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2.1.2

时间:2012-11-29


复习
判断下列命题对错: 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这 条直线上的所有点都在这个平面内。( ? ) 2.将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 (?) 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么 这四个点必在同一个平面内。 (? ) 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。( ? ) 5.如果一条直线和另两条直线都相交,那

么这三 条直线可以确定一个平面。 ( ?)

观察实例
复习:平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线

a o b

a b
平行直线 (无公共点)

相交直线 (有一个公共点)

D
B

A
两路相交

C

立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD

既不平行,又不相交

1.异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

3.异面直线的判定方法: (1)定义法:由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法) (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点 的直线,和平面内不经过该点的直线是异 面直线

·
A

已知: a

? ? , A ?? , B ?? , B ? a

?

a

B

求证: 直线AB和a是异面直线

在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?
D1 A1 B1 C1

D A

C

B

练习:
1、一条直线与两条异面直线中的一条相交, 那么它与另一条之间的位置关系是( D)
A、平行 B、相交 C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面 2、两条异面直线指的是( D) A、没有公共点的两条直线 B、分别位于两个不同平面的两条直线 C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D、不同在任何一个平面内的两条直线

探究 如图是一个正方体的表面展开 图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD ,EF,GH这四条线段所在直线是异面直 线的有多少对?
C G D H A B H G C E A B D

F

E F

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

b c d e a

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …

平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b ? 即:a、b、c为直线,则 ? ? a // c c//b ? 注:
1.直线a,b,c 两两平行,可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质,叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法:
(1) 定义法:一要证两直线在同一平面内;二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法

例2 如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理,FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形 EFGH是什么图形?

H

在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的

两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结
论是否仍然成立呢?

B'

B

A'
A

C' C

AB // A' B' , AC // A' C' ? ?BAC ? ?B' A' C'

?BAC ? ?B A C ? 180
' ' '

?

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B

E

C

A1

D1 E1 C1

B1

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同,那么这两个角相等.

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点O, 如图所示,a,b是两条异面直线, 任选
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成

的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角. 平 b′ b 移 θ a′ ? O P O a a′

为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。

b

a?b
a
?

a'

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围 0 ? ? ? 90
o

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.

注2:异面直线所成角的取值范围: 0? ? ? ? 90 ? 注3:求异面直线所所成角的步骤: 一作、二证、三求解
O a’ a b

α

典例剖析
例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直?

D1 A1 D B1

C1

C
B

A

例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小;45? 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小; ? 法 60 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90?
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角. G

O

小结:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解

典例赏析


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