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《数列求和》学案


数 列 求 和
学习目标
了解杂数列求和基本思想,解决简单的杂数列求和问题。

学习过程 一、知识链接
复习 1:等差数列的前 n 项和公式.

复习 2:等比数列的前 n 项和公式.

二、自主学习,夯实基础 探究一:公式法
1.常见的数列的前 n 项的和:

>(1) 1 ? 2 ? 3 ? (3) 2 ? 4 ? 6 ?

?n?

n ? n ? 1? 2

(2) 1 ? 3 ? 5 ?

? ? 2n ?1? ? n2
? n2 ? 1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

? 2n ? n ? n ?1?
1 2 ? n ? n 2 ? n ? 1? 4
3

(4) 12 ? 22 ? 32 ?

(5) 1 ? 2 ? 3 ?
3 3 3

(6) 1 ? a ? a ?
2

? n ? ? a (a ? 0) ? ?1 ? a n ? ? 1? a
n ?1

? a ? 1? ? a ? 1?

探究二:分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,即能分别求和,然后再合并这种方法叫做分组求和法. 例 1.求数列 1

1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 8 16 4 2

的前 n 项 Sn

1

练习 1. 求数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,?的前 n 项和 Sn.

练习 2.求 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ?
2 2 2 2 2 2

? 992 ? 1002 的和。

探究三:拆项相消法
若一个数列的每一项都可以化为两项之差, 并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同, 求和时中间项互相抵消,这种数列求和的方法就是拆项相消法。 常见的拆项公式有: (1)

1 1 1 ? ? n ? n ? 1? n n ? 1

(2)

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

(3)

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

(4)
2

例 2.求数列 12 ? 2 , 22 ? 4 , 32 ?6 , 42 ?8 ,

1

1

1

1

的前 n 项和 Sn.

练习.已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (1) 求 an 及 S n ; (2) 令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . a ?1
2 n

探究四:错位相减法
适用于{ an bn }的前 n 项和,其中 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列;数列{ an bn }称为差比数列 例 3.求数列 2,2× 2 ,3× 2 ,?, n 2 ,?的前 n 项和 Sn.
2 3

n

3

练习.求和 S n =

1 3 5 2n ? 1 + + +?+ 。 2 4 8 2n

探究五:倒序相加法
如果一个数列 ?an ? ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和倒着写的两 个式子相加,就得到一个常数列的和,进而求出数列的前 n 项和。 例 4.设

f ( x) ?

4x 4 ? 2 ,求和:
x

2011 1 2 S ? f ( 2012 ) ? f ( 2012 ) ? ?+ f ( 2012 )

四、归纳总结
1. 数列分组求和; 2. 用“错位相减法”对特殊数列求和; 3.用裂项法求和; 4.用倒序相加法求和 5.求和首先必须抓住通项公式,再根据通项公式的形式选择恰当的求和方法

4


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