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河北省衡水市冀州中学2016届高三下学期保温考试(一)数学(文)试题B


绝密★启用前

冀州中学 2016 届保温考试(一) 文科数学试卷

B卷

全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.已知集合 ?

? x lg ? x ? 1? ? 0 , ? ? x ?1 ? x ? 3 ,则 A ? B =( A. ? ?1,3? B. ?1, 2? C. ?1,3? ) 2. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 32 ,则 a3 ? ( A. 4 2 3. 复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? A. ?1 ? i 4. 已知点 ? 2, 0 到双曲线 曲线的离心率为( A. ) B. 2 C. B. 2 C. ) C. 1+i D. ?1+i

?

?

?

?

) D. ? ?1, 2?

32 5

D.

5 32

3 ? i ,则 z ? (
B. 1 ? i
2 2

?

?

x y 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线的距离为 ,则该双 2 a b 5
5 ?1
) D.

5 2

10 3

5. 已知函数 f ? x ? ? ?

?log 1 x, x ? 0 ? 2 ? ?3 , x ? 0
x

,则 f ? ? f ? 4 ?? ? 的值为( C. ? 9

A.

1 9

B. 9

D. ?

1 9

? ,且| a |=2,| b |=1,则向量 a 与向量 a +2 b 的夹角等于( ) 3 5? ? ? ? A. B. C. D. 6 2 6 3 ?? ? 7. 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ( x ? R ),下面结论错误的是( ) 2? ? ? ?? A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上是增函数 ? 2? C.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ? x ? 是奇函数
6. 已知向量 a , b 的夹角为 8. 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面 体的三视图(两个矩形,一个直角三角形) ,则这个几何体可能为 ( ) A.三棱柱 B.三棱台 C.四棱柱 D.四棱锥
页 1第

9. 若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( A. 2 B. 3 C. log2 7 D. 2log2 3



10. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , ? 、 ? 为抛物线上两点,若

AF ? 3FB , ? 为坐标原点,则 ???? 的面积为(
A.



2 3 4 3 D. 3 3 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 11. 已知向量 a ? ( x, y) ,若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则| a |的最大 ?x ? 3 ?
B. C. 值是( A. 43 ) B.

3 3

8 3 3

73

C.

5 2 2

D. 3 2

12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+ f ?( x ) <e,f(0)=e+2(其中 e 为自然对数的 底数) 。则不 等式 e x f ( x) > e
x+1

+2 的解集为(

) B. (-∞,e+2) D. (-∞,0)

A. (0,+∞) C. (-∞,0)∪(e+2,+∞)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13. 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3, x ?[?4, 4] ,任取一点 x0 ?[?4, 4],则 f ( x0 ) ? 0 的概率 为 14. 已知 .

1 4 ? ? 1 ,且 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b 的最小值为 . a b 1 3 2 15. 正项等比数列 ?an ? 中, a1 , a4031 是函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 6 x ? 3 的极值点,则 3 . log 6 a2016 ?
16. 正四棱锥 ? ? ??CD 的体积为 表面积是 .

3 2 ,底面边长为 3 ,则正四棱锥 ? ? ??CD 的内切球的 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2 cos -sin(C-A)· sinA+cos(B+C)= (Ⅰ)求 sinC; (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值.
2

C-A · cosA 2

1 , c =2 2 . 3

18.(本小题满分 12 分)为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下: 未发病


发病

合计
2第

未注射疫苗 注射疫苗 合计

20 30 50

y 50

x

A B 100

现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为 (1)求 2 ? 2 列联表中的数据 x , y , A , B 的值; (2)绘制发病率的条形统计图,并判 断疫苗是否有效? (3)能够有多大把握认为疫苗有效? 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -

2 . 5

O

未注射

注射
2 2

n ? ad ? bc ? 附: ? ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
? ?? 2 ? ? 0 ?
0.05
3.841

0.01
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

?0

19.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,

? , F 分别为 ??1 , ?1C1 的中点. (1)求证: ?F// 平面 ?1?C ; (2)若 AB ? AC ? AA1 ? 1 ,求点 ? 到平面 ?1?C 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,e ? , 其中 F 是椭圆的右焦点, 焦距为 2 , 2 2 a b 1 直线 l 与椭圆 C 交于点 ? 、 ? ,点 ? , ? 的中点横坐标为 ,且 AF ? ? FB 4 (其中 ? ? 1 ) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求实数 ? 的值.
3第



21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? bx ? c , f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 4 ? 0. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若在区间 ? ,5? 内,恒有 f ( x) ? x2 ? ln x ? kx 成立,求 k 的取值范围. 2 请考生在第 23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

?1 ?

? ?

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (1)求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程;

点 ? 是曲线 ? ? 2 ( 0 ? ? ? ? )上的动点, ? ? 2,0? , ?? 的中点为 Q .

(2)若 C 上点 ? 处的切线斜率的取值范围是 ? ? 3, ?

? ?

3? ? ,求点 ? 横坐标的取值范围. 3 ?

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 . (1)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 4? ? 8 ; (2)若 a ? 1 , b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f ? ab ? ? a f ?

?b? ?. ?a?

文科数学答案
一、A 卷 DAACCD DBCCAA B 卷 BCCDAC DABDBD

1. 【答案】D【解析】∵ 0 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? x ? 2 ,∴ ? ? ?1,2? ,∴ ? ? ? ? ?1,2? ,故选 D. 2.【答案】A 【解析】∵ S5 ?
Z

5 ? a1 ? a5 ? 5 ? 2a3 32 ? ? 5a3 ? 32 ,∴ a3 ? ,故选 A. 5 2 2
3 ?i ?

3. 【 答 案 】 A 【 解 析 】 ∵ ?1 ? i ? z ? ∴ z ? 1 ? i ,故选 A. 4.【答案】C

? 3?

2

? ? ?1? ? 2 , ∴ z ?
2

2 ?1 ? i ? 2 ? ? 1? i , 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

5. 【答案】 C【解析】 f ? 4? ? log 1 4 ? ?2 ,∴ f ? ? f ? 4?? ? ? f ? ?2 ? ? 3
2
?2

?

1 ,故选 C. 9
?

6. 【答案】 D 【解析】 设向量 a 与向量 a ? 2b 的夹角等于 ? , ∵向量 a ,b 的夹角为 ∴ a ? a ? 2b ? a ? 2a ? b ? 4 ? 2 ? 2 ? 1? cos


?

?

?

?

?

??

?

?

?2

? ?

?
3

? ? ? , 且 a ? 2 ,b ? 1, 3

?6,
4第

?2 ? ? ? a ? 2b ? a ? 2b

?

?

2

? a? ∴ cos ? ? ? a
7.【答案】D

? ? 2b ? ?a ? ? ? a ? 2b

?

? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? 4a ? b ? 4b 2 ? 4 ? 4 ? 2 ?1? cos ? 4 ?1 ? 12 ,∴ a ? 2b ? 2 3 , 3

? 6 3 ,∵ ? ??0, ? ? ,∴ ? ? ,故选 D. ? 6 2 2? 2 3

【解析】 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

2? ?? ? ? 2? ,A ? ? ? sin ? ? x ? ? ? cos x ,∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? ? 2? 1 ?2 ?

? 正确;∵ y ? cos x 在 ? 0, ?

??
2?

? 上是减函数,∴ f ? x ? ? ? cos x 在 ?0,

? ?? 上是增函数,B 正确;由图象知 ? 2? ?

f ? x ? ? ? cos x 的图象关于直线 x ? 0 对称,C 正确; f ? x ? ? ? cos x 是偶函数,D 错误.故选 D.
8.【答案】B【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示,∴这个几何体是一个三棱 柱,故选 B. 9.【答案】C

10.【答案】C【解析】 (解法一)如图所示,根据抛物线的定义,不难求出, ?? ? 2 ?? ,由抛物线的对 称性,不妨设直线的斜率为正,∴直线 ?? 的倾斜角为 60 ,直线 ?? 的方程为 y ? 3 ? x ? 1? ,联立直线
?

? ? y ? 3 ? x ? 1? ?? 与 抛 物 线 的 方 程 可 得 : ? , 解 之 得 : ? 3, 2 2 ? ? y ? 4x

?

1 2 3 ? 3, ? ? ? 3,? 3 ? ? , ? ?

?

?

2 2 3? ? 1? ? ∴ ?? ? ? 3 ? ? ? ? 2 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? ?

2

?

16 3 , 而 原 点 到 直 线 ?? 的 距 离 为 d ? , 3 2

∴ S?AOB ?

1 4 3 ,故选 C. ? AB ? d ? 2 3



5第

(解法二)如图所示,设 ?F ? m ,则 AD ? AF ? 3m , AG ? ∴m ?

3m ,又 AD ? AG ? 2 OF ? 2 , 2

4 1 4 3 8 3 ,又 CD ? BE ? ,∴ S?AOB ? ? OF ? CD ? ,故选 C. 3 2 3 3

11.【答案】A

12. 【答案】A 13.【答案】

3 ? ? ?1? 1 1 2 【解析】由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率是 ? . 2 4 ? ? ?4? 2

14.【答案】 9

2 15. 【解析】 f ? ? x ? ? x ? 8x ? 6 , ∵ a1 ,a4031 是函数 f ? x ? ?
2 又∵正项等比数列 ?an ? ,∴ a2016 ? a1 ? a4031 ? 6 ,∴ log

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点, ∴ a1 ? a4031 ? 6 , 3
6

6

a2016 ? log

6 ?1.

16. 【 答 案 】 4 ? 7 ? 【 解 析 】 正 四 棱 锥 ? ? ??CD 的 体 积 V ?
2 2

?

?

1 1 3 2 Sh ? ? 3 ? 3 ? h ? , 3 3 2

?3 2 ? ? 3? 3 2 21 ∴h? ,∴斜高为 ? ,设正四棱锥 ? ? ??CD 的内切球的半径为 r ,则 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?
1 ? 1 21 ? 3 2 ?? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? ?r ? ,∴ r ? ? ? ? 3 ? 2 2 ? 2
表面积为 4? r ? 4 ? 7 ? .
2

2

?

7 ?1 4

? ,∴正四棱锥 ? ? ??CD 的内切球的

?

?



6第

17.解: (I)由 2 cos 2

C?A 1 ? cos A ? sin ?C ? A? ? sin A ? cos ?B ? C ? ? ,得 2 3 1 cos ? C ? A ? ? cos A ? sin ? C ? A ? ? sin A ? cos C ? . ……………………4分 3

即 sin C ?

2 2 . 3

……………………6分

2 4 (Ⅱ)由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,得 8 ? a 2 ? b 2 ? ab ? ab .……9分 3 3

当且仅当a=b时取等,即 ab ? 6 ,所以 S ?ABC ? 所以 ?ABC 面积的最大值为 2 2 .
? ? ?? ?

1 2 ab sin C ? ab ? 2 2 . 2 3 ……………………12分

18. 【 解 析 】 (1)设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件 ? ,由已知得

y ? 30 2 ? ,所以 y ? 10 , ? ? 40 , x ? 40 , ? ? 60 .…………………5 分 100 5 40 2 ? ,注射疫苗发病率为 (2)未注射疫苗发病率为 60 3 10 1 ? . 40 4
发病率的条形统计图如图所示,…………………7 分 由图可以看出疫苗有效.…………………8 分 (3) ? 2 ?

100 ? 20 ?10 ? 30 ? 40? …………………9 分 50 ? 50 ? 40 ? 60
2

?

1000000 50 ? ? 16.67 ? 10.828 .…………………11 分 50 ? 20 ? 60 3

所以有 99.9 %的把握认为疫苗有效. …………………12 分 19.

(2)连结 ? C , ?1? ,则 VE?A1BC ? VC?A1EB ∵ AB ? AC ? AA1 ? 1 , AB ? AC , E 是 BB1 的中点, ∴ VC? A1EB ?


1 1 S?A1EB ? CD ? ,…………………9 分 3 12
7第

设点 E 到平面 A1BC 的距离为 h ,∴ ?A1BC 是边长为 2 的正三角形, S ?A1BC ?

3 , 2

∴ VE ?A1BC ? 20.【答案】

1 3 3h 1 3 3 ∴点 E 到平面 A1BC 的距离为 .……12 分 ? h? ? ? ,∴ h ? 3 2 6 12 6 6

(2)由 ?F ? ? F? ,可知 ? , ? , F 三点共线,设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 若直线 ?? ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 1,不合题意. 当 ?? 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设方程为 y ? k ? x ?1? .

??? ?

??? ?

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 .① ?1 ? ? ?4 3
4 2 2 2 由①的判别式 ? ? 64k ? 4 4k ? 3 4k ? 12 ? 144 k ? 1 ? 0 .

?

??

?

?

?

因为 x1 ? x2 ?

8k 2 …………………7 分 4k 2 ? 3
1 8k 2 1 ? ,所以 k 2 ? .…………………8 分 2 4 4k ? 3 2

所以 x1 ? x2 ?

将k ?
2

1 1? 3 5 2 代入方程①,得 4 x ? 2 x ?11 ? 0 ,解得 x ? .…………………10 分 4 4

又因为 ?F ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , F? ? ? x2 ? 1, y2 ? , ?F ? ? F? ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??
21.

1 ? x1 3? 5 ,解得 ? ? .…………………12 分 2 x2 ? 1



8第

(3)由在区间 ? ,5? 内 f ( x) ? x ? ln x ? kx 得: 2
2

?1 ?

? ?

ln x ? 2 x ? 3 ? x2 ? ln x ? kx ,? k ? ? x ? 2 ?
设 g ( x) ? ? x ? 2 ?

3 …………………8 分 x

3 3 , g ?( x) ? ?1 ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 (负值舍去) . x x

令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 故当 x ? ( , 3) 时, g ( x) 单调递增,当 x ? ( 3,5) 时, g ( x) 单调递减, 从而 g ( x) 的最小值只能在区间 ? ,5? 的端点处取得…………………10 分 2

1 2

?1 ?

? ?

3 38 17 1 1 17 g ( ) ? ? ? 2 ? 6 ? ? , g (5) ? ?5 ? 2 ? ? ? , ∴ [ g ( x)]min ? ? . 2 5 5 2 2 2
所以 k ? ? 23. 试题解析: (1)由 ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? ,得 x ? y ? 4 ? y ? 0? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x, y ? ,
2 2

17 17 ? ? ,即 k 的取值范围为 ? ??, ? ? .…………………12 分 2 2? ?

则x?

x1 ? 2 y , y ? 1 ,即 x1 ? 2 x ? 2, y1 ? 2 y ,代入 x12 ? y12 ? 4 ? y ? 0? , 2 2
2 2 2

2 得 ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? ? 4 ,∴ ? x ? 1? ? y ? 1 ? y ? 0 ? ;……………5 分

(Ⅱ)轨迹 C 是一个以 ?1,0 ? 为圆心, 1 半径的半圆,如图所示, 设 M ?1 ? cos ?,sin ? ? ,设点 M 处切线 l 的倾斜角为 ? 由 l 斜率范围
页 9第

? 2? 5? ? ? ? 3? 3 2? 3 ?? ? ,而 ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,∴ ? 1 ? cos ? ? , ? ? 3, ? ? ,可得 3 6 2 6 3 3 2 2 ? ?
所以,点 M 横坐标的取值范围是 ? ,

?3 2? 3 ? ? .…………………10 分 2 ? ?2

24.

(2) f ? ab ? ? a f ?

?b? ? ,即 ab ?1 ? a ? b . ?a?
2 2

因为 a ? 1 , b ? 1,所以 ab ? 1 ? a ? b ? a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b
2 2 2

?

? ?

2

? ? ?a

2

? 1?? b 2 ? 1? ? 0 ,

所以 ab ?1 ? a ? b ,故所证不等式成立.…………………10 分



10 第


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