 平面 ABCD ----------------------------5 分 取 EF 的中点 N , ON / / BF ? ON ? 平面 ABCD , 建系 {OB,OC ,ON } 设 AB ? 2,BF ? t , 则 B ?1, 0 ? , C 0,3, 0 , F ?1, t ? 0, 0,

??? ???? ???? ?

?

?

?1 3 t ? -----------------------------------------------------------6 分 H? , ?2 2 ,2? ? ? ? ?? ??? ? ???? ? 1 3 t ? OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? , , ? 设平面 BDGH 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ?2 2 2? ? ? ?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ?? ? ,所以 n1 ? 0, ?t , 3 ? ?? ???? 1 3 t y? z ?0 ?n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0, 0,1? ---------------------------9 分

?

?

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|?

3 3?t
2

?

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ?

??? ?

?

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

-------------------------------10 分

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?
21. 解: (1)∵

6 3 3 13 -------------------------------12 分 ? 13 13 ? 2 3

→ → OP ·OQ =0,则 x1x2+y1y2=0,--------------------------1 分

又 P、Q 在抛物线上,故 y12=2px1,y22=2px2,故得 y12 y22 · +y1y2=0, y1y2=-4p2 2p 2p

?| x1 x2 |?

( y1 y2 ) 2 ? 4 p 2 --------------------------3 分 4 p2

又|x1x2|=4,故得 4p2=4,p=1. 所以抛物线的方程为: y ? 2 x -------------4 分
2

(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 x=my+a 联立方程组 ?

? x ? my ? a 2 ? y ? 2x

消去 x 得 y2-2my-2a=0
·8·



? y1 ? y2 ? 2m ? ? y1 y2 ? ?2a

① --------------------------------6 分

设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0),则可设直线 PR 方程为 x=ny+b,并设 R(x3,y3), 同理可知,

? y1 ? y3 ? 2n ? ? y1 y3 ? ?2b
由① 、② 可得



--------------------------7 分

y3 b ? y2 a

由题意,Q 为线段 RT 的中点,∴ y3=2y2,∴ b=2a 分 又由(Ⅰ )知, y1y2=-4,代入① ,可得 -2a=-4 ∴ a=2.故 b=4.-----------------------9 分 ∴ y1 y3 ? ?8 ∴| PR |? 1 ? n | y1 ? y3 |? 1 ? n ? ( y1 ? y3 ) ? 4 y1 y3
2 2 2

? 2 1 ? n2 ? n2 ? 8 ? 4 2 .
当 n=0,即直线 PQ 垂直于 x 轴时|PR|取最小值 4 2 --------------------12 分

22.

x?a ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? a ) ln x x 解:(1) f ?( x) ? -----------------------2 分 ( x ? 1) 2 (
1 (1 ? a )2 1 ,? ? 2 4 2 ?1 ? a ? 1 ,? a ? 0 . -------------------------------4 分 1 x ln x (2) f ( x) ? , ?x ? (1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) x ?1 x 1 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? (1,??), g ( x) ? 0 . x
由题设 f ?(1) ?

g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m ? m(1 ? 2 ) ? -------------------------------------6 分 x x x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾.---------- -------8 分 ②若 m ? 0 方程 ? mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m 2
·9·

当 ? ? 0 ,即 m ? 立. 当0? m ?

1 时, g ?( x) ? 0 .? g (x) 在 (0,??) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成 2

----------------------------------------------------------------------9 分

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 0 , x1 ? ? 1 ,当 时,方程 ? mx 2 ? x ? m ? 0 ,其根 x1 ? 2m 2m 2

x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g (x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾.
1 .------------------------------------------------------------------------10 分 2 1? 1? 1 (3) 由(2)知,当 x ? 1 时, m ? 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 2 2? x? 2k ? 1 不妨令 x ? ,k ? N* 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k 所以 ln , ? ? ? ?? 2 2k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k ? 1 1 k [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? 2 , k ? N * ----------------------11 分 4 4k ? 1
综上所述, m ?

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? 2 ? 4 4 ?1 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? n ? 1 ln 2n ? 1 ? ln 2n ? 1 ? , ? ? ?? ? ? ?4 4 ? n2 ? 1 ?
累加可得
n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 .(n ? N * ). 4 i ?1 4i ? 1

---------------------12 分

ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1

n

i 4i ? 1
2

.(n ? N * ). ------------------------14 分

·10·


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