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§2.2 函数的单调性与最值

时间:2015-08-13


§ 2.2

函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区 间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函

数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是减函数

图象描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( x ) 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; (3)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值 自左向右看图象是下降的

(2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函 数.( )

(3)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( ) (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( (5)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是(0,+∞).( ) )

1-x2 (6)函数 y= 的最大值为 1.( 1+x2

)

1.(2014· 北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 C.y=2
-x

)

B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1) )

2.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

2x 3.函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是___________________________. x+1 4.(课本改编)已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________.

题型一 函数单调性的判断 (1)求函数 y= x2+x-6的单调区间.

思维升华 (1)复合函数 y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增,异则减”,即 y=f(u)与 u=g(x) 若具有相同的单调性, 则 y=f[g(x)]为增函数, 若具有不同的单调性, 则 y=f[g(x)]必为减函数. a (1)判断函数 f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x

(2)求函数 y= log 1 (x2-4x+3)的单调区间.
3

题型二 利用单调性求参数范围 例2 (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围

是(

) 1 B.a≥- 4 1 D.- ≤a≤0 4

1 A.a>- 4 1 C.- ≤a<0 4

? ??2-a?x+1,x<1, f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a 的取 x1-x2 ?a ,x≥1, ?

值范围是________.

思维升华

已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a,b]

上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段 的单调性外,还要注意衔接点的取值. (1)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 是( ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
x

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围 x+1

A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)

a ?x>1?, ? ? (2)已知 f(x)=?? a? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( 4- x+2 ?x≤1? ? 2 ? ?? A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8)

)

1 1 (3)函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1

方法与技巧 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤

(1)取值;(2)作差;(3)定量;(4)判断. 2.判断单调性的常用方法:定义法、图象法、导数法. 失误与防范 1.区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性 的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. 2.若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成并集.例如, 函数 f(x)在区间(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不一定是减函 1 数如函数 f(x)= . x

专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1 C.y=( )x 2 B.y=- x+1 1 D.y=x+ x ) )

2.已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是( 3 A.(0, ) 4 3 C.[0, ) 4 3 B.(0, ] 4 3 D.[0, ] 4 )

3.(2014· 天津)函数 f(x)= log 1 (x2-4)的单调递增区间是(
2

A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 1 4.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的实数 x 的取值范围是( x A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

5.已知函数 f(x)= x2-2x-3,则该函数的单调增区间为________. 6. 已知函数 f(x)为(0, +∞)上的增函数, 若 f(a2-a)>f(a+3), 则实数 a 的取值范围为________. 1 1 7.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 a 的值. 2 2


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