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专题七:抽象函数常见题型解法综述


专题:抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形 式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:

题型一、定义域问题
例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。

2 2 解: f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],是指 1 ? x ? 2 ,所以 f ( x 2 ) 中的 x 满足 1 ? x ? 4

从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析:一般地,已知函数 f (? ( x)) 的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于已知 f (? ( x)) 中 x 的取值范 围为 A,据此求 ? ( x) 的值域问题。

,2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。 例 2. 已知函数 f ( x) 的定义域是 [?1
2

,2] ,意思是凡被 f 作用的对象都在 [?1,2] 中, 解: f ( x) 的定义域是 [?1

由此可得 ? 1 ? log 1 (3 ? x) ? 2 ? ( ) ? 3 ? x ? ( )
2 2

1 2

1 2

?1

?1? x ?

11 4

所以函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域是 [1,
2

11 ] 4

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 f (? ( x)) 的定义域。正确理解函数符号 及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 ? ( x) 的值域 B,且 B ? A ,据此求 x 的取值 范围。例 2 和例 1 形式上正相反。 练习一 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为 2.已知函数 f ?log3 x? 的定义域为[3,11],求函数 f(x)的定义域 。? 1, log3 11? 。

题型二、求值问题(赋值法)
? 例 3. 已知定义域为 R 的函数 f(x),同时满足下列条件:① f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 ;② f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 5

求 f(3),f(9)的值。 解:取 x ? 2,y ? 3 ,得 f (6) ? f (2) ? f (3) 因为 f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 4 ,所以 f (3) ? ? 5 5
1

又取 x ? y ? 3 ,得 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ?

8 5

1 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 x ? 2,y ? 3 ,这样便把已知条件 f ( 2) ? 1,f (6) ? 与 5
欲求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 1.对任意整数 x, y 函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1,若 f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? A.-1 B.1 C. 19 D. 43 )

2.函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =( A . 2005 B. 2 C.1 D.0

★题型三、值域问题(指数函数模型)
例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立,且存在 x1 ? x 2 ,使 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。 解:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 ,即有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。 若 f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 ,对任意 x ? R 均成立,这与存在实数 x1 ? x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。 由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意 x、y ? R 均成立,因此,对任意 x ? R , 有 f ( x) ? f (

x x x x x ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )] 2 ? 0 2 2 2 2 2

下面来证明,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (0) ? f ( x0 ? x0 ) ? f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0 这与上面已证的 f (0) ? 0 矛盾,因此,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。

题型四、解析式问题
f ( x) ? f ( x ?1 ) ? 1? x x ,求 f(x)的解析式。

例 5. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x,函数 f ( x) 满足 解:在 f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x

(1) (2)

(1)中以

x ?1 x ?1 1 2x ? 1 ) ? f (? )? 代换其中 x,得: f ( x x x ?1 x

2

再在(1)中以 ?

1 1 x?2 ) ? f ( x) ? 代换 x,得 f (? x ?1 x ?1 x ?1

(3)

x3 ? x2 ?1 (1) ? (2) ? (3) 化简得: f ( x) ? 2 x( x ? 1)
评析:如果把 x 和

x ?1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下, x

给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。

题型五、单调性问题(指数函数模型)
例 6. 设 f(x)是定义在 R 上的函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x、y,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 求证: f ( x) 在 R 上为增函数。 证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0,y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾,所以 f (0) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0,f (? x) ? 1 ? 0 ,

而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1 ,所以 f ( x) ?

1 ?0 f ( ? x)

又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0 ,所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x 2 ? x1 ? 0,f ( x 2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ,所以 y ? f ( x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合 都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

题型六、奇偶性问题
例 7. 已知函数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1、x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函 数 f(x)的奇偶性。 解:取 x1 ? ?1 ,x2 ? 1 得: f (?1) ? f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x1 ? x2 ? ?1 得: f (1) ? f (?1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 0 再取 x1 ? x,x2 ? ?1则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) 因为 f ( x) 为非零函数,所以 f ( x) 为偶函数。
3

题型七、对称性问题
例 8. 已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f
?1

( x) ? f ?1 (2002? x) 的值。

解:已知式即在对称关系式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 中取 a ? 0,b ? 2002 ,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 y ? f 所以 f
?1 ?1

( x) 的图象关于点(2002,0)对称。

( x ? 1001 ) ? f ?1 (1001? x) ? 0
?1

将上式中的 x 用 x ? 1001 代换,得 f

( x) ? f ?1 (2002? x) ? 0

评析: 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题, 在解题中使用了下述命题: 设 a、 b 均为常数, 函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

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